Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Естественнонаучные дисциплины»
А. В. Мезенцев
С. А. Ягупов
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие по дисциплине
«Аналитические и численные методы решения
уравнений математической физики»
для магистрантов специальности
23.03.02 – «Наземные транспортно-технологические
комплексы»
Екатеринбург
УрГУПС
2017
УДК 517.9
М44
Мезенцев, А. В.
М44 Аналитические и численные методы решения уравнений
математической физики : учеб. пособие / А. В. Мезенцев,
С. А. Ягупов. – Екатеринбург : УрГУПС, 2017. – 86, [2] с.
Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы
магистрантов. Представленные в пособии материалы могут также
использоваться при подготовке и проведении лекционных и практических занятий по разделам «Дифференциальные уравнения с частными производными» и «Уравнения математической физики». Содержит теоретические сведения, примеры решения задач.
УДК 517.1
Издано по решению
редакционно-издательского совета университета
Авторы:
А. В. Мезенцев – доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
С. А. Ягупов – доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
Рецензенты:
П. П. Скачков – доцент кафедры «Естественнонаучные дисциплины», канд. физ.-мат. наук, УрГУПС
С. Д. Филиппов – доцент кафедры физико-математических
дисциплин, канд. физ.-мат. наук, РГППУ
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2017
Оглавление
1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
с частными производными ..................................4
2. Дифференциальные уравнения второго порядка
с частными производными ..................................5
3. Канонические формы дифференциальных уравнений
с частными производными ..................................6
4. Канонические формы дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка с постоянными
коэффициентами ..........................................14
Задачи для самостоятельного решения .......................20
5. Постановка задач. Начальные и граничные условия.
Задача Коши. Краевые задачи ...............................21
6. Однородное уравнение. Формула Даламбера ................25
7. Неоднородное уравнение .................................34
8. Начально-краевые задачи для полупрямой ..................37
9. Метод разделения переменных Фурье ......................48
Задачи для самостоятельного решения .......................61
10. Численное решение дифференциальных уравнений
с частными производными .................................66
11. Программа для решения методом сеток волнового
уравнения в системе Mathcad ...............................74
12. Программа для решения волнового уравнения
с использованием встроенных функций Mathcad ..............76
Библиографический список ................................78
Приложение. Разложение функции в ряд Фурье ...............79
3
1. Общие сведения о дифференциальных
22
2
, , , , ,
x y xx xy
uu u u
uu u u
x y xy
x
¶¶ ¶ ¶
== = =
¶¶ ¶
¶
уравнениях с частными производными
Определение 1.1.
Дифференциальным уравнением с частными
производными называется соотношение следующего вида:
F(x, y,..., u, u
где F – функция переменных x, y, …., u, u
Определение 1.2.
Решением дифференциального уравнения с
, uy,..., uxx, uxy,...) = 0, (1.1)
x
, uy,…, uxx, uxy, …
x
частными производными (1.1) называется функция u(x, y,...) независимых переменных x, y, … такая, что при подстановке функции u
и ее частных производных
в уравнение (1.1) оно выполняется тождественно.
Замечание.
Дифференциальное уравнением с частными производными превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, если независимая переменная одна.
Замечание.
В случае двух независимых переменных решение
дифференциального уравнения (1.1) можно рассматривать как поверхность (интегральную поверхность) в пространстве x, y, u.
Определение 1.3.
Порядком дифференциального уравнения
с частными производными (1.1) называется порядок старшей производной, входящей в это дифференциальное уравнение.
Замечание.
Здесь и далее будем предполагать, что все встречающиеся в тексте функции F, u, … непрерывны и имеют непрерывные
производные нужных порядков.
Определение 1.4.
Дифференциальное уравнение с частными
производными (1.1) называется линейным, если функция F линейна
по переменным: u, ux, uy,…, uxx, uxy, … и коэффициенты при них зависят только от независимых переменных x, y, … .
Определение 1.5.
Если функция F линейна по производным
наивысшего порядка (например, n-го) c коэффициентами, зависящими от x, y, …. , а также, возможно, и от u и ее частных производных ux, uy,…, uxx, uxy, … до (n – 1)-го порядка, то дифференциальное
уравнение называется квазилинейным.
Рассмотрим несколько примеров простейших линейных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го
порядков.
4
Пример 1.1.
222
222
xyz
¶¶¶
¶¶¶
2,
au au au bubucuf+ + + + +=
uy = 0.
Решением является произвольная функция u = v(x), которая не
зависит от переменной y.
Пример 1.2.
uxy = 0.
Решением является произвольная функция u = v(x) + w(y), где
функции v(x), w(y) – произвольные функции от переменных x и y.
Пример 1.3.
uxy = f (x,y).
Решением является
y
x
u f dd vx wy= x h x h+ +
(,) () (),
тт
xy
00
где функции v(x), w(y) – произвольные функции от переменных
x и y и фиксированными значениями x0, y0.
Уравнения с частными производными, которые описывают
физические процессы, называются уравнениями математической
физики. Приведем примеры основных уравнений математической
физики.
Пример 1.4.
uxx + uyy + uzz = 0 или Δu = 0 – трехмерное уравнение
Лапласа, где
D= + +
возникает при решении многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики. Большое значение
оператор Лапласа имеет в квантовой физике.
Пример 1.5.
Пример 1.6.
utt = a2Δu – волновое уравнение.
ut = a2Δu – уравнение теплопроводности.
Неизвестными функциями в этих уравнениях являются соответственно функции: u(x,y,z), u(t,x,y,z).
2. Дифференциальные уравнения второго порядка
с частными производными
Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения с частными производными, где неизвестной функцией является функция
двух переменных. Такие уравнения можно записать в следующем
виде:
11 12 22 1 2
xx xy yy x y
– оператор Лапласа. Это уравнение
(2.1)
5
где a
222
11 12 11
0aaa++№
a aa->
a aa-<
0.
-=
= a11(x,y), a12 = a12(x,y), a22 = a22(x,y), b1 = b1(x,y), b2 = b2(x,y),
11
c = c(x,y), f = f (x,y) – известные функции независимых переменных
x,y, а u = u(x,y) – неизвестная функция. При условии неравенства
нулю одновременно всех коэффициентов a
, a12, a22 (
11
в некоторой точке M(x,y) уравнение (2.1) в этой точке относится
к одному из трех типов:
a) гиперболическому, если в точке M
b) эллиптическому, если в точке M
c) параболическому, если в точке M
2
12 11 22
2
12 11 22
2
a aa
12 11 22
,
0
0
,
Уравнения гиперболического типа описывают волновые процессы, уравнения эллиптического типа описывают стационарные
процессы, уравнения параболического типа описывают процессы
распространения тепла и диффузии.
Замечание.
В различных точках области определения уравнение
может принадлежать к различным типам.
Пример
(Уравнение Трикоми)
)
yu
+ uyy = 0
xx
является уравнением смешанного типа: при y < 0 – гиперболическое, при y > 0 – эллиптическое, при y = 0 – параболическое.
3. Канонические формы дифференциальных
уравнений с частными производными
Перепишем дифференциальное уравнение (2.1) в новых независимых переменных ξ, η, которые связаны с переменными x, y следу-
ющими соотношениями:
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y). (3.1)
Для того чтобы новые переменные ξ, η были независимыми, убедимся в том, что функции ϕ, ψ независимы. Достаточным условием
для этого является неравенство нулю функционального определителя (якобиан преобразования (3.1))
jy
xx
jy
yy
6
0.
№
В этом случае говорят, что преобразование (3.1) невырожденное,
( , ), ( , ).xy=jx h =y x h
2,
22
22
()
11 11 12 12 22 22 11
( , ), ( , ), ( , ), ( , ),aa aa ba ba= xh = xh = xh = xh
bb
22
то есть допускает обратное преобразование
Новое уравнение, записанное в переменных ξ, η и эквивалент-
ное уравнению (2.1), имеет вид
u u u b u b u cu fa aa
aa a
a
где
= x+ xx+ x
11 12 22
11
a
12
a
212
b
1
b
c
ff
x xy y
aa a
= xh + xh +xh + xh
11 12 22
xx xy yx yy
aa a
= h+ hh+ h
x xy y
11 12 22
a a a bb
= x + x + x + x+ x
xx xy yy x y
11 12 22 1 2
a a a bb
= h + h + h + h+ h
xx xy yy x y
11 12
c
= jxh yxh
( ,, ,),
()()
= jxh yxh
( ,, ,).
()()
+ + + + +=
xx xh hh x h
2
2
2
111 12 2 22
,
,
,
,
,2
22 22
(3.2)
Коэффициенты
получаются путем подстановки в уравнение (1.2) част-
( , ),
= xh
11
ных производных, вычисленных по следующим формулам:
uu u
= x+ h
xxx
xh
uu u
= x+ h
yyy
xh
uu u u u u
= x+ xh+ h+ x + h
xx x x x x xx xx
xx xh hh x h
uu u u u u
= xx + xh +xh + hh + x + h
xy x y x y y x x y xy xy
xx xh hh x h
uu u u u u
= x+ xh+ h+ x + h
yy y y y y yy yy
xx xh hh x h
,
,
22
2
()
22
2
Непосредственной подстановкой можно проверить следующее
тождество:
2
Таким образом, преобразование переменных не меняет знака
выражения
того, можно выбрать переменные ξ, η так, чтобы уравнение, запи-
a aa-
12 11 22
aa a aaa - = - xh -xh
12
2
( )( ) .
11 22 12 11 22
, а значит, не меняет тип уравнения. Кроме
санное в этих переменных, имело наиболее простую форму.
,
.
xy yx
(3.3)
,
(3.4)
7
Определение 3.1.
22
20
+ +=
Канонической формой дифференциального
уравнения с частными производными (1.1):
1) гиперболического типа называется уравнение следующего вида:
u b u b u cu f
+ + +=
12
xh x h
u u b u b u cu f
- + + +=
xx hh x h
12
(первая каноническая форма) или
(вторая каноническая форма);
2) эллиптического типа называется уравнение следующего вида:
+ + + +=
xx hh x h
12
;u u b u b u cu f
3) параболического типа называется уравнение следующего вида:
+ + +=
12
hh x h
.u b u b u cu f
Рассмотрим алгоритм перехода к каноническому виду. Выберем
переменные ξ, η так, чтобы коэффициенты при частных производных uξξ и uηη во второй форме уравнения гиперболического типа
были равны нулю. Выбор таких переменных дает решение обыкновенного дифференциального уравнения.
Определение 3.2.
Дифференциальное уравнение
a dy a dxdy a dx
11 12 22
(3.5)
называется характеристическим уравнением для уравнения (1.1).
В [1] доказывается, что если выражение ϕ(x, y) = C представляет собой общий интеграл уравнения (3.5), то при помощи замены
переменной ξ = ϕ(x, y) коэффициент a
обращается в ноль. Если
11
ψ(x, y) = C является другим общим интегралом уравнения (3.5), не
зависимым от ϕ(x, y), то полагая η = ψ(x, y) в ноль обращается и коэффициент a22.
Если a11 ≠ 0 уравнение (3.5) распадается на два уравнения:
2
+-
11
2
a
11
+-
2
22
,
(3.6)
(3.7)
.
(3.8)
,
Если a
a a aa
dy
12 12 11 22
=
dx a
a a aa
--
12 12 11 22
≠ 0 уравнение (3.5) распадается на два уравнения
22
a a aa
dx
12 12 11 22
=
dy a
8
a aa->
22
a= b=
11 1
22 4
x ab h ab xh aabb
2
12 11 22
0a aa-=
a a aa
1. Для уравнения гиперболического типа
2
--
12 12 11 22
a
22
.
(3.9)
2
12 11 22
и правые
0
части уравнений (3.6)–(3.7) действительны и различны. Общие интегралы этих уравнений ϕ(x, y) = C и ψ(x, y) = C определяют действи-
тельные семейства характеристик. Делаем замену переменных (3.1)
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y),
приводим уравнение (1.1) к виду (3.2) и делим уравнение (3.2) на
коэффициент при u
. Получим каноническую форму вида
ξη
+ + +=
12
xh x h
.u b u b u cu f
Для получения второй канонической формы для гиперболического уравнения после получения первой канонической формы делают замену переменных
ξ = α + β, η = α – β
x+h x-h
или
, .
В новых переменных частные производные имеют вид
( ), ( ), ( ).
u uu u uu u u u
=+ =- = -
Подставляя их в первую каноническую форму, получим вторую
каноническую форму
- + + +=
xx hh x h
12
2. Для уравнения параболического типа
.u u b u b u cu f
и правые
части уравнений (3.6)–(3.7) совпадают. Общий интеграл этих уравнений имеет вид ϕ(x, y) = C. Делаем замену переменных
ξ = ϕ(x, y), η = η(x, y),
где η – любая непрерывно-дифференцируемая функция не зави-
симая от ϕ, то есть
xx
jh
yy
0
№
. Далее приводим уравнение (1.1)
jh
к виду (3.2). В силу выбора переменных коэффициент a11 в преобразованном уравнении равен нулю и имеет следующий вид:
9
22 2
22 2
-<
**
22
( )
22
22
a+ aa+ a= b+ bb+ b
11 11 12 22 11 22
x xy y x y
2 ( ) 0,
aa a a aa = x+ xx+ x= x+ x =
где равенство
a aa=
12 11 22
следует из условия параболичности.
Поскольку при замене переменных имеет место тождество (3.4)
( )( ) ,
12 11 22 12 11 22
aa aa aa- = - xh -xh
xy yx
из равенства нулю коэффициента a11 и условия параболичности следует равенство нулю коэффициента a12. Поделим уравнение (3.2) на
коэффициент при uηη. Получим каноническую форму для уравнения параболического типа
+ + +=
12
hh x h
3. Для уравнения эллиптического типа
.u b u b u cu f
2
12 11 22
и правые
0a aa
части уравнений (3.6)–(3.7) комплексны. Считаем коэффициенты
a11, a12, a22 аналитическими функциями от x и y. Пусть ϕ(x, y) = C –
общий интеграл уравнения (3.6), ϕ*(x, y) = C – общий интеграл
уравнения (3.7). Перейдем к комплексным переменным
ξ = ϕ(x, y), η = ϕ
*
(x, y).
Далее приводим уравнение (1.1) к виду (3.2).
Введем новые переменные
j+j j-j
a= b=
, ,
i
где ξ = α(x, y) + i β(x, y), η = α(x, y) – i β(x, y).
В силу выбора переменных ξ, η коэффициент a11 в преобразован-
ном уравнении равен нулю и имеет следующий вид:
2 22 2
= x+ xx+ x= a+ aa+ a -
a aa aa a a
11 11 12 22 11 12 22
x xy y x x y y
- b++ bb+ b +
a aa
( )
11 12 22
+ ab + ab +ab + ab =
ia a a
2( ( ) ) 0
xx xy yx yy
11 12 22
2
x xy y
Отсюда следует, что
2 22 2
a a aa a a
2 ,2
11 12 22 11 12 22
x x y y x xy y
то есть коэффициенты при uαα и uββ равны. Кроме того,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]