Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Формула:
1
2
n xx
n x x dx n n dx
йщ
жцжц жцжц
зчзч зчзч
къ
ишиш ишиш
лы
йщ
къ
лы
00
ll
pp
лы
ln n
ll
pp
ж цж ц
з чз ч
и ши ш
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ll
2, sin sin cos 2 cos 2
№ = -- + =
тт
00
sin sin cos( ) cos( )
a b= a-b - a+b
21
pp p p
ll l l
1
lx x
sin 2 sin 2 0,
= --+ =
2
p
[ ]
2
жцжц
зчзч
ишиш
pp
nn
( ) ( )
ll
( ) ( )
.
l
0
ll
21 4
x x ll
жц жц
2, sin 1 cos 0 .
n dx dx
= = - =-=
u xt t x
Ответ
2
зч зч
тт
иш иш
, sin sin .
=
( )
2
p
йщ
къ
2 22
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1.
дачи Коши:
u u xt x t
п
ux x x
1)
п
ux x x
п
о
м
u u xt x t
п
ux x x
2)
н
п
ux x x
о
м
u u xt x t
п
3)
ux x x
н
п
ux x x
о
Пользуясь формулой Даламбера, найти решение за-
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
( ) ( )
( ) ( )
t
tt xx
( ) ( )
( ) ( )
t
tt xx
( ) ( )
( ) ( )
t
2 , , , 0, ;
= О -Ґ +мҐ
,0 , , ;
= О-пҐ+нҐ
,0 sin , , .
5 , , , 0, ;
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
,0 7 , , ;
= О -Ґ +Ґ
,0 sin , , .
= О -Ґ +Ґ
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
,0 cos , , ;
,0 sin , , .
, , , 0, ;
= О -Ґ +Ґ
= О -Ґ +Ґ
м
u u xt x t
tt xx
п
4)
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
6 , , , 0, ;
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
,0 sin , , ;
= О -Ґ +Ґ
,0 cos , , .
= О -Ґ +Ґ
61
( ) ( )
м
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u u xt x t
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
п
,0 , , ;
ux x x
5)
( ) ( )
н
п
,0 sin5 , , .
ux x x
( ) ( )
t
о
, , , 0, ;
= О -Ґ +Ґ
= О -Ґ +Ґ
м
u u xt x t
- = - О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
п
6)
7)
8)
9)
10)
Задание 2.
времени t = 0,
щенным решением задачей Коши
,0 cos , , ;
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
м
u u xt x t
- = - О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
п
,0 , , ;
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
м
u u xt x t
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
п
,0 , , ;
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
м
u u xt x t
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
п
,0 2 , , ;
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
м
, , , 0, ;
u u xt x t
tt xx
п
ux x x
( ) ( )
н
п
ux x x
( ) ( )
t
о
м
п
н
п
о
3 , , , 0, ;
= О -Ґ +Ґ
,0 , , .
= О -Ґ +Ґ
2 , , , 0, ;
= - О -Ґ +Ґ
,0 sin , , .
= О -Ґ +Ґ
10 , , , 0, ;
= О -Ґ +Ґ
,0 sin , , .
= - О -Ґ +Ґ
, , , 0, ;
= - О -Ґ +Ґ
,0 cos , , .
= О -Ґ +Ґ
- = - О -Ґ +Ґ О +Ґ
,0 cos , , ;
= - О -Ґ +Ґ
,0 sin , , .
= - О -Ґ +Ґ
Нарисовать профиль бесконечной струны в моменты
1
1
,
2a
a
2
u au x t
- = О -Ґ +Ґ О +Ґ
tt xx
,0 , , ;
ux x x
= j О -Ґ +Ґ
( ) ( ) ( )
,0 , , ;
ux x x
= y О -Ґ +Ґ
( ) ( ) ( )
t
4
2
,
,
, если ее колебания описываются обоб-
a
a
0, , , 0, ;
где функция ψ(x) = 0, а функция ϕ(x) имеет вид, приведенный на
рисунках
62
Рис. 1. Профиль струны при t = 0
Рис. 2. Профиль струны при t = 0
Рис. 3. Профиль струны при t = 0
Рис. 4. Профиль струны при t = 0
63
Рис. 5. Профиль струны при t = 0
Рис. 6. Профиль струны при t = 0
Рис. 7. Профиль струны при t = 0
64
Рис. 8. Профиль струны при t = 0
Рис. 9. Профиль струны при t = 0
о
uxuxx
Рис. 10. Профиль струны при t = 0
Задание 3.
м
uux t
=
tt xx
п
п
ux x u x x
( ) ( )
н
п
0, sin , 0.
u t tt
( )
п
м
u u tx t
=+ >>
tt xx
п
п
( ) ( )
н
п
u t tt
( )
п
x
о
u u xx t
=+ >>
м
tt xx
п
ux x u x x
( ) ( )
н
п
( )(0, ) 0, 0.
uu t t
x
о
Решить начально-краевые задачи:
, 0, 0,
>>
,0 , ,0 0, 0,
= =і
t
=і
9 3sin , 0, 0,
,0 0, ,0 0, 0,
= =і
t
0, 27 , 0.
2
=
4 4 sin , 0, 0,
2
,0 , ,0 0, 0,
= =і
t
- =і
і
65
10. Численное решение дифференциальных
12
уравнений с частными производными
Методы решения задач математической физики, рассмотренные
в предыдущих параграфах, называются аналитическими. Они применяются для решения небольшого класса задач – либо это уравнения
первого порядка, либо уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами. Для решения более сложных задач аналитические
методы не могут быть применены. В этом случае используют приближенные или численные методы. Реализуются методы программами для ЭВМ. Здесь мы рассмотрим алгоритм для составления подобной программы на примере численного решения начально-краевой
задачи дифференциального уравнения гиперболического типа.
Наиболее распространенными и универсальными среди численных методов являются разностные (сеточные) методы. Как и в случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в их
основе лежит идея дискретизации задачи и замена частных производных, которые входят в уравнения их приближенными разностными отношениями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, называемой
разностной схемой. Решая эту систему, можно найти в узлах сетки
значения сеточной функции, которые приближенно считаются равными значениям искомой функции.
В качестве примера рассмотрим одномерное волновое уравнение
с начальными и граничными условиями
2
u au x l t T
tt x x
п
п
(0, ) , , ,
u t t ult t
н
, 0 ; 0 ,
= Ј Ј ЈЈ
=мm
( ) ( ) ( )
п
п
,0 , ( ,0) .
ux x u x x
=j =y
( ) ( ) ( )
о
Струна, закрепленная на концах интервала, имеет вид
=m
t
Рис. 10.1. Профиль струны в начальный момент времени t = 0
66
Численное решение задачи рассматриваем в следующей области:
,
M
,
N
( )
, ()
( )
nn
ii
uu
»=
tt
Рис. 10.2. Область численного решения
Для построения разностной схемы введем равномерную сетку
Рис. 10.3. Сетка в области численного решения
Здесь М – число точек по x, N – число точек по t, шаг сетки по x:
hx
=D =
l
шаг сетки по t:
t=D =
t
кон
t
tn = τ ⋅ n, xi = h ⋅ i. В узлах
сетки аппроксимируем искомую функцию значениями сеточной
функции
n
u ih n u x t= t=
i in
,
.
Для аппроксимации производных от искомой функции, входящих в искомое уравнение, воспользуемся приближенными разностными отношениями. В произвольной точке (xi, tn)
1
uxt
(,)
t in
uxt uxt
+t -
in in
(,,
+
)
-
,
67
11
11
11
(,
hh
+-
+-
»=
»=
»=
11
22
22
+-
11
11
22
+-
+-
11
11
+-
+-
n n nn
+-
u u uu
--
i i ii
() ,
u xt
tt i n
u x ht u x t
, ,
()
u xt
x in
( )
u u uu
, )
u xt
xx i n
-
tt
t
,(,, )
+-
i n in
n n nn
--
i i ii
+-
11
-
hh
h
Вместо дифференциального уравнения
n nn
-+
2
u uu
i ii
2
t
nn
uu
-
ii
+
1
n nn
-+
2
u uu
i ii
2
h
u
= a2u
tt
получили разностное уравнение
11
n nn n nn
+-
u uu u uu
-+ -+
i ii i ii
t
=
то есть
n nn n nn
+-
11
u uu u uu
-+= -+
i ii i ii
n nn n nn
+-
11
2 2.
u uu u uu
=-+ -+
i ii i ii
a
a
Отсюда получаем
22 22 22
t tt
a aa
n n n nn
= +- + -
u u u uu
i i i ii
2 22
h hh
жц
21 .
зч
иш
Полученная явная схема является трехслойной.
Рис. 10.4. Разностная схема
Это означает, что для определения неизвестных решений на
(n+1)-м слое необходимо знать решения на n и n–1 слоях. Следова68
xx
2
a
h
22
t
( )
2
h
22
t
( )
2
h
,
тельно, для того чтобы начать счет по формулам, необходимо знать
( ,0) ( )
=y
решения на нулевом и первом временных слоях.
Рис. 10.5. Разностная схема по слоям
Эти значения можно найти из начальных условий, используя
второе начальное условие:
ux x
t
. Запишем разностное со-
отношение в точках (x = xi, t = 0), (x = xi, t = τ) со значениями иско-
0
1
u
u
и
мой функции
i
i
10
uu
-
ii
t
10
uu x i M
= + ty = ј -
ii i
( ), 1, 2, , 1.
=y
()
x
i
ются граничными условиями.
обходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид (условия
Куранта)
чески любую задачу, включая нелинейную. Проблема заключается
в устойчивости метода и нарастании погрешности при больших расчетах.
Значения сеточной функции в граничных узлах сетки определя-
Полученная расчетная схема является условно устойчивой. Не-
h
.
tЈ
a
Таким образом, разностными методами можно решить практи-
69
Пример.
44
pp
nn
nn n
ll l
жц
pp p
=+
зч
иш
nn
00
22
ll
nn
nn
pp
тт
44
pp
44
00
22
nn
nn
тт
Решить аналитически методом Фурье и численно методом сеток задачу с шагом h = 0,5. Сравнить точное решение с приближенным и оценить погрешность.
16 , 0 4, 0,
uu x t
= << >
м
tt xx
п
п
0, 0, 4, 0, 0 ,
ut ut t
= = Ј < +Ґ
( ) ( )
п
н
п
п
,0 2sin , ,0 sin , 0 4.
ux x u x x x
( )
п
о
жц жц
= =p Ј Ј
з
иш иш
( )
t
ч зч
Решение
Точное решение задачи будем искать методом Фурье по формуле
(4.8)
ҐҐ
,,
u xt u xt X xT t
== =
( ) ( ) ( ) ( )
ее
n nn
nn
11
==
Ґ
жц жц жц
sin cos sin ,
е
1
=
n
x A at B at
зч зч зч
иш иш иш
где l = 4, a = 4, то есть
Ґ
u x t x A nt B nt
= p+ p
, sin cos sin .
( ) ( ) ( )
е
n
=
жц
зч
иш
1
n
p
( )
4
Коэффициенты An, Bn вычисляются по формулам
жц жц
A x x dx B x x dx
x xx x
j = y =p
где
( ) ( )
( )sin , ( )sin ,
=j = y
l l na l
жц жц
2sin , sin .
зч зч
иш иш
зч зч
иш иш
p
Вычислим коэффициенты An, Bn.
pp pp
= =p
A x x dx B x x dx
444 444
жцж ц ж цж ц
2sin sin , sin sin ,
зчз ч з чз ч
иши ш и ши ш
n
p
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]