Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

252 0

u u u uuu

+ - + + -=

- - - +=

+ ++ +=

xx xy yy x y

82 2 0

u u u uuu

xx xy yy x y

54 0

u u u uu

xx xy yy x

10.

11 4 6 4 0

u uu u u

xx xy yy x

. .

5. Постановка задач. Начальные и граничные условия. Задача Коши. Краевые задачи

Из курса высшей математики известно, что обыкновенные дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Например, дифференциальное уравнение yʺ = 0 имеет бесконечно много решений y = C1x + C2 – семейство прямых, где C1, C2 – произвольные постоянные. Дифференциальное уравнение с частными производными a2uxx – utt = 0 имеет бесконечно много решений, описываемых формулой u(x,t) = ϕ(x – at) + ψ(x + at), где ϕ, ψ – произвольные функции. Для того чтобы выделить единственное решение, так же как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, задают дополнительные условия. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительными условиями образуют задачу.

Задачи, в которых ставится дополнительное условие на решение в начальный момент времени, называются задачами Коши. Обычно такие задачи формулируют для нестационарных процессов, где t – переменная времени.

Например, задача о колебании неограниченной струны (уравнение гиперболического типа)

u au x t

tt x x

ux x u x x x

( ) ( ) ( ) ( )

, , 0,

= - Ґ < < +Ґ >

,0 , ,0 , ,

=j =y -Ґм< < +Ґ

или задача о распространении тепла – одномерное уравнение теплопроводности (уравнение параболического типа)

u au x t

t xx

ux x x

( ) ( )

2, , 0,

= - Ґ < < +Ґ >

,0 ,

=j -Ґ< <+Ґ

или трехмерное уравнение теплопроводности (уравнение эллиптического типа):

u a u xyz t

uxyz xyz xyz

( ) ( )

, , , , 0,

= D -Ґ < < +Ґ >

,,,0 ,, , ,, .

=j -Ґм< < +Ґ

Если моделируется процесс в некоторой ограниченной области, то ставят дополнительные краевые условия. Вместе с начальными условиями они образуют смешанную задачу. Например, для нестационарных явлений – задача о колебании закрепленной на концах струны

м п

п н

п п

u au x l t

tt x x

u t ult t

( ) ( )

ux x u x x x l

( ) ( ) ( ) ( )

, 0 , 0,

= << >

0, 0, , 0, 0 ,

= = Ј < +Ґ

j =y Ј Ј

,0 , ,0 , 0 ,

где u(x,t) – вертикальное перемещение струны; или задача о распространении тепла в стержне длины l

u au x l t

t xx

u t ult t

( ) ( )

н п

ux x x l

( ) ( )

, 0 , 0,

= << >

0, 0, , 0, 0 ,

= = Ј < +Ґ

,0 , 0 ,

=j Ј Ј

где u(x,t) – температура стержня в момент времени t в точке на полуоси с координатой x.

Для моделирования стационарных явлений, то есть таких, которые не изменяются с течением времени, формулируют краевые зада- чи c уравнениями эллиптического типа. В таких задачах необходимы только граничные или краевые условия. Наиболее важными из них являются условия Дирихле (условие 1-го рода) и условия Неймана (условие 2-го рода).

Пример 5.1.

(Условия Дирихле). Найти решение уравнения Лапласа Δu = 0 в некоторой области на плоскости или пространства, принимающее на границе заданные значения (условие 1-го рода). Такая задача моделирует процесс стационарного распределения температуры внутри некоторой области при заданной температуре на ее границе

0, вобласти R (R ),

uuD = WМ

, награнице ,

= j ¶W

где ϕ – заданная функция. 22

Пример 5.2.

,2.x cx t c= +=

= =+

(Условие Неймана). Найти решение уравнения Ла-

пласа Δu = 0 в некоторой области на плоскости или пространства, на границе которой задана внешняя нормальная производная

u n¶¶

(условие 2-го рода)

0, вобласти R (R ),

D = WМ п н

= j ¶W

п о

, награнице .

Замечание.

Задача с условием Неймана имеет смысл только

в том случае, когда полный поток через границу ∂Ω равен нулю.

Пример 5.3.

Задача Коши для уравнения с частными произво-

дными 2-го порядка

=j -Ґ< <+Ґ

=y -

Ґ < < +Ґ

Решение

uue x t

- + = - Ґ < < +Ґ >

2 4 0, , 0;

tt tx

ux x x

0, ( ), ;

( )

н п

ux x x

0, ( ), .

( )

Шаг 1. Замена переменных. Дискриминант характеристической

квадратичной формы в данном случае равен a

D= - = - - Ч = > Ю

a aa

12 11 22

1 1 0 1 0,

( )

м н

=- +

x tc

и первые интегралы имеют вид

Поэтому заменой, приводящей уравнение к каноническому

виду, является следующая замена:

;2.x

м н

h= +

(5.1)

Шаг 2. Приведение к каноническому виду. Пусть v(ξ,η) = u(x,t). Замена (5.1) дает нам следующие соотноше-

ния для производных:

2 , ,

u vu vv

h xh

4 2( ., )

u vu vv

= =+

tt tx

hh xh hh

Подставив их в уравнение

244 22( )40,

( )

=hЧ + x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

utx xte fxfxt

( ) ( )

( ) ( ) ( )

uxx xefxfxx

11 22

u u e v vv e

- + = -Ч + + =

tt tx

hh xh hh

или после сокращения

(5.2)

Шаг 3. Решение уравнения. Для решения уравнения (5.2) проинтегрируем его по перемен-

ным ξ и η. Сначала интегрируем по η. Получим

,v eh

где функция h(ξ) выполняет роль константы интегрирования. Теперь проинтегрируем последнее равенство по переменной ξ.

v e hd f e f f

x h =hЧ + x x + h =hЧ + x + h

  

()

2 12

Здесь роль константы интегрирования выполняет произвольная

функция f2(η).

Переходя к исходным переменным, получаем

, 2 2,

где f

– произвольные дважды дифференцируемые функции.

1,2

=+ Ч+ + +

(5.3)

Шаг 4. Использование начальных условий. Подставляя общее решение (5.3) уравнения в начальные усло-

вия, получаем

м пп

нн п

=j + + =j

0, , ,

0, ,

ux x

( ) ( )

+ =y

e fx x

( ) ( )

Из последнего уравнения найдем f2(s)

fs edc de c

жц

= y t - t+ = y t t- + =

( ) ( ) ( )

зч

иш

Fs e c c c Fs e c

= -++==+ = -+

( )

11 .

[ ]

   

()

( )

Подставляя функцию

( ) ( ) ( ) ( )

жц зч

зч иш

f s Fs e c= -+

( ) ( )

, в первое начальное

условие, найдем f1(s)

ss s

f s s Fs e c se s Fs se c=j - + - - =j - + - -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Подставим полученные функции f

f s s Fs se c f s Fs e c=j - + - - = - +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 и

1,2

в формулу (5.3) для нахождения общего решения

,2 2

utx xte fxfxt

=+ Ч+ + + =

x t e x Fx xe c Fx t e c

= + Ч +j - + - - + + - +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x xt

2 1 2.

Подставляя выражение для

, 21

utx t e e x d d

= + Ч - +j + yt t-yt t =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ответ.

= + Ч - +j + y t t

, 21 .

utx t e e x d

( ) ( ) ( ) ( )

x xt

21 .

t ee x d

( ) ( )

= + Ч - +j + y t t

Fx d= yt t

( ) ( )

x xt

xt x

, получим

тт

( )

6. Однородное уравнение. Формула Даламбера

Рассмотрим свободные колебания неограниченной струны, которая с математической точки зрения является идеальным объектом для моделирования. Считается, что влиянием ее концов на процесс колебаний внутреннего участка можно пренебречь.

Краевая задача для уравнений гиперболического типа с начальными условиями для неограниченной струны при –∞ < x < +∞, t ≥ 0 имеет вид

0, 0.

-= +=

, .x at x atx=+ h=-

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

112

= ++ -

u au x t

- = - Ґ < < +Ґ >

tt xx

,0 , ,0 .

ux x u x x

( ) ( ) ( ) ( )

0, , 0

=j =y

(6.1)

Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержаще-

му смешанную производную. Уравнение характеристик

2 22

0dx a dt

распадается на два уравнения

dx a dt dx adt

Интегралами этих уравнений являются прямые

, .x at C x at C

Вводим новые переменные

уравнение колебаний струны преобразуем к виду u

= 0. (6.2)

ξη

Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для

всякого решения уравнения (6.2) u

(ξ,η) = f *(η),

где f *(η) некоторая функция одной переменной η. Интегрируя это равенство по η при фиксированном ξ, получим

где f

и f2 являются функциями только переменных ξ и η. Так как вся-

u f df f fx h = h h+ x = x + h

(6.3)

кое решение уравнение (6.2) может быть представлено в виде (6.3) при соответствующем выборе f1 и f2, то формула (6.3) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция

( ,) ( )()u x t f x at f x at

(6.4)

является общим интегралом уравнения (6.1).

Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует, тогда оно дается формулой (6.4). Определим функции f образом, чтобы удовлетворялись начальные условия

и f2 таким

( ,0) ,

= + =j

xx+ =j

мь

пп нэ

пп

ою

тт

( )

ux f x f x x

( ,0)

u x af x af x x

() () ()

ўў

= - =y

() () ().

Интегрируя второе равенство, получим

() (

f f dC

xx- = y a a+

где x0 и C – постоянные. Из равенств

() ,)

() () (),f xf

() (1)

ff C

xx d- = y a a+

(6.5)

( )

(6.6)

находим

м п п

н п п

= j + y a a+

() () ,

fx x d

22 2

= j - y a a-

() () .

fx x d

22 2

( )

Таким образом, мы определили функции f1 и f2 через заданные функции ϕ и ψ. Подставляя в (6.4) найденные значения f1 и f2, получим

x at x at

j + +j -

( )

= + ya a- ya a

u xt d d

( )

()

x at x at

( ) ( )

или

x at

x at x at

u xt d

j + +j -

= + ya a

( )

()

( )

x at

(6.7)

Формула (6.7), задающая решение задачи Коши, называется формулой Даламбера. Формула Даламбера имеет смысл для любых локально интегрируемых функций ϕ и ψ и задает обобщенное решение уравнения (6.1). Если рассматривать только непрерывные решения, то в качестве ϕ можно брать любую непрерывную функцию, а в качестве ψ – любую локально интегрируемую. Получаемые

таким образом функции u(t, x) будем называть обобщенными реше- ниями задачи Коши.

Из формулы Даламбера ясно, что значение решения в точке t

, x0

зависит лишь от значений ϕ(x) при x ∈ (x0 – at0, x0 + at0). Во всяком случае, достаточно знать ϕ(x) и ψ(x) на отрезке [x0 – at0, x0 + at0]. Отрезок [x0 – at0, x0 + at0] на оси Ox получен пересечением с осью Ox характеристик, проходящих через точку (t0, x0) (см. рис. 6.1). Образованный этими характеристиками и осью Ox треугольник является множеством тех точек полуплоскости t ≥ 0, в которых значение решения полностью определяется начальными данными на отрезке [x0 – at0, x0 + at0]. Этот треугольник называется областью зависимости для отрезка [x0 – at0, x0 + at0].

Рис. 6.1. Область зависимости и область влияния отрезка

Формула Даламбера верна для любого решения, определенного в треугольнике, у которого боковыми сторонами являются характеристики, а нижнее основание – отрезок [c, d] оси Ox. Действительно, из уравнений (6.5), (6.6) можно найти значения функций f1(x), f2(x) для x ∈ [c, d], если начальные данные определены [c, d]. Это дает значения u(t, x) при x – at ∈ [c, d], x + at ∈ [c, d], то есть, когда проведенные через точку (t, x) характеристики пересекают отрезок [c, d] на оси Ox. При этом можно считать, что функции ϕ(x), ψ(x) определены только на [c, d], то есть функция u(t, x) определена в указанном треугольнике, являющемся областью зависимости отрезка [c, d]. Физический смысл области зависимости – это множество таких точек (t, x), для которых волна, движущаяся со скоростью a от одного из концов отрезка [c, d] и начавшая движение при t = 0, не успевает за время t дойти до точки x.

Отметим, что значения начальных функций ϕ, ψ на отрезке [c, d] не влияют на значение u(t, x), если x + at < c или x – at > d, то есть волна за время t не успевает дойти от ближайшего к точке x конца отрезка [c, d] до точки x. Поэтому область, ограниченная отрезком

[c, d] и лучами прямых x + at = c, x – at = d лежащими в полуплоско-

( )

()

сти t ≥ 0, называется областью влияния отрезка [c, d] (заштрихованная область на рис. 6.1). Эта область является дополнением множества тех точек (t, x), для которых u(t, x) не зависит от значений ϕ(x) и ψ(x) на[c, d].

Пример.

менты времени, если ψ(x) = 0, а график ϕ(x) имеет вид, изображенный выше на рис. 6.2, то есть имеет форму равнобедренного треугольника с основанием [c, d].

Заметим, что формула (6.7) дает решение задачи (6.1), если функция ψ(x) дифференцируема, а функция ϕ(x) дифференцируема дважды. Поэтому функция ϕ(x), изображенная на рис. 6.2, не может быть начальным условием для решения уравнения (6.1). Однако формула Даламбера с данной функцией ϕ(x) может быть использована, она определяет обобщенное решение уравнения (6.1) как предел решений уравнения (6.1) с немного сглаженными начальными условиями.

Решение.

более характерные моменты времени, когда происходит изменение ее формы. Все эти рисунки вместе образуют своеобразный мульт-

Нарисовать форму (профиль) струны в различные мо-

Рис. 6.2. Форма струны в момент времени t = 0

Пусть d – c = 2l. Будем рисовать форму струны в наи-

фильм о колебаниях струны, которую оттянули в точке придерживая концы отрезка [c, d], а затем отпустили.

Из формулы

x at x at

j - +j +

utx

видно, что первоначальное возмущение ϕ(x) делится на две одинаковые части, которые разбегаются влево и вправо со скоростью a.

( )

x+=

На рисунках 6.2–6.7 изображены формы струны в момент времени

()

lal

,, ,,

жены разбегающиеся полуволны

lal

e Пунктиром на рисунках 6.2–6.5 изобра-

x atj-

x at

, в сумме дающие u(t, x). Число ε > 0 считается достаточно малым по сравнению с ха- рактерным интервалом времени

Рис. 6.3. Форма струны при t = ε

Рис. 6.4. Форма струны при

(достаточно, чтобы было

2la

Рис. 6.5. Форма струны при

Рис. 6.6. Форма струны при

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]