Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону
ДГТУ
2023
2
УДК 531
А64
Рецензент
кандидат технических наук, доцент Е.В. Скринников
(Южно-Российский государственный политехнический университет
(НПИ) имени М.И. Платова)
Авторы:
Д.А. Высоковский, Г.М. Кравченко,
Н.А. Савельева, Е.В. Труфанова
А64
Аналитические методы решения задач теоретической
механики : учебное пособие / Д.А. Высоковский, Г.М. Кравченко,
Н.А. Савельева, Е.В. Труфанова ; Донской государственный
технический университет. – Ростов-на-Дону : ДГТУ, 2023. – 100 с.
ISBN 978-5-7890-2138-5
Даны основные понятия и определения аналитической механики.
Особое внимание уделено физической стороне явлений, но без математических упрощений. Рассмотрены примеры решения типовых задач.
Предназначено для обучающихся, изучающих основы теоретиче-
ской механики, по всем инженерно-техническим направлениям.
УДК 531
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Донского государственного технического университета
ISBN 978-5-7890-2138-5
© Донской государственный
технический университет, 2023
3
Введение
В отличие от традиционной схемы деления курса механики на ста-
тику, кинематику и динамику, здесь принято деление на кинематику
и динамику. Это позволило изложить гораздо больше задач динамики и
уделить им главное внимание. Объединение динамических проблем с
проблемами равновесия позволяет дать более ясные и строгие доказательства теорем статики. Во многих случаях задачи статики представляют собой частный случай движения, что, несомненно, более правильно с методологической стороны. Предпочтение динамике обусловлено
тем, что развитие современной техники связано главным образом с изучением динамических закономерностей. Даже в таких науках, как «Статика сооружений», в наши дни центр внимания новых исследований лежит в задачах устойчивости конструкций, изучении прочности и т.д.
Современная техника изучает динамические процессы. Аналитическая
механика, как научная основа техники, должна дать методы для изучения динамических процессов.
При решении инженерных задач студенты изучают логические
рассуждения, упрощают сложные задачи до такой степени идеализации, которая может быть выражена алгебраически или геометрически.
После решения математической задачи необходимо исследовать полученные результаты применительно к данной инженерной задаче для создания прочного фундамента в области аналитической механики.
4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ
1.1. Предмет аналитической механики
Аналитическая механика устанавливает общие, единые методы
изучения движения и равновесия, применяемые для всех механических
систем. Эти методы представляют собой исследования средствами математического анализа всех возможных движений материальной системы. При этом выводятся уравнения движения одной и той же структуры, независимой от вида системы и характера условий, налагаемых на
движение системы. Общие уравнения аналитической механики оказываются более удобными для решения конкретных задач и общих исследований свойств движения.
Все уравнения и теоремы аналитической механики вытекают из
некоторых основных понятий и принципов.
1.2. Механическая система. Центр масс и моменты инерции
Механической системой материальных точек или тел называется такая совокупность, в которой положение или движение каждого элемента
зависит от положения или движения всех остальных элементов системы.
Конфигурация механической системы в данный момент ее движения характеризуется центром масс и моментами инерции точек.
Центром масс (центром инерции) данной механической системы
называется геометрическая точка С, положение которой определяется
по формуле
n
k
kkc
rmrM
1
, (1.1)
где m1, m2, …, mn – массы точек системы;
1
r
,
2
r
,
3
r
,
4
r
, … ,
n
r
– радиус-векторы точек в данный момент времени;
n
k
k
mM
1
– масса всей системы;
c
r
– радиус-вектор центра масс системы.
Моментом инерции системы материальных точек относительно
точки О или оси l называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстояний до точки О или прямой l. Так, например, если m1,
m2,…, mn – массы точек системы, а h1, h2,…, hn – расстояния их до оси
Oz, то осевой момент инерции этой системы в данный момент времени
5
n
k
kkz
hmJ
1
2
. (1.2)
В случае бесконечного множества элементарных материальных точек системы, т.е. в случае
твердого тела, равенство (1.2) принимает интегральную форму. Например, момент инерции однородного тонкого кольца радиуса r и массы m
относительно его центра масс С (рис. 1).
mrdmrdmrJ
z
222
. (1.3)
Момент инерции однородного тонкого диска
радиуса R и массы
2
RM
(рис. 2):
.
2
2
2
0
3
MR
drrJ
R
c
(1.4)
Формула (1.3) может быть применена к цилиндрической оболочке, а (1.4) – к сплошному
цилиндру.
1.3. Связи. Число степеней свободы
Определяющим признаком механической системы является наличие связей между отдельными ее материальными точками или телами.
Условия, ограничивающие свободу движения точек или тел механической системы, называются связями.
Если положение и перемещения точек системы подчиняются некоторым заранее данным условиям геометрического характера, то такие
связи называются геометрическими.
Простейшим примером такой связи является невесомый тонкий
стержень, соединяющий две материальные точки. Такую же систему с
геометрическими связями представляет собой абсолютно твердое тело,
расстояния между точками которого остаются постоянными; такая система называется неизменяемой.
Геометрические связи могут быть выражены в виде уравнений
между координатами точек данной системы. Так, например, для системы, состоящей из двух точек М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), соединенных
твердым стержнем длиной l, связь состоит в том, что расстояние между
этими точками остается постоянным. Уравнение связи имеет вид:
22
12
2
12
2
12
)()()( lzzyyxx
.
Рис. 1
Рис. 2
6
Это уравнение дает возможность выразить любую из шести координат через остальные. В этом случае говорят, что система имеет пять
степеней свободы. Число степеней свободы равно числу независимых
координат.
Для кривошипно-шатунного механизма (рис. 3) будем иметь три
уравнения связей между четырьмя координатами точек A(x1, y1) и В(x2, y2):
22
1
2
1
ryx
;
22
12
2
12
)()( lyyxx
;
0
2
y
.
Эти уравнения дают возможность выразить одну координату через
остальные. Система кривошипно-шатунного механизма имеет одну
степень свободы.
Рис. 3
Для плоского механизма О1АВО2 (рис. 4) легко получить три уравнения связей точек A(x1, y1) и В (x2, y2):
2
1
2
1
2
1
lyx
;
2
3
2
2
2
2
)( lyax
;
2
2
1212
)()( lyyxx
.
Рис. 4 Рис. 5
Эти уравнения связывают между собой четыре координаты: x1, y1,
x2, y2. Система имеет одну степень свободы.
Теперь рассмотрим двойной плоский маятник (рис. 5).
Уравнения связей имеют вид:
2
1
2
1
2
1
lyx
;
2
2
2
12
2
12
)()( lyyxx
.
O1 O2 l1 l2 l3 a y x A(x1, y1)
B(x2, y2)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
l1 l2 x y O
1
2
y r A(x1, y1)
O
l
x
B(x2, y2)
7
Эти два уравнения связывают четыре координаты. Двойной плоский маятник имеет две степени свободы.
Заметим, что все рассмотренные в примерах связи выражены
в форме равенств. Такие геометрические связи называются удерживающими.
В общем случае система, состоящая из n материальных точек с 3n
координатами, будет иметь s уравнений связей вида:
0),,,....,,,(
1111
nnn
zyxzyxf
;
0),,,....,,,(
1112
nnn
zyxzyxf
; (1.5)
………………………………
0),,,....,,,(
111
nnns
zyxzyxf
.
При этом число s должно быть меньше 3n, так как при s=3n координаты всех точек системы определились бы из уравнений связей и,
следовательно, имели бы некоторые постоянные значения, а потому система не могла бы двигаться.
Если в уравнения связей не входит время t, то связи называются
стационарными; если же в число аргументов функции fi входит время t,
то связи называются нестационарными. Уравнения нестационарных
удерживающих геометрических связей имеют вид:
22
12
2
12
2
12
)()()( lzzyytxx
;
22
12
2
12
)()()( tRyyxx
.
В дальнейшем будем иметь в виду только стационарные геометрические связи.
Геометрические связи налагают некоторые ограничения на положение точек системы, так что это положение не может быть вполне
произвольным. Математически это выражается в том, что не все 3n координат точек системы являются независимыми друг от друга, так как
из s уравнений связей мы можем s каких-нибудь координат (например,
s
xxxx ,...,,,
321
) выразить через остальные 3n – s координат. Таким обра-
зом, только 3n – s координат можно рассматривать как независимые переменные, которые могут принимать произвольные значения; остальные s координат определяются из уравнений связей как функции этих
независимых переменных. Число независимых переменных определяет
число степеней свободы данной механической системы.
8
При решении задач число степеней свободы системы в большинстве случаев легко определить методом остановки.
Например, если в кривошипно-шатунном механизме (см. рис. 3)
остановить кривошип ОА или поршень В, то остальные элементы не
смогут перемещаться, а потому механизм имеет одну степень свободы.
Двойной маятник (см. рис. 5) имеет две степени свободы, так как он не
будет перемещаться при фиксированных углах
1
и
2
.
1.4. Классификация сил, действующих на систему
Все силы, действующие на материальные точки данной системы,
классифицируются на внутренние, т.е. силы, с которыми материальные
точки данной системы действуют друг на друга, и внешние, т.е. силы,
с которыми действуют на данную систему тела или материальные точки, не принадлежащие к этой системе.
Силы, с которыми действуют друг на друга материальные частицы
твердого тела, являются по отношению к этому телу внутренними силами.
Внутренние силы, согласно закону равенства действия и противодействия, всегда попарно равны по модулю и противоположны по
направлению.
Если выделить из данной системы какую-нибудь часть ее и рассматривать эту часть как отдельную систему, то силы, являющиеся
внутренними для всей системы, могут оказаться внешними по отношению к этой выделенной части.
1.5. Обобщенные координаты и обобщенные скорости
Обобщенными (лагранжевыми) координатами данной механической системы называются такие независимые друг от друга параметры,
при помощи которых можно в любой момент определить положение
этой системы и, следовательно, выразить декартовы координаты всех ее
точек через параметры. Удачный выбор обобщенных координат может
иногда значительно облегчить решение задачи.
Число этих независимых параметров равно числу степеней свободы данной системы. Рассмотрим, например, кривошипно-шатунный
механизм (см. рис. 3). Положение этого механизма, очевидно, вполне
9
определяется одним параметром: углом поворота кривошипа. Координаты точек А и В выражаются через следующим образом:
sin
1
rx
;
cos
1
ry
; (1.6)
222
2
cossin rlrx
;
0
2
y
.
Теперь обратимся к двойному маятнику (см. рис. 5), который имеет
две степени свободы. В качестве обобщенных координат можно вы-
брать углы
1
и
2
. Тогда выражения декартовых координат точек А и В
принимают вид:
111
cos
lx
;
111
sin
ly
; (1.7)
)cos(cos
212112
llx
;
)sin(sin
212112
lly
.
В общем случае в системе, состоящей из п материальных точек и
имеющей s степеней свободы, обобщенные координаты обозначаются:
s
qqqq ,...,,,
321
. (1.8)
Все декартовы координаты точек системы могут быть выражены
через обобщенные координаты, число которых равно числу степеней
свободы:
),...,,,(
32111 s
qqqqxx
,
),...,,...,,,(
32122 s
qqqqxx
),...,,,(
321 snn
qqqqxx
,
),...,,,(
32111 s
qqqqyy
, (1.9)
),...,,...,,,(
32122 s
qqqqyy
),...,,,(
321 snn
qqqqyy
,
),...,,,(
32111 s
qqqqzz
,
),...,,...,,,(
32122 s
qqqqzz
),...,,,(
321 snn
qqqqzz
.
Поскольку радиус-вектор
k
r
каждой точки системы выражается век-
тором
kzjyixr
kkkk
, то, следовательно, радиус-вектор каждой точ-
ки тоже является функцией, но векторной, от обобщенных координат:
).,...,3,2,1(),...,,,(
321
nkqqqqrr
skk
(1.10)
В связи с этим формулы (1.6) и (1.7) принимают вид:
qrx sin
1
;
qry cos
1
; (1.11)
qrlqrx
222
2
cossin
;
02y
;
10
111
cosqlx
;
111
sin qly
; (1.12)
)cos(cos
212112
qqlqlx
;
)sin(sin
212112
qqlqly
.
При движении механической системы ее обобщенные координаты
будут с течением времени непрерывно изменяться, и закон этого движения определится уравнениями:
).(),...,();(
2211
tfqtfqtfq
ss
(1.13)
Эти уравнения представляют собой кинематические уравнения
движения системы в обобщенных координатах.
Производные от обобщенных координат по времени называются
обобщенными скоростями. Обобщенные скорости обозначаются символами:
s
qqqq
,...,,,
321
. (1.14)
Понятие об обобщенной скорости охватывает все введенные в кинематике понятия о скоростях. Так, если обобщенная координата –
величина линейная, т.е. х или s*, то обобщенной скоростью будет
линейная скорость. Если обобщенная координата – угол, то соответствующей обобщенной скоростью будет угловая скорость.
В качестве примера приведем кинематическое решение задачи о
движении центрального кривошипно-шатунного механизма (см. рис. 3)
при любом законе изменения обобщенной координаты q.
Дифференцируя формулы (1.11), получаем:
qqrxV
x
cos
1
;
qqryV
y
sin
1
; (1.15)
qrl
qr
qqrqqrxV
B
222
2
cos
sin
coscos
. (1.16)
Угловую скорость
AB
в каждый данный момент времени движе-
ния определим по формуле
l
vv
AB
AB
. (1.17)
Вычисление приводит к результату
qrl
qqr
AB
222
cos
sin
.
Окончательно имеем:
qrlqctgqr
v
BC
AB
B
v
222
cos)(cos
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]