Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
31
3. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ
3.1. Полная работа силы. Потенциальные силы
Работа силы на каком-либо перемещении является одной из основных характеристик, оценивающих действие силы на перемещение материальной точки или твердого тела.
Изучение работы силы начнем с определения элементарной работы.
Элементарную работу силы F на бесконечно малом действительном перемещении rd точки приложения определим по формуле (1.23),
считая, что
rd
совпадает с одним из возможных перемещений
r
. За-
меняя в (1.23)
r
на rd, получим
rdFdA
, (3.1)
или в декартовой системе координат
dzFdyFdxFdA
zyx
. (3.2)
Для определения полной работы силы F на перемещении точки
приложения этой силы от точки Мо до точки М разобьем это перемещение на n перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работу силы можно вычислить как интегральную
сумму соответствующих элементарных работ, если действие силы зависит только от координат точки приложения. В этом случае полная работа силы
M
M
zyx
o
dzFdyFdxFA )(
, (3.3)
где Fx = Fx (x,y,z); Fy = Fy (x,y,z); Fz = Fz (x,y,z).
Силы, действия которых зависят только от координат точек приложения, называются потенциальными силами.
Отметим, что из определения элементарной и полной работы следует:
1) работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении
равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении;
2) работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же
силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.
Размерность полной работы такая же, как и для элементарной
работы (Нм).
32
3.2. Силовая функция и потенциальное силовое поле
Если окажется, что выражение, стоящее в формуле (3.3) под знаком
интеграла и представляющее собой элементарную работу силы
F
,
будет полным дифференциалом некоторой функции U (x,y,z), т.е.
),,( zyxdUdzFdyFdxFdA
zyx
, (3.4)
то работу A
(MMo)
можно вычислить, не зная траектории точки М.
Функция U (x,y,z), дифференциал которой равен элементарной работе, называется силовой функцией.
Каждая потенциальная сила образует свое силовое поле. Силовым
полем называется часть пространства, в каждой точке которого на материальную частицу действует потенциальная сила.
Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным силовым полем, а силы, действующие в этом поле, –
потенциальными силами.
Если в формулу (3.3) подставить выражение (3.4), то будем иметь:
M
M
o
o
UUzyxdUA
1
),,(
, (3.5)
где U1 = U (x1, y1, z1) и Uо = U (xо, yо, zо) – значения силовой функции
в точках М1 и Мо поля соответственно.
Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и от вида
траектории движения точки не зависит.
Обычно начало координат О выбирают в "нулевой точке", в которой Uо = 0. При таком выборе системы отсчета формула (3.5) принимает вид:
1
1
),,(
M
o
VzyxdUA
. (3.6)
В качестве примеров найдем выражения силовых функций для силы тяжести и силы упругости.
1. Определим выражение силовой функции для силы тяжести.
Пусть точка М, на которую действует сила тяжести P, перемещается из
положения Мо при z = 0 в положение М(x,y,z) по некоторой траектории.
Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх. Тогда Px = 0, Py = 0, Pz = –P. Подставив эти значения в (3.4),
получим
33
PdzdU
.
Интегрируя это равенство, находим силовую функцию
PzU
. (3.7)
2. Определим силовую функцию U для силы упругости. Рассмотрим
точку М, прикрепленную к свободному концу недеформированной пружины длиной l (рис. 15). Если оттянуть точку М от положения при х = 0, удли-
нив пружину до l + x , на точку будет действовать сила упругости F,
направленная к точке О.
По закону Гука величина этой
силы пропорциональна удлинению
пружины х:
xcF
.
Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины.
Величина с равна силе, которую надо приложить к пружине, чтобы растянуть ее на 1 см.
Так как Fx = –cx, Fy = Fz = 0, то, подставив эти значения в (3.4),
получим
cxdU
.
Интегрируя это равенство, находим силовую функцию для силы
упругости
2
5,0 cxU
. (3.8)
3.3. Консервативная механическая система.
Силовая функция консервативной системы
Механическая система, находящаяся под действием одних потен-
циальных сил, называется консервативной.
Если в потенциальном силовом поле движется консервативная си-
стема, то для каждой точки Мi с координатами xi , yi , zi можно определить свою силовую функцию U (xi , yi , zi), позволяющую вычислить
элементарную работу силы, действующей на эту точку. Тогда функция
от координат всех точек системы
n
i
iiiinnn
zyxUzyxzyxU
1
111
),,(),,,...,,,(
(3.9)
будет силовой функцией для рассматриваемой консервативной системы,
при этом
О
1
l x
o
x М
F
Рис. 15
34
n
i
i
dUdU
1
или, согласно равенству (3.4), справедливому для каждой точки системы,
n
i
i
dAdU
1
, (3.10)
т.е. дифференциал силовой функции консервативной системы будет равен сумме элементарных работ всех действующих на систему потенциальных сил.
3.4. Потенциальная энергия
Для потенциальных сил вводится понятие о потенциальной энер-
гии как о величине, характеризующей «запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового поля. Чтобы сравнить
между собой эти «запасы работы», нужно условиться о выборе нулевой
точки О, в которой условно будем считать «запас работы» равным нулю (выбор нулевой точки производится произвольно).
Потенциальной энергией материальной точки в данном положении
М называется скалярная величина П, равная той работе, которую произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое:
)(МО
АП
.
Из определения следует, что потенциальная энергия П зависит
от координат
zyx ,,
точки М, т.е.
),,( zyxПП
.
Будем в дальнейшем считать нулевые точки для функций
),,( zyxП
и
),,( zyxU
совпадающими. Тогда
0
o
U
и по формуле (3.5)
UUUА
oМО
)(
,
где U – значение силовой функции в точке
),,( zyxM
поля.
Отсюда
),,( zyxП
),,( zyxU
,
т.е. потенциальная энергия в любой точке силового поля равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.
Отсюда видно, что при рассмотрении всех свойств потенциального
силового поля вместо силовой функции
),,( zyxU
можно пользоваться
потенциальной энергией.
35
В частности, работу потенциальной силы вместо (3.5) можно вы-
числять по формуле
21)(
21
ППА
ММ
. (3.11)
Следовательно, работа потенциальной силы равна разности значе-
ний потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном ее положениях.
Выражения потенциальной энергии для известных нам потенциаль-
ных сил можно найти из равенств (3.7) и (3.8), учитывая, что
UП
.
Так, для силы тяжести
PzП
, а для силы упругости
2
5,0 cxП
.
3.5. Возможная работа потенциальных сил
в обобщенных координатах
Рассмотрим консервативную систему, состоящую из n материаль-
ных точек. Пусть к точкам приложены потенциальные силы
n
FFF ,...,,
21
соответственно. Если положение точек определять их радиус-векторами
n
rrr ,...,,
21
, то элементарная работа, производимая силами системы на лю-
бом возможном ее перемещении, будет определяться формулой
n
k
kk
rFA
1
. (3.12)
Пусть рассматриваемая система имеет s степеней свободы и ее по-
ложение определяется s обобщенными координатами
s
qqq ,...,,
21
. Тогда
декартовы координаты
kkk
zyx ,,
любой k-й точки системы могут быть
выражены через обобщенные координаты
i
q
, а следовательно, через эти
обобщенные координаты можно выразить и радиус-векторы
kzjyixr
kkkk
. В результате для каждого из радиус-векторов получим
),...,,(
21 skk
qqqrr
. (3.13)
Для вычисления вектора
k
r
его можно рассматривать как полный
дифференциал от функции
),...,,(
21 sk
qqqr
.
Пользуясь правилом составления полного дифференциала, получаем
s
s
kkk
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
...
2
2
1
1
, (3.14)
где
k
q
z
j
q
y
i
q
x
q
r
i
k
i
k
i
k
i
k
(3.15)
).,...,2,1( si
36
Возможная работа всех потенциальных сил
n
FFF ,...,,
21
, приложен-
ных к n материальным точкам консервативной системы, определяется
формулой
n
k
kk
rFA
1
, (3.16)
где
s
s
kkk
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
...
2
2
1
1
(3.17)
).,...,3,2,1( nk
Подставив выражение (3.17) в (3.16) и вынеся общие множители
s
qqq
,...,,
21
за скобки, получим
s
n
k
s
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
q
q
r
Fq
q
r
Fq
q
r
FA
1
2
1
2
1
1
1
...
. (3.18)
Введем обозначения:
1
1
1
Q
q
r
F
n
k
k
k
,
2
1
2
Q
q
r
F
n
k
k
k
,...,
s
n
k
s
k
k
Q
q
r
F
1
. (3.19)
Тогда выражение возможной работы потенциальных сил в обоб-
щенных координатах принимает вид:
ss
qQqQqQA
...
2211
. (3.20)
Сравнивая это с формулой
zFyFxFA
zyx
, (3.21)
определяющей элементарную работу потенциальной силы F, действующей на точку с координатами
zyx ,,
, заключаем, что величины
s
QQQ ,...,,
21
в равенстве (3.20) играют роль сил. Эти величины называ-
ются обобщенными потенциальными силами. Размерность обобщенных
сил
i
Q
зависит от размерности обобщенных координат qi .
Поскольку для потенциальных сил существует силовая функция
(3.9), дифференциал которой равен сумме возможных работ всех действующих на систему сил, то
s
s
q
q
U
q
q
U
q
q
U
UA
...
2
2
1
1
. (3.22)
Сравнивая это выражение с равенством (3.20), приходим к выводу, что
1
1
q
U
Q
,
2
2
q
U
Q
,…,
s
s
q
U
Q
. (3.23)
37
Таким образом, если все действующие на систему силы потенци-
альны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой
функции по соответствующим обобщенным координатам.
Замечая, что силовая функция U связана с потенциальной энергией
П зависимостью
ПU
, находим также, что
1
1
q
П
Q
;
2
2
q
П
Q
,…,
s
s
q
П
Q
. (3.24)
3.6. Условия равновесия консервативной системы
В главе 2 сформулирован принцип возможных перемещений для
любой механической системы с идеальными связями. По этому принципу установлено, что при равновесии системы ее обобщенные силы
(2.20) равны нулю.
Так как для консервативной системы обобщенные силы определя-
ются равенствами (3.23) или (3.24), то в положении равновесия
0
1
q
U
;
0
2
q
U
,…,
0
s
q
U
(3.25)
или
0
1
q
П
;
0
2
q
П
,…,
0
s
q
П
. (3.26)
Отсюда следует, что при равновесии:
0),...,,(
21
s
qqqdU
(3.27)
или
0),...,,(
21
s
qqqdП
. (3.28)
Последние два равенства представляют собой необходимые (но не до-
статочные) условия минимума, максимума или постоянства функций U и П.
Следовательно, положения, в которых силовая функция (потенциальная энергия) консервативной системы имеет максимум или минимум, является положением равновесия системы. Система будет находиться в равновесии также и в том случае, если ее потенциальная энергия постоянна.
38
3.7. Применение принципа возможных перемещений
к изучению равновесия упругого тела
Опыты показывают, что твердое тело под влиянием внешних воздействий изменяет свою форму. К внешним воздействиям относятся
поверхностные нагрузки в виде сосредоточенных сил, распределенных
сил вдоль некоторой поверхности тела с заданной интенсивностью q,
H/м2, или нагреванием (охлаждением) тела. Если в результате таких
воздействий изменение формы тела не превышает некоторых пределов,
то при достаточно медленном снятии внешних воздействий оно возвращается к своему первоначальному состоянию.
Такое свойство тела называется упругостью.
Не вдаваясь в рассмотрение атомной структуры тела, будем считать, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен
по всему объему тела с заданной плотностью , так что любой малый
элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Такая идеализированная и упрощенная модель тела
является моделью материальной сплошной среды.
Рассмотрим произвольное упругое тело, находящееся в состоянии
равновесия под действием заданных внешних сил. Будем характеризовать изменение формы (деформацию) тела в этом положении обобщенными координатами
n
qqq ,...,,
21
, причем условимся при выборе
этих координат о том, что естественному недеформированному состоянию, в котором находилось бы тело при отсутствии внешних воздействий, соответствуют значения координат
),...,3,2,1( niqi
, равные ну-
лю. Следует отметить при этом, что упругое тело является системой
с бесконечным множеством степеней свободы – любая точка тела может иметь произвольные перемещения, допускаемые только требованием непрерывности. Однако при принятых в сопротивлении материалов методах приближенного рассмотрения вопросов равновесия упругих тел можно во многих случаях выделить из этого бесконечного
множества перемещений некоторые, наиболее характерные, которые
определят обобщенные координаты. С другой стороны, все выводы,
которые мы в дальнейшем сделаем, ничем не ограничивают число степеней свободы n , вследствие чего в результатах всегда можно будет
перейти к пределу
n
.
39
Предположим, что мы вычислили элементарную работу А потен-
циальных сил
n
FFF ,...,,
21
в обобщенных координатах. По определению
обобщенных сил (3.20) имеем
nn
qQqQqQA
)1(
2
)1(
21
)1(
1
...
, (3.29)
где
),...,2,1(
)1(
niQ
i
– обобщенная сила, соответствующая внешним
нагрузкам.
Так как вся элементарная работа А внешних нагрузок расходуется
при равновесии на сообщение упруго-деформированному телу потенциальной энергии, то, принимая во внимание соотношения (3.24)
и (3.29), получаем
п
п
q
q
П
q
q
П
q
q
П
A
...
2
2
1
1
. (3.30)
Отсюда
п
п
q
q
П
q
q
П
q
q
П
П
...
2
2
1
1
. (3.31)
Здесь знак полного дифференциала функции П(
n
qqq ,...,,
21
) соответ-
ствует выбору системы обобщенных координат.
Принимая принцип действия и противодействия, введем в рассмотрение обобщенные силы реакции упругого тела:
),...,3,2,1(
)2(
niQ
q
П
i
i
. (3.32)
Тогда
nn
qQqQqQП
)2(
2
)2(
21
)2(
1
...
. (3.33)
Уравнение (3.30) в связи с (3.33) дает теперь
nn
qQqQqQ
)1(
2
)1(
21
)1(
1
...
nn
qQqQqQ
)2(
2
)2(
21
)2(
1
...
или
0)(...)()(
)2()1(
2
)2(
2
)1(
21
)2(
1
)1(
1
nnn
qQQqQQqQQ
, (3.34)
откуда в силу независимости возможных перемещений
i
q
друг от дру-
га получим
),...,2,1(0
)2()1(
niQQ
ii
. (3.35)
Эти уравнения выражают, что в положении равновесия обобщенные
силы
)1(
i
Q
, соответствующие внешним нагрузкам, уравновешиваются
обобщенными силами реакции
)2(
i
Q
упругого тела.
40
Из выражений (3.32) и (3.35) находим:
),...,2,1(
)1(
ni
q
П
Q
i
i
. (3.36)
Для дальнейших выводов примем обобщенный закон Гука: обобщенные координаты
n
qqq ,...,,
21
, определяющие положение упругого тела
при равновесии, являются линейными функциями внешних нагрузок
)1(
i
Q
:
)1(
1
)1(
313
)1(
212
)1(
1111
...
nn
QQQQq
; (3.37)
)1(
2
)1(
323
)1(
222
)1(
1212
...
nn
QQQQq
;
)1(
3
)1(
333
)1(
232
)1(
1313
...
nn
QQQQq
;
......................................................................
)1()1(
33
)1(
22
)1(
11
...
nnnnnnn
QQQQq
.
Механическое значение коэффициентов
ik
, называемых коэффи-
циентами влияния, легко обнаружить, полагая, что все
)1(
i
Q
, кроме
например
)1(
1
Q
, равны нулю, тогда как
1
)1(
1
Q
:
1212111
...,
nn
qqq
, (3.38)
т.е.
1s
есть значение, которое будет иметь в положении равновесия
координата
s
q
, когда все
)1(
i
Q
),...,3,2( ni
равны нулю, а
1
)1(
1
Q
. Анало-
гичное значение имеет любое из чисел
ik
.
Все выводы, которые мы в дальнейшем сделаем для системы
с тремя степенями свободы, будут справедливы и для системы с любым
числом степеней свободы.
Пусть n = 3. Тогда соотношения (3.37) и (3.38) принимают вид:
3132121111
QQQq
; (3.39)
3232221212
QQQq
;
3332321313
QQQq
;
111
q
;
212
q
;
313
q
. (3.40)
Здесь и в дальнейшем обобщенные внешние нагрузки обозначаются без
верхнего индекса.
Докажем теорему взаимности перемещений (Максвелл, 1831–1879):
)3,2,1;3,2,1( ki
ikik
, (3.41)
т.е. значение, принимаемое в положении равновесия i-й обобщенной
координатой, когда обобщенные силы всех внешних нагрузок, кроме
Qk, равной единице, равны нулю, равно значению k-й обобщенной ко-
ординаты при условии, что все обобщенные силы внешних нагрузок,
кроме Qi = 1, равны нулю.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]