Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
51
Если потенциальная энергия консервативной системы в положении
равновесия имеет минимум, то это положение равновесия является
устойчивым.
Рассмотрим систему с s степенями свободы, находящуюся в равновесии под действием приложенных к ней потенциальных сил. Пусть
положение равновесия системы по-прежнему определяется равенствами (4.1) и пусть в этом положении потенциальная энергия системы П
имеет минимум (П=П
min
). Пусть величина , характеризующая область
равновесия системы, определяет однозначно область минимума функции П(
s
qqq ,...,,
21
). Тогда для всех положений системы, при которых
i
q0
, ее потенциальная энергия П будет больше П
min
, причем с уве-
личением модуля каждой из координат величина П будет возрастать.
Обозначим П* наименьшее из тех значений, которые будет иметь
потенциальная энергия системы, когда какая-нибудь из ее координат
i
q
станет по модулю равной . Очевидно,
П* = П
min
+ ,
где – некоторая не равная нулю положительная величина.
Тогда из определения минимума функции следует, что если система занимает положение, для которого ее потенциальная энергия
П П
min
+ , (4.2)
то в этом положении ни одна из координат системы не достигает значения . Следовательно, неравенство (4.2) выражает условие того, что
система не выходит из области равновесия.
Допустим теперь, что мы вывели рассматриваемую систему из положения равновесия, сообщив ей начальные смещения
io
q
и начальные
скорости
io
q
. Тогда система придет в движение. Так как действующие
на систему силы потенциальны, то для нее при движении имеет место
закон сохранения механической энергии:
П + Т = По + То, (4.3)
где По и То – значения потенциальной и кинетической энергии системы
в начальный момент, зависящие от значений начальных
отклонений
io
q
и начальных скоростей
io
q
.
Ввиду того, что кинетическая энергия – величина существенно положительная, из равенства (4.3) следует, что
П По + То . (4.4)
52
Так как величинам
io
q
и
io
q
можно давать любые, отличные от нуля
значения, то мы всегда можем выбрать
io
q
такими, например, чтобы
2
min
ПП
о
,
а
io
q
взять одновременно такими, чтобы
2
о
T
.
Тогда, подставив эти значения в неравенство (4.4), получим, что при
этом во все время движения будет выполняться неравенство (4.2).
Таким образом, мы доказали, что если в положении равновесия
системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то можно всегда подобрать такие неравные нулю начальные смещения и скорости
io
q
и
io
q
,
что при последующем движении будет выполняться неравенство (4.2)
и система не выйдет из области равновесия. Следовательно, это поло-
жение равновесия по определению будет устойчивым.
Доказанная теорема дает достаточное, но не необходимое условие
равновесия; из нее не следует, что для устойчивости равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела
минимум.
4.3. Теорема Ляпунова о признаках
неустойчивости равновесия
Доказанная выше теорема не позволяет решить вопрос о том,
каким будет равновесие системы, если в положении равновесия потенциальная энергия системы не имеет минимума. Ответ на этот весьма
существенный вопрос дают две теоремы Ляпунова.
Не имея возможности дать в настоящем курсе полное доказатель-
ство этих теорем, ограничимся изложением их содержания. Будем
отсчитывать обобщенные координаты системы от рассматриваемого положения равновесия, которое при этом определяется равенствами (4.1).
Тогда, если мало, то в области равновесия координаты
i
q
будут вели-
чинами малыми. Поэтому значение потенциальной энергии в области
равновесия можно представить в виде ряда по степеням
i
q
, отбрасывая
в нем члены высшего порядка малости.
53
Если принять во внимание, что
)(ОП
можно всегда считать равным
нулю, так как функция П определяется с точностью до постоянного, и что
0
i
q
П
,
по условию равновесия (3.26), то разложение будет иметь вид
...,...
2
1
2
2
2
31
31
2
21
21
2
2
1
2
2
s
si
q
q
П
qq
qq
П
qq
qq
П
q
q
П
П
… , (4.5)
где
o
i
q
П
,
o
i
q
П
2
2
... – значения соответствующих производных при
0...
21
s
qqq
, т.е. в положении равновесия.
Из выражения (4.5) следует, что разложение в ряд потенциальной
энергии в области равновесия начинается с членов второго порядка.
Первая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия консервативной системы в положении равновесия не имеет минимума, причем
отсутствие минимума устанавливается по разложению потенциальной
энергии (4.5), в котором сохранены только члены второго порядка,
то равновесие системы неустойчиво.
Эта теорема дает критерий неустойчивости равновесия почти для
всех встречающихся случаев.
Однако система может оказаться такой, что для нее величины
o
i
q
П
2
2
,
21
2
qq
П
...
будут равны нулю. Тогда разложение (4.5) будет начинаться с членов
не второго, а более высокого порядка.
Вторая теорема Ляпунова. Если потенциальная энергия системы в
положении равновесия имеет максимум, причем наличие максимума
устанавливается по разложению (4.5), в котором сохранены члены
наименьшего порядка, не обращающиеся в нуль, то равновесие системы
неустойчиво.
4.4. Решение задач
Задача 1. Маятник, используемый для записи горизонтальных колебаний, состоит из груза М, прикрепленного к стержню МЕ, свободно проходящему через качающуюся муфту С (рис. 22). К стержню МЕ в точке В
шарнирно прикреплен другой стержень АВ, качающийся вокруг шарнира А.
54
Дано: МВ = а, АВ = б, АС = h.
Пренебрегая весом стержней и трением,
исследовать устойчивость вертикального положения маятника.
Решение: Система имеет одну сте-
пень свободы. Выберем в качестве
обобщенной координаты угол . Если
взять в точке А начало координат
и направить вертикально вверх ось Az,
то потенциальная энергия системы
)coscos(
abPPzП
M
.
При исследовании устойчивости
равновесия можно ограничиться рас-
смотрением положения системы, для которого углы и малы. Тогда,
пренебрегая малыми высшего порядка, будем приближенно иметь:
АД АВ = b, СД h – b;
ВД СД АД.
Из приведенных равенств следует, что
СД
АД
или
bh
b
.
Далее, пользуясь разложением косинуса в ряд, получаем:
...
)(
2
1
1...
2
1cos...,
2
1cos
2
2
222
bh
b
… ,
...
)(
2
1
1...
2
1cos...,
2
2
222
bh
b
.
Подставив эти значения в выражение потенциальной энергии
и отбросив в скобках постоянную величину (b – a), получим
...1
)(
2
2
2
bh
abPh
П
.
Найденное выражение дает разложение потенциальной энергии рассматриваемой системы в ряд (4.5). Допустим, что величина в квадратной скобке не равна нулю. Тогда разложение начинается с члена, содержащего квадрат обобщенной координаты. Беря производную от П
по и приравнивая ее, согласно условию (3.26), нулю, находим, что система будет в равновесии при = 0. Для исследования устойчивости
равновесия берем вторую производную от П по :
1
)(
22
2
ah
ab
Pb
d
Пd
.
а
М
Р
А
В
С
z
E Д b
x
h
Рис. 22
55
Если эта величина положительна, то потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, и по теореме Дирихле равновесие
устойчиво; если отрицательна, то по первой теореме Ляпунова –
неустойчиво.
Следовательно, при
)( abbh
равновесие маятника устойчиво. В частности, если h = b , то равновесие
устойчиво при
bh 2
. Если же будет
)( abbh
, то равновесие не-
устойчиво.
В случае когда
)( abbh
, коэффициент при
2
в разложении П
обращается в нуль, и ряд будет начинаться с членов более высокого порядка: для решения вопроса об устойчивости в этом случае следует
воспользоваться второй теоремой Ляпунова. Соответствующий расчет
дает, что маятник будет при
)( abbh
неустойчив. Задача для слу-
чая, когда
)( abbh
, может быть решена следующим путем. Мгно-
венный центр скоростей стержня ВЕ находится в точке CV. Проведем из
CV вертикальную прямую до пересечения ее с продолжением линии ВЕ
в точке К. При отклонении кривошипа АВ от вертикали влево стержень
ВЕ поворачивается вокруг мгновенного центра скоростей CV по направлению движения часовой стрелки. Тогда, если груз М находится в положении М1, то он при этом отклонении будет подниматься (рис. 23).
Следовательно, при равновесии
центр тяжести груза занимает наинизшее положение и равновесие
становится устойчивым. Наоборот,
если груз находится в М2, то при отклонении стержня АВ от вертикали
он опускается. Значит, при равновесии центр тяжести груза был в
наивысшем положении и равновесие
в этом случае неустойчиво.
Задача 2. Исследовать равновесие маятника с двумя грузами
(метронома), изображенного на рис. 24.
Рис. 23
56
Решение. Ось у направим по вертика-
ли вниз, расстояния грузов М1 и М2 до
точки опоры обозначим l1 и l2, веса их –
Р
1
и Р2. Тогда потенциальная энергия си-
стемы, если пренебречь весом стержня,
cos)(
1122
yPyРП
.
Чтобы исследовать устойчивость положения равновесия при = 0, введем обобщенную координату . Тогда
,cos,cos
2211
lyly
,cos,cos
2211
lyly
cos)(
2211
lPlРП
.
Нахо-
дим вторую производную потенциальной
энергии по обобщенной координате :
cos)(
2211
lPlРП
; при условии
11
lР
>
22
lP
П
положительно, следовательно, потенциальная энергия
минимальна и положение равновесия устойчиво; при
11
lР
=
22
lP
нет ни
максимума, ни минимума, этому случаю соответствует астатическое
равновесие; при
11
lР
<
22
lP
равновесие неустойчиво.
5. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
5.1. Принцип Даламбера для материальной точки
В предыдущих разделах настоящего курса подробно рассматривался
принцип возможных перемещений. Установлено, что с помощью этого
принципа можно достаточно просто решать задачи о равновесии системы твердых тел, а также определять зависимости между величинами
В этой главе будем рассматривать второй общий принцип аналити-
ческой механики, называемый принципом Даламбера.
Начнем с изучения принципа Даламбера для одной материальной
точки. С этой целью рассмотрим классическое уравнение движения
точки массой m в некоторой инерциальной системе отсчета, к которой
приложены равнодействующая активных сил
)(e
F
и равнодействующая
сил реакции связей R. На основании второго закона Ньютона имеем
Рис. 24
57
RFam
e
)(
. (5.1)
Эта формула устанавливает зависимость ускорения точки от действующих на нее сил и массы точки.
Используя формулу (5.1), можно вывести дифференциальные
уравнения движения точки в различных системах координат. Например, в декартовой системе координат уравнения принимают вид:
x
e
x
RFxm
)(
;
y
e
y
RFym
)(
;
z
e
z
RFzm
)(
. (5.2)
Чтобы записать дифференциальное уравнение движения точки в
векторной форме, надо просто переписать (5.1), т.е. считать, что
RFam
e
)(
является дифференциальным уравнением движения точки.
Если перенести в уравнение (5.1) член, содержащий ускорение
точки, в правую часть, то получим
0
)(
RFam
e
. (5.3)
Теперь (5.3) не является уравнением движения точки, а представ-
ляет собой сумму векторов, имеющих размерность сил.
Векторную величину, равную по модулю произведению массы
точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки или даламберовой силой инерции.
Обозначив силу инерции через
ин
F
, получим
amF
ин
. (5.4)
Тогда (5.3) принимает вид
0
)(
RFF
eин
. (5.5)
Так как
инe
FRF ,,
)(
образуют систему сходящихся сил и удовлетво-
ряют условию (5.5), то они являются уравновешенной системой. Силы
инe
FRF ,,
)(
удовлетворяют трем уравнениям равновесия:
0
)(xe
x
ин
x
RFF
; (5.6)
0
)(ye
y
ин
y
RFF
;
0
)(ze
z
ин
z
RFF
.
Особо отметим, что даламберова сила инерции не является силой
физической и в этом смысле она не реальна, т.е. она воображаемая сила.
Введение этой воображаемой (фиктивной) силы приводит к принципу
Даламбера для материальной точки.
Если в любой момент времени к фактически действующим на точ-
ку силам
)(e
F
и R добавить силу инерции
ин
F
, то полученная система
сил будет уравновешенной.
58
5.2. Принцип Даламбера для системы
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных
точек с массами
n
mmmm ,...,,,
321
. Обозначим равнодействующую всех
внешних сил, действующих на точку с массой тk , через
)(e
k
F
, а равно-
действующую всех внутренних сил через
)(i
k
F
. Тогда, если к этим силам
добавить силу инерции
kk
ин
k
amF
, (5.7)
то, согласно принципу Даламбера для одной точки, система сил
)(e
k
F
,
)(i
k
F
,
ин
k
F
будет уравновешенной и, следовательно,
ин
k
F
+
)(e
k
F
+
)(i
k
F
= 0. (5.8)
Применяя аналогичные рассуждения к каждой точке тk (k = 1,2,3,…,n),
придем к принципу Даламбера для системы. Если к каждой точке механической системы в любой момент времени приложить кроме внешних
и внутренних сил еще воображаемую силу инерции, то получим уравновешенную систему сил, к которой применимы все условия и уравнения равновесия статики.
Написав условия равновесия приложенных сил и сил инерции для
каждой точки системы, получим:
0
)(
1
)(
11
eiин
FFF
, (5.9)
0
)(
2
)(
22
eiин
FFF
;
0
)(
3
)(
33
eiин
FFF
;
0
)()(
e
n
i
n
ин
n
FFF
.
Система (5.9) выражает принцип Даламбера аналитически. Из нее
можно получить уравнения, не содержащие наперед неизвестные внутренние силы. Складывая почленно равенства (5.9) и замечая, что геометрическая сумма всех внутренних сил системы равна нулю, получаем:
0
11
)(
n
k
ин
n
n
k
e
n
FF
. (5.10)
Обозначая радиус-векторы точек системы через
n
rrrr ,...,,,
321
и
умножая обе части первого из равенств (5.9) векторно на
1
r
, второе –
на
2
r
и т.д., а затем суммируя эти равенства почленно, получаем:
0)(
n
k
ин
nk
n
k
e
nk
FrFr
, (5.11)
59
или
0)()(
11
)(
n
k
ин
no
n
k
e
no
FmFm
. (5.12)
С использованием выражений (2.16), (2.17), (5.11) и (5.12) выводим
уравнения равновесия пространственной системы сил:
0
11
)(
n
k
ин
kx
n
k
e
kx
FF
; (5.13)
0
11
)(
n
k
ин
ky
n
k
e
ky
FF
;
0
11
)(
n
k
ин
kz
n
k
e
kz
FF
;
0)()(
11
)(
n
k
ин
nx
n
k
e
nx
FmFm
;
0)()(
11
)(
n
k
ин
ny
n
k
e
ny
FmFm
;
0)()(
11
)(
n
k
ин
nz
n
k
e
nz
FmFm
.
И уравнивая равновесия плоской системы сил:
0
11
)(
n
k
ин
kx
n
k
e
kx
FF
; (5.14)
0
11
)(
n
k
ин
ky
n
k
e
ky
FF
;
0)()(
11
)(
n
k
ин
no
n
k
e
no
FmFm
.
Система уравнений (5.10) – (5.14) аналогична уравнениям, выра-
жающим необходимые и достаточные условия равновесия абсолютно
твердого тела.
Таким образом, вытекающие из принципа Даламбера уравнения
позволяют решить до конца задачу динамики только для абсолютно
твердого тела.
Значение принципа Даламбера состоит в том, что он дает единый
метод составления уравнений движения любой механической системы.
Особенно эффективно этот принцип может быть использован для решения задач динамики в соединении с принципом возможных перемещений, выражающим в весьма общей форме условия равновесия механической системы.
60
Далее введем обозначения:
n
k
ин
k
ин
FR
1
;
n
k
ин
ko
ин
o
FmM
1
)(
. (5.15)
Величины
ин
R
,
ин
o
M
представляют собой главный вектор и главный
момент относительно центра О системы сил инерции. В результате из
выражений (5.10) и (5.12) получим:
0
1
)(
ин
n
k
e
k
RF
;
0)(
1
)(
ин
o
n
k
e
ko
MFm
.
Чтобы пользоваться этими уравнениями при решении задач, надо
знать выражения главного вектора и главного момента сил инерции.
Определим величину главного вектора сил инерции. Из (5.15) имеем
n
k
kk
n
k
ин
k
ин
amFR
11
. (5.16)
Так как в любой момент времени положение центра масс движу-
щейся механической системы материальных точек или тела определяется по формуле (1.1), то
n
k
kkc
rmrM
1
или
n
k
kkc
amaM
1
. (5.17)
Из выражений (5.16) и (5.17) будем иметь
c
ин
aMR
. (5.18)
Следовательно, главный вектор сил инерции тела, совершающего
любое движение, равен произведению массы тела на ускорение его
центра масс и направлен противоположно этому ускорению.
Если центр масс тела движется по некоторой кривой, то
n
ccc
aaa
.
Тогда
n
cc
ин
aMaMR
.
Следовательно, главный вектор сил инерции можно представить в виде
двух составляющих:
c
ин
aMR
;
n
c
ин
n
aMR
. (5.19)
Теперь определим выражение главного момента сил инерции.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]