Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
81
Но
agPF
ин
/
, а
RarmF
kkk
ин
k
/
. Замечая, что коэффициент при
дает обобщенную силу инерции, находим:
R
a
rmRa
g
P
Q
n
k
kk
ин
1
2
.
Но стоящая в правой части сумма дает момент инерции барабана
относительно его оси, который равен
gPR 2/
2
. Окончательно
a
g
RP
PQ
ин
2
.
Полагая теперь, согласно равенству
0
ин
QQ
, получим
02
g
aP
PP
.
Отсюда находим ускорение груза:
ga 3/2
.
С помощью этого несложного примера показано, как производится
подсчет
ин
Q
, если в систему входит непоступательно движущееся тело.
В этом случае приходится суммировать элементарные работы сил
инерции всех точек тела и определять значение этой суммы.
7. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ
7.1. Кинетическая энергия системы материальных точек
и твердого тела
Если материальная точка массы т движется со скоростью v , то ве-
личину, равную половине произведения массы на квадрат скорости,
называют
кинетической энергией точки.
Обозначим кинетическую энергию через Т, имеем по определению
2
2
1
mvT
. (7.1)
В зависимости от условий задачи мы можем выражение для кинетиче-
ской энергии написать в той или иной координатной системе. Если,
например, по условию задачи нам удобно рассматривать движение относительно декартовых координат, то кинетическую энергию запишем в виде
82
)(
2
1
222
zyxmT
. (7.2)
Если нам удобно рассматривать движение точки в цилиндрической
системе координат, то имеем
)(
2
1
2222
zmT
. (7.3)
Кинетической энергией системы материальных точек называется
сумма кинетических энергий всех входящих в систему точек:
n
k
kk
vmT
1
2
2
1
. (7.4)
Кинетическая энергия, согласно этому определению, является существенно положительной величиной, обращающейся в нуль лишь в
том случае, когда скорости всех входящих в систему точек обращаются
в нуль, т.е. в случае покоя системы.
При вычислении кинетической энергии твердого тела ограничимся
рассмотрением наиболее простых случаев движения.
При поступательном движении
2
11
22
2
1
2
1
2
1
MvmvvmT
n
k
k
n
k
k
, (7.5)
где через М обозначена масса тела.
В случае вращения тела вокруг неподвижной оси Oz
2
1
22
1
2
2
1
2
1
)(
2
1
z
n
k
kk
n
k
kk
JrmrmT
. (7.6)
При плоском движении тела
22
2
1
2
1
zcc
JMvT
, (7.7)
где М – масса тела;
Jzc – момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной
к плоскости движения и проходящей через центр масс;
vc – скорость движения центра масс;
– угловая скорость.
7.2. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах
Из общего уравнения динамики можно получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, дающие
весьма общий и в то же время достаточно простой метод решения динамических задач.
83
Рассмотрим систему п материальных точек, на которые действуют
активные силы
1
F
,
2
F
, ... ,
n
F
. Пусть положения точек системы относи-
тельно инерциальных осей координат определяется радиусамивекторами
1
r
,
2
r
, ... ,
n
r
. Тогда общее уравнение динамики для рассмат-
риваемой системы будет иметь вид:
0)(
1
n
k
k
ин
kk
rFF
. (7.8)
Если система имеет s степеней свободы, то ее положение может быть
однозначно определено обобщенными координатами
1
q
,
2
q
,...,
s
q
.
Тогда, как было показано в (1.26), радиус-вектор любой точки системы
k
r
можно выразить через обобщенные координаты
),...,,(
21 skk
qqqrr
(7.9)
и для
k
r
получается выражение
s
s
kkk
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
...
2
2
1
1
. (7.10)
Подставляя эти значения
k
r
в уравнение (7.8) и вынося общие
множители за скобки, получаем:
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
q
q
r
F
q
r
Fq
q
r
F
q
r
F
n
k
k
ин
k
n
k
k
k
n
k
k
ин
k
n
k
k
k
(7.11)
2
1
2
1
2
q
q
r
F
q
r
Fq
n
k
k
ин
k
n
k
k
k
.0...
11
s
n
k
s
k
ин
k
n
k
s
k
k
q
q
r
F
q
r
F
Первые слагаемые в квадратных скобках представляют собой
обобщенные активные силы
1
Q
,
2
Q
, ... ,
s
Q
(см. формулы (1.28)). Вто-
рые слагаемые в квадратных скобках назовем по аналогии обобщенными силами инерции:
n
k
k
ин
k
ин
q
r
FQ
1
1
1
;
n
k
k
ин
k
ин
q
r
FQ
1
2
2
, ... ,
n
k
s
k
ин
k
ин
s
q
r
FQ
1
. (7.12)
Тогда уравнение (7.11) представим в виде
.0)(...)()(
222111
s
ин
ss
инин
qQQqQQqQQ
(7.13)
Так как
1
q
,
2
q
, ... ,
s
q
между собой независимы, то равенство (7.13)
может быть выполнено только, когда каждый из коэффициентов при
i
q
в отдельности равен нулю. Отсюда находим:
011инQQ
,
022инQQ
, ... ,
0
ин
ss
QQ
. (7.14)
84
Это уравнения движения системы, которыми мы уже пользовались при
решении задач п 6.2. Неудобство этих уравнений, как указывалось, состоит в том, что для систем, тела которых движутся непоступательно,
усложняется подсчет обобщенных сил инерции.
Покажем, что величины обобщенных сил инерции любой системы
могут быть легко найдены, если известно выражение кинетической
энергии этой системы. Наличие такой зависимости значительно облегчает весь ход решения, так как для подсчета кинетической энергии системы мы имеем достаточно простые готовые формулы (7.1) – (7.7).
Начнем с преобразования выражения
ин
Q
1
. Заметив, что
kkkk
ин
k
rmamF
,
получим из равенств (7.12):
n
k
k
kk
ин
q
r
rmQ
1
1
. (7.15)
Так как кинетическая энергия выражается через скорости точек системы, то для получения искомого выражения
ин
Q
1
надо преобразовать
правую часть (7.15) так, чтобы в нее вместо
k
r
и
k
r
вошли только
k
r
,
прежде чем заметим, что
111
q
r
dt
d
r
q
r
r
dt
d
q
r
r
k
k
k
k
k
k
, (7.16)
в чем легко убедиться непосредственно дифференцированием.
Но так как порядок дифференцирования функции можно менять, то
111
q
r
t
r
qq
r
dt
d
kkk
. (7.17)
Остается преобразовать производную от
k
r
по q1 в первом члене
правой части (7.16). Для этого, заметив, что
k
r
есть функция обобщен-
ных координат (7.9), возьмем полную производную
k
r
по времени:
s
s
kkk
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
...
2
2
1
1
. (7.18)
Так как
k
r
есть функция q1, q2,..., qs , то и частные производные
от
k
r
по обобщенным координатам также функции только q1, q2,..., qs .
Само же
k
r
будет, как видно из равенства (7.18), функцией из обобщен-
ных координат и обобщенных скоростей, которые входят множителями
при частных производных:
),...,,;,...,,(
2121 sskk
qqqqqqrr
. (7.19)
85
Возьмем теперь частную производную от левой и правой частей
равенства (7.18) по
1
q
. Так как
1
q
входит только множителем в первое
слагаемое, то получим:
11
q
r
q
r
kk
. (7.20)
Заменив теперь частные производные в правой части равенства
(7.16) их значениями из (7.17) и (7.20), получим:
111
q
r
r
q
r
r
dt
d
q
r
r
k
k
k
k
k
k
,
или
22
2
1
2
11
kk
k
r
q
r
qdt
d
q
r
r
.
Подставляя эти значения в равенство (7.15) и замечая, что сумма
производных равна производной от суммы, а
kk
vr
, находим:
n
k
kk
n
k
kk
ин
vm
q
vm
qdt
d
Q
1
2
1
1
2
1
1
22
.
Аналогичные выражения получим для остальных обобщенных сил
инерции. Но величины сумм, стоящих в квадратных скобках, равны по
определению кинетической энергии системы. В результате получим
следующие выражения обобщенных сил инерции через кинетическую
энергию системы:
11
1
q
T
q
T
dt
d
Q
ин
,
,...
22
2
q
T
q
T
dt
d
Q
ин
,
ss
ин
s
q
T
q
T
dt
d
Q
. (7.21)
Подставив найденные значения
ин
i
Q
в равенства (7.14) и перенося в
них Qi в правые части, найдем окончательно:
1
11
Q
q
T
q
T
dt
d
;
2
22
Q
q
T
q
T
dt
d
; (7.22)
..................................
s
ss
Q
q
T
q
T
dt
d
.
86
Эти s уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах; они
впервые были получены Лагранжем в его «Аналитической механике» и
потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание
на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т.е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции идеальных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему s дифференциальных уравнений
второго порядка с s независимыми функциями q1, q2,..., qs .
Основная задача динамики в обобщенных координатах ставится
так: зная обобщенные силы системы Qi и начальные условия
(начальные значения обобщенных координат qio и обобщенных скоро-
стей
io
q
), определить закон движения системы, т.е. найти обобщенные
координаты q1, q2,..., qs как функции времени.
Решение задачи сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений второго порядка (7.22). Интегралы этих уравнений
будут содержать 2s постоянных интегрирования, которые определяются по 2s начальным условиям: при t = 0 qi = qio,
ioi
qq
(i= 1,2,...,s).
Уравнения (7.22) позволяют также, зная закон движения системы
в обобщенных координатах, т.е. qi как функции времени, определить
обобщенные силы. Преимущество полученных уравнений состоит
в том, что они дают единый и простой метод решения задач динамики
для любой системы точек или системы тел, как угодно движущихся.
При этом число дифференциальных уравнений движения не зависит от
числа входящих в систему тел (или точек) и равно числу степеней свободы системы. Другим большим преимуществом этих уравнений является то, что они позволяют решать задачи для систем с идеальными
связями на основании учета действия одних только активных сил;
наперед неизвестные реакции связей при этом автоматически исключаются из уравнений.
Уравнениями (7.22) можно пользоваться и в случаях, когда на систему наложены связи с трением, включая силы трения в число активных сил.
Отметим в заключение, что все те дифференциальные уравнения
движения материальной точки или твердого тела, которые были полу-
87
чены из основного закона динамики или из общих теорем классической
механики, можно получить с помощью уравнений Лагранжа (7.22).
Покажем, например, как с помощью уравнения (7.22) получить
дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну
степень свободы. Выберем за обобщенную координату угол поворота .
Движение тела описывается одним из уравнений из системы (7.22):
1
Q
TT
dt
d
.
Найдем сначала
1
Q
. Элементарная работа приложенных сил при
повороте тела на угол
А = М
,
где М – сумма моментов всех внешних сил относительно оси вращения z.
Следовательно,
1
Q
= М. Кинетическая энергия вращающегося
тела
22
2
1
2
1
JJT
.
Подставив все найденные значения в записанное выше уравнение, получим:
MJ
.
Это и есть дифференциальное уравнение вращательного движения
твердого тела. Аналогично можно получить дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела и т.д.
7.3. Случай потенциальных сил
Рассмотрим случай, когда все действующие на систему силы потенциальны. Обобщенные силы можно выразить через силовую функцию U с помощью формул (3.23). Преобразуем сначала первое из уравнений (7.22). Заменив в нем
1
Q
его значением из (3.23), получим:
0
111
q
U
q
T
q
T
dt
d
,
или
0
)()(
11
q
UT
q
UT
dt
d
.
88
Последнее равенство справедливо потому, что силовая функция
является функцией только координат и от скоростей не зависит. Следовательно,
0
1
q
U
,
и от прибавления ее к левой части равенство не нарушилось.
Аналогичным образом преобразуются остальные уравнения системы (7.22).
Введем новую функцию
L = T + U = T – П, (7.23)
называемую функцией Лагранжа. Функция L представляет собой, как
видно из (7.23), разность между кинетической и потенциальной энергиями системы и является функцией обобщенных координат и обобщенных скоростей. Тогда система (7.22) примет окончательный вид:
1
11
Q
q
L
q
L
dt
d
;
2
22
Q
q
L
q
L
dt
d
, (7.24)
..................................
s
ss
Q
q
L
q
L
dt
d
.
Уравнения (7.24) представляют собой уравнения движения системы в обобщенных координатах в случае потенциальных сил.
7.4. Решение задач
Уравнениями движения в обобщенных координатах (уравнениями
Лагранжа) (7.22) можно, как указывалось, пользоваться для решения
задач динамики в случаях движения любой системы с геометрическими
связями. При этом несущественно, сколько тел или точек входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) изучается.
Для решения задач динамики с помощью уравнений (7.22) нужно
проделать следующие операции.
1. Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные
координаты; число координат равно числу степеней свободы, одни должны
быть между собой независимы и однозначно определять положение системы.
89
2. Изобразить действующие на систему активные силы (и силы
трения) и подсчитать обобщенные силы системы так, как это было показано в п. 1.8.
3. Вычислить кинетическую энергию системы, выразив ее через
выбранные обобщенные координаты и производные по времени,
т.е. обобщенные скорости. При этом, независимо от того, какое движение изучается (относительное или абсолютное), кинетическая энергия
системы должна определяться в абсолютном движении.
4. Подсчитать частные производные от кинетической энергии Т по
обобщенным координатам qi и обобщенным скоростям
i
q
и составить
дифференциальные уравнения движения (7.22).
5. Решая полученную систему уравнений,
определить искомые в задаче величины.
В случаях, когда требуется найти закон
движения системы, т.е. найти qi(t), полученные
дифференциальные 2-го порядка интегрируются обычными математическими методами;
постоянные интегрирования определяются по
начальным условиям, которые должны быть
также выражены в обобщенных координатах.
Если закон движения системы задан, т.е. известны qi(t), то уравне-
ния (7.22) позволяют определить обобщенные силы или величины, через которые эти силы выражаются.
Задача 1. Физический маятник.
Тело весом Р вращается вокруг горизонтальной оси, расстояние от
оси вращения О до центра тяжести С равно l (рис. 35). Найти закон
движения тела.
Решение. За обобщенную координату примем угол поворота тела
; кинетическая энергия
22
2
1
2
1
JJT
.
Приложенная сила веса консервативна, потенциальная энергия
П = – Рус = – Рlcos ,
лагранжева функция
cos
2
1
2
PlJПTL
.
О
l
C
y
Р
Рис. 35
90
Находим:
J
L
;
sinPl
L
,
так что лагранжевы уравнения (7.22) дают:
0sin
PlJ
.
Это известное уравнение (5.21), решение которого приводится в (5.22).
Задача 2. Эллиптический маятник.
Исследовать движение двух тел
(рис. 36), из которых одно М1 весом Р1
скользит без трения по горизонтальной плоскости, а второе М2 весом Р2
соединено с ним невесомым стержнем
длиной l и совершает колебания в
вертикальной плоскости.
Решение. Обозначим координаты
тел соответственно: х1 , у1 и х2 , у2 , видим, что между ними и углом стержня
с вертикалью существуют соотношения:
sin
12
lxx
;
cos
2
ly
.
Система имеет две степени свободы, за обобщенные координаты
можно принять х1 и . Кинетические энергии отдельных тел легко вычисляются:
2
111
2
1
xmT
;
22
1
2
122
cos2
2
1
lxxmT
.
Потенциальная энергия та же, что и у простого маятника, так как
работа веса первого тела на горизонтальном пути равна нулю:
coscos
22
glmlPП
.
Лагранжева функция
coscos
2
1
)(
2
1
212
22
2
2
121
glmxlmlmxmmL
.
Составляем частные производные:
cos)(
2121
1
lmxmm
x
L
;
0
1
x
L
;
cos
12
2
2
xlmlm
L
;
sinsin
21
2
2
glmxlm
L
.
x
С l M1 M
2
2
Р
y
Рис. 36
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]