Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
11
1.6. Возможные перемещения в обобщенных координатах
Возможным перемещением точки или механической системы называется мыслимое (воображаемое) бесконечно малое перемещение, допускаемое связями, наложенными на точку или систему в данный момент
движения. Возможное перемещение обозначается через
r
или
q
.
Основные свойства множества всех возможных перемещений,
которые точка могла бы совершить, не нарушая связей, зависят от геометрических свойств этих связей.
Под возможным перемещением механической системы понимают
возможные перемещения элементов этой системы. Если даже только
один элемент системы получает возможное перемещение, то говорят,
что система получила возможное перемещение.
Поскольку положение системы определяется обобщенными координатами
i
q
, то возможное перемещение системы определяется прира-
щениями обобщенных координат:
1
q
,
2
q
,…,
s
q
.
Приведем пример. Кривошипно-шатунный механизм с двумя шатунами АД и ВЕ (рис. 6) имеет одну степень свободы: для него возможно одно независимое мыслимое (воображаемое) перемещение, например перемещение, полученное при повороте кривошипа ОА вокруг оси
О на угол
. При этом точки Д и В вынуждены переместиться вдоль
своих траекторий на
Д
s
и
В
s
. Так как система имеет одну степень сво-
боды, то
Д
s
и
В
s
зависят от
. Чтобы определить эти зависимости,
воспользуемся известными из кинематики соотношениями.
Рис. 6
O l
120
60
A B
Д CE
s
A
s
E
s
Д
s
B
12
Сначала найдем
A
s
; получим
ls
A
;
OAs
A
. (1.18)
Теперь определим
Д
s
, учитывая, что проекции
Д
s
и
A
s
на пря-
мую АД должны быть равны друг другу. Тогда
o
A
o
Д
ss 30cos30cos
и
lss
AД
. (1.19)
Чтобы выразить
В
s
через
, найдем сначала
E
s
. Для этого по-
строим мгновенный центр скоростей Сv шатуна АД (на пересечении
перпендикуляров к
A
s
и
Д
s
, восстановленных из точек А и Д) и пока-
жем направление поворота шатуна АД вокруг Сv , учитывая направление
A
s
. Так как СvАД = СvДА = 60, то треугольник АСvД – равно-
сторонний, и СvЕ в нем – высота. Тогда
E
s
будет направлено по пря-
мой ЕА, а потому
.30cos30cos
oo
AЕ
lss
(1.20)
Наконец, из равенства проекций
B
s
и
E
s
на прямую ВЕ получим
.60cos30cos60cos
ooo
EB
lss
(1.21)
Таким образом, мы выразили возможные перемещения всех точек
системы через возможный угол поворота :
lss
ДA
;
o
E
ls 30cos
; (1.22)
.60cos30cos
oo
B
ls
1.7. Возможная работа силы в обобщенных координатах.
Обобщенные силы
Движение (или равновесие) механической системы зависит от дей-
ствующих на систему активных сил (внешних и внутренних) и характера наложенных связей. Ограничения, налагаемые на движение
(или равновесие) системы геометрическими связями, учитываются
выбором соответствующих обобщенных координат (1.8) или (1.13).
Действие активных сил может быть охарактеризовано работой, производимой этими силами при перемещении системы.
Если к некоторой точке
)(
11
rm
системы приложена сила
1
F
, то воз-
можная элементарная работа
1
A
, производимая этой силой на возмож-
ном перемещении
1
r
, выражается скалярным произведением:
111
rFA
. (1.23)
13
Для вычисления вектора
1
r
его можно рассматривать как полный
дифференциал от функции
),...,,,(
32111 s
qqqqrr
, но только мыслимый
дифференциал при фиксированном времени t. Тогда по правилу составления полного дифференциала имеем:
s
i
i
i
s
s
q
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
1
11
2
2
1
1
1
1
1
...
;
).,...,3,2,1(
111
1
1
sik
q
z
j
q
y
i
q
x
q
r
iii
(1.24)
Возможная работа всех активных сил
1
F
,
2
F
,
3
F
,…,
n
F
, приложен-
ных к n материальным точкам системы, определяется формулой
n
k
kk
rFA
1
, (1.25)
где
s
s
kkkk
k
q
q
r
q
q
r
q
q
r
q
q
r
r
...
3
3
2
2
1
1
(1.26)
),...,3,2,1( nk
.
Подставляя (1.26) в (1.25) и вынося общие множители
1
q
,
2
q
, … ,
s
q
за скобки, получаем
s
n
k
s
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
q
q
r
Fq
q
r
Fq
q
r
FA
1
2
1
2
1
1
1
...
. (1.27)
Введем обозначения:
s
n
k
s
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
Q
q
r
FQ
q
r
FQ
q
r
F
1
2
1
2
1
1
1
,...,,
. (1.28)
Тогда выражение возможной работы в обобщенных координатах
принимает вид
ss
qQqQqQA
...
2211
. (1.29)
Сравнивая это равенство с формулой
zzyyxx
FFFA
, опре-
деляющей элементарную работу силы F, действующей на точку с координатами x, y, z, заключаем, что величины Q1, Q2,…,Qs в равенстве
(1.29) играют роль сил. Эти величины называются обобщенными силами.
Так как все слагаемые равенства (1.29) должны иметь размерность
работы, то размерность обобщенной силы Qi зависит от размерности
обобщенной координаты qi.
14
Если, например, обобщенная координата имеет размерность длины,
то обобщенная сила будет иметь размерность обычной силы Н. Если
обобщенной координатой будет угол (величина безразмерная),
то обобщенная сила будет иметь размерность момента силы Н m.
1.8. Вычисление обобщенных сил
Проще всего обобщенные силы вычислять непосредственно с по-
мощью равенства (1.29) и метода остановки. Расчет при этом производится следующим образом. Пусть данная система имеет s степеней
свободы. Выбираем для нее обобщенные координаты
s
qqq ,...,,
21
. Затем
изображаем действующие на точки системы активные силы (внешние
и внутренние) и силы трения.
После этого сообщаем системе такое возможное перемещение, при
котором изменяется только одна координата (например,
1
q
), а остальные остаются неизменными; это всегда можно сделать, так как обобщенные координаты между собой независимы. Вычисляем элементарную работу всех сил на этом перемещении и представляем ее в виде
111
qQA
.
Коэффициент
1
q
в полученном выражении и дает обобщенную
силу
1
Q
. Аналогично вычисляются остальные обобщенные силы.
При вычислении работы надо помнить, что если возможное перемещение какого-нибудь из тел системы представляет собою поворот вокруг
некоторого центра, то элементарная работа равна произведению суммы
моментов приложенных сил относительно этого центра и моментов пар
сил на элементарный угол поворота.
Пример 1. Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм с двумя
шатунами, который занимает в некоторый момент заданное положение
(см. рис. 6). К механизму приложены в точках Д и В силы
1
F
и
2
F
,
а к кривошипу ОА – пара сил с моментом М (рис. 7). Система имеет одну степень свободы. Найдем обобщенную силу Q.
Возможная (элементарная) работа, производимая силами
1
F
,
2
F
и моментом М на возможных перемещениях
Д
s
,
В
s
, ,
)()()(
21
MAFAFAA
. (1.30)
15
Рис. 7
Вычислим каждое слагаемое этого равенства:
lFsFFA
Д 111
)(
;
4
3
)(
222
lFsFFA
B
; (1.31)
MMA )(
.
Подставляя (1.31) в (1.30) и вынося общий множитель за скобки, получаем
)
4
3
(
21
MlFlFA
,
откуда
MlFFQ )
4
3
(
21
. (1.32)
Пример 2. Рассмотрим систему двух грузов А и В весом Р1 и Р2,
связанных друг с другом и с неподвижной точкой О пружинами и нанизанных на стержень ОД, весом которого пренебрегаем (рис. 8). Длины пружин в ненапряженном
состоянии равны а1 и а2, а коэффициенты жесткости – с1 и с2 соответственно. Грузы могут скользить вдоль стержня без трения, а сам стержень
может качаться (тоже без трения) в вертикальной
плоскости вокруг оси О. Система имеет, очевидно, три степени свободы, так как каждый груз
может иметь независимое от другого перемещение вдоль стержня и, кроме того, оба груза могут
поворачиваться вместе со стержнем вокруг оси О.
O l
120
60
A B E M
s
B
2
F
1
F
s
Д
Д
Рис. 8
x
2
F
1
F
O
1
P
2
P
2
F
y
16
Выберем в качестве обобщенных координат угол , образуемый
стержнем с вертикалью, и расстояния x и у. Таким образом,
1
q
,
xq
2
,
yq
3
. Найдем соответствующие этим координатам обобщен-
ные силы. Для этого изображаем действующие на систему активные
силы, как внешние
1
P
,
2
P
и
1
F
, так и внутренние
2
F
и –
2
F
. При этом,
если считать, что обе пружины растянуты, то
)(
111
axcF
,
)(
222
aycF
.
Сообщим теперь системе такое возможное перемещение, при котором угол получает перемещение , а координаты x и у не изменяются. На этом перемещении совершат работу только силы тяжести
1
P
и
2
P
и их возможная работа (работу здесь проще всего вычислять как произведение суммы моментов сил относительно центра О на угол поворота):
sin)(sin
211
yxPxPA
.
Затем сообщим системе такое возможное перемещение, при котором обобщенная координата х получает положительное приращение х,
а координаты остаются неизменными. На этом перемещении произведут
работу силы
1
P
,
2
P
и
1
F
(сумма работ сил
2
F
и –
2
F
будет равна нулю).
В результате получим:
xaxcPPA
)(coscos
11212
.
Наконец, сообщим системе возможное перемещение, при котором
обобщенная координата у получает положительное приращение у,
а и х остаются неизменными. На этом перемещении совершают работу только силы
2
P
и –
1
F
и их элементарная (возможная) работа:
yaycPA
)(cos
2223
.
Из полученных выражений элементарных работ находим окончательно значение обобщенных сил:
sin)(
211
yxPxPQ
;
)(cos)(
11212
axcPPQ
;
)(cos
2223
aycPQ
.
17
1.9. Идеальные связи
Установив понятие работы силы на возможном перемещении, расширим классификацию связей. Начнем с ряда частных случаев.
1. Пусть материальная точка находится на гладкой поверхности.
В этом случае сила реакции R связи направлена по нормали к поверхности, а возможные перемещения точки
r
лежат в касательной плос-
кости к поверхности. Поскольку реакция R перпендикулярна любому
возможному перемещению
r
,
0 rRA
. (1.33)
2. То же относится и к твердому телу, скользящему по абсолютно
гладкой поверхности.
3. Если абсолютно твердое тело катится по другому абсолютно
твердому телу и поверхности их шероховаты, причем качение совершенно не сопровождается скольжением и моментом трения качения, то,
хотя тела шероховаты и силы трения не равны нулю, все равно работа
реакции на любом возможном перемещении будет равна нулю, так как
эта реакция приложена в точке мгновенного центра скоростей.
4. Твердое тело, имеющее одну или две закрепленные точки (шар-
ниры без трения). В этом случае точка приложения реакции связи остается неподвижной, и работа этой реакции при всяком возможном перемещении тела равна нулю.
5. Подвижный шарнир, при помощи которого соединены два тела,
например шарнир А в кривошипно-шатунном механизме (см. рис. 7).
Согласно закону равенства действия и противодействия, реакции R и
R
этих тел друг на друга в точке А равны по модулю и противополож-
но направлены. В этом случае работа каждой из реакции R и
R
на
возможном перемещении точки А не равна нулю, но в сумме дают ноль.
6. Аналогичное явление имеет место при передаче вращения от шки-
ва А к шкиву В с помощью приводного ремня С (рис. 9, а). В этом случае
работа каждой из систем сил
BiAi
RR ;
и
BiAi
RR;
на возможном переме-
щении шкивов А и В не равна нулю, но в сумме дает ноль (рис. 9, б).
Можно продолжать анализ всевозможных связей, обладающих тем
свойством, что сумма работ реакций их на любом возможном перемещении системы равна нулю. Аналитически это выражается в виде формулы
N
k
kk
rR
1
.0
(1.34)
Такие связи называются идеальными.
18
а)
б)
Рис. 9
Идеальными связями механической системы называются такие
связи, при которых сумма элементарных работ сил реакций связей равна нулю на любом из возможных перемещений системы.
2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
ЛАГРАНЖ Жозеф Луи (1736–1813) – французский математик,
член Французской АН (с 1772 г.) и Национального института (с 1795 г.).
Родился в Турине (Северная Италия). Учился в Туринском университете,
изучал латинскую литературу, затем геометрию. В 17 лет начал преподавать в Артиллерийской школе в Турине (с 1754 г. – профессор),
с 1787 г. переселился во Францию, с 1995 – профессор Высшей нормальной школы, с 1797 г. – Политехнической школы в Париже.
Исследования посвящены механике, геометрии, теории дифференциальных уравнений, алгебре и другим разделам математики.
В работе «Аналитическая механика» (1788) Лагранж полностью
отказался от геометрической трактовки в механике: все учение о равно-
С
А
В
В
С
А А
А В
В
Bi
R
Bi
R
Ai
R
Ai
R
i i
19
весии и движении он свел к некоторым общим уравнениям. В основу
статики Лагранж положил принцип возможных перемещений с прин-
ципом ДАламбера. Ввел обобщенные координаты и придал уравнениям движения новую форму (уравнения Лагранжа).
2.1. Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений устанавливает необходимое и достаточное условие равновесия механической системы материальных тел.
Для равновесия механической системы с идеальными связями,
находящейся под действием активных сил, необходимо и достаточно,
чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась нулю на
любом возможном перемещении системы из предполагаемого положения равновесия:
.0
11
n
i
ii
n
i
i
rFA
(2.1)
2.2. Прямая и обратная теорема Лагранжа
Приведем доказательство принципа возможных перемещений.
Теорема, выражающая необходимость принципа. Если механическая система с идеальными связями находится в равновесии, то сумма
элементарных работ всех активных сил на данном возможном перемещении системы равна нулю.
Пусть система находится в равновесии; тогда, очевидно, каждая
точка Мi этой системы также находится в равновесии, т.е. равнодействующая
i
F
всех активных сил, приложенных к точке, уравновешива-
ется равнодействующей
i
R
сил реакций связей, ограничивающих сво-
боду перемещений этой точки:
i
F
+
i
R
= 0. (2.2)
Умножив выражение (2.2) скалярно на
i
r
, получим
i
F
i
r
+
i
R
i
r
= 0. (2.3)
Суммируя соотношения (2.3), будем иметь:
011
n
i
ii
n
i
ii
rRrF
. (2.4)
20
Так как связи идеальные, то
n
i
ii
rR
1
=0, следовательно, если система
находится в равновесии, то необходимо, чтобы
01
ni
ii
rF
,
т.е. при равновесии механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему,
на любом возможном перемещении равна нулю:
0
11
n
i
ii
n
i
i
rFA
.
Обратная теорема, выражающая достаточность принципа.
Если сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы с идеальными связями равна нулю, то система находится в равновесии.
Предположим противное, т.е. что сумма элементарных работ всех
активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю:
01
ni
ii
rF
, (2.5)
а система в рассматриваемом положении не находится в равновесии. Тогда каждая точка Мi этой системы также не будет находиться в
равновесии, т.е. равнодействующая
i
F
всех активных сил, приложен-
ных к точке, не будет уравновешиваться равнодействующей
i
R
сил ре-
акций идеальных связей:
i
F
+
i
R
*
i
R
0. (2.2)
где
*
i
R
– равнодействующая активных сил
i
F
и сил реакций
i
R
.
Так как точки Мi системы начинают двигаться из состояния покоя,
то действительные перемещения точек за время dt будут направлены по
соответствующим равнодействующим
*
i
R
. Выберем возможные пере-
мещения точек системы так, чтобы они совпали с действительными перемещениями за время dt ; тогда
0
1
*
ni
ii
rR
или
011
n
i
ii
n
i
ii
rRrF
. (2.6)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]