Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
61
Пусть некоторое плоское твердое тело вращается вокруг вертикаль-
ной оси Oz (рис. 25). Выберем какую-нибудь точку тела с массой тk .
При вращении тела эта точка движется с ускорением
n
kkk
aaa
,
а сила инерции ее будет состоять из двух составляющих:
kk
ин
k
amF
,
n
kkkn
amF
.
Рис. 25
При этом линией действия силы
ин
kn
F
является прямая lk, поэтому ее мо-
мент относительно точки О равен нулю.
Поскольку
kk
ha
,
то
kk
ин
ko
mhFm
2
)(
.
Суммируя моменты всех элементарных сил инерции и вынося за скобки
общий множитель
, получим
kk
ин
ko
ин
o
mhFmM
2
)(
.
Принимая во внимание формулу (1.2), окончательно находим выражение главного момента сил инерции:
z
ин
o
JM
z
JM
.
Следовательно, главный момент сил инерции при вращении твердого
тела вокруг неподвижной оси Oz равен произведению момента инерции
z
J
тела на угловое ускорение
и направлен противоположно этому
ускорению.
z
O Mo h
к
mк l
к
ин
к
F
ин
кn
F
62
5.3. Решение задач
С помощью принципа Даламбера весьма просто и наглядно решаются те задачи динамики, в которых, зная движение системы или твердого тела, нужно определить реакции наложенных связей. При этом,
если пользоваться уравнениями (5.10) и (5.11), из рассмотрения будут
исключены все наперед неизвестные внутренние силы. В случаях, когда
нужно определить реакции внутренних связей, систему следует расчленить на такие части, по отношению к которым искомые силы будут силами внешними.
Кроме того, принцип Даламбера может быть использован при решении основной задачи динамики для составления дифференциальных
уравнений движения системы. При этом с помощью принципа Даламбера легко решаются многие задачи, в которых требуется определить
ускорение поступательно движущихся тел системы.
Рассмотрим примеры.
Задача 1. Два груза, весом Р1 и Р2 каждый, связаны нитью, движутся по горизонтальной плоскости под действием силы F, приложенной к
первому грузу (рис. 26, а). Коэффициент трения грузов о плоскость равен f. Определить ускорение движения грузов и натяжение нити.
Решение. Изображаем все действующие на систему внешние силы.
Прибавляем к этим силам силы инерции грузов. Так как оба груза движутся с одним и тем же ускорением a, то модули сил инерции равны:
a
g
P
F
ин
1
1
;
a
g
P
F
ин
2
2
.
а) б)
Рис. 26
Направления сил показаны на рис. 26, а. Силы трения соответственно равны:
11
fPFтр
;
22
fPF
тр
.
О
2тр
F
ин
F
2
2
N
2
P
1
P
1тр
F
ин
F
1
1
N
F
х
2тр
F
2
P
ин
F
2
2
N
T
63
Согласно принципу Даламбера, изображенная на рис. 26, а, система сил должна находиться в равновесии. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось Ox:
.0)(
1
)(
2121
aPP
g
PPfF
Отсюда
gf
PP
F
a
21
.
Очевидно, система будет двигаться, если
21
PP
F
f
.
Искомое натяжение нити является для рассматриваемой системы
силой внутренней. Чтобы найти эту силу, расчленим систему и применим принцип Даламбера к какому-нибудь одному грузу, например ко
второму (рис. 26, б). На этот груз действуют силы
2
P
, N,
2тр
F
и Т.
Присоединяя к этим силам силу инерции
ин
F
2
, составляем уравнение
равновесия:
0
2
2
a
g
P
fPT
.
Подставляя сюда найденное значение а, получим:
F
PP
P
T
21
2
.
Интересно, что натяжение в этом случае не зависит от величины
коэффициента трения и при одном и том же суммарном весе системы
будет тем меньше, чем меньше вес второго (заднего) груза. Поэтому,
например, в железнодорожном составе выгоднее в голове помещать более тяжелые вагоны, а в хвосте – более легкие.
Рассмотрим численный пример. F = 20 кН, Р1 = 40 кН, Р2 = 10 кН.
Тогда движение возможно, если f 0,4. Натяжение нити при этом равно
4 кН. Если грузы поменять местами, то натяжение станет
16
21
2
F
PP
P
T
кН.
Задача 2. Вертикальный вал ОО1 длиной 2l, закреплен подпятником
О и подшипником О1 (рис. 27, а), вращается с постоянной угловой ско-
ростью . В точке А (ОА = 0,5l) к валу жестко прикреплен ломаный однородный стержень АВД (АВ=ВД=l), общий вес которого 2Р.
64
а) б)
Рис. 27
Стержень АВ прикреплен к валу под углом , В = 180 – . Определить: 1) реакции подпятника О и подшипника О1, пренебрегая весом
вала; 2) величину угловой скорости , при которой боковое давление
вала на подшипник О равно нулю.
Решение. Для определения искомых реакций рассмотрим движение
заданной механической системы и применим принцип Даламбера.
Выберем систему координат Оху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы –
силы тяжести
1
P
,
2
P
и реакции связей – составляющие
o
X
,
o
Y
и
1o
X
.
Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы
инерции элементарных частиц однородного ломаного стержня.
Так как система вращается вокруг неподвижной оси ОО1 равномерно, то элементарные частицы стержня имеют только нормальные
ускорения
кп
а
, направленные к оси вращения. Модули этих ускорений
вычисляются по формуле
ккп
hа
2
,
где
к
h
– расстояние частицы от оси вращения.
Тогда силы инерции
ин
кп
F
будут направлены от оси вращения ОО1;
модули этих сил вычисляются по формуле
О
1
2l O 0,5l
1
Р
C1 C
2
2
Р
1
Р
2
Р
C
2
A
C
1
C
1
*
B Д
ин
F
1
ин
F
1
o
Y
o
X
1
o
X
65
кк
ин
к
hmF
2
,
где
к
m
– масса частицы.
Так как все
ин
к
F
пропорциональны
к
h
, то эпюры этих параллельных
сил образуют для части АВ треугольник, а для части ВД – прямоугольник (рис. 27, б).
Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как
модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение
c
ин
maR
, где т – масса тела, ас – ускорение его центра масс, то для ча-
сти стержня АВ получим
1
11 c
ин
amF
,
а для ВД получим
2
22 c
ин
amF
.
Ускорения центра масс С1 и С2
sin
2
2
1
l
ac
,
sin
2
2
la
c
.
Подставив эти выражения в предыдущие равенства, получим:
sin
2
2
1
1
l
g
P
F
ин
,
sin
2
2
2
l
g
P
F
ин
.
При этом сила
ин
F
1
приложена в точке
*
1
C
, отстоящей от точки А на рас-
стоянии 2/3l , а сила
ин
F
2
– в точке С2 .
Внешние силы (силы веса и реакции связей) и силы инерции
ин
F
1
,
ин
F
2
образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плос-
кой системы сил три уравнения равновесия:
0X
;
0
21
1
инин
oo
FFXX
;
0Y
;
0
21
PPY
o
;
0
A
m
;
sinsin5,02
21
1
lPlPlX
o
.0)cos1(
)cos3/25,0(
2
1
lF
llF
ин
ин
Подставив в эти уравнения соответствующие величины, приведем
систему к виду:
0sin2/3
2
1
l
g
P
XX
oo
;
66
0sin)3/28/5(sin4/3
1
l
g
P
PX
o
;
PY
o
2
.
Отсюда находим искомые опорные реакции:
g
l
PX
o
2
)cos16/21(8/93/2
;
sin)cos3/28/5(4/3
2
1
g
l
PX
o
;
PY
o
2
.
Чтобы найти , при которой боковое давление вала на подшипник
О было равно нулю, воспользуемся первым результатом:
0)cos16/21(8/9
2
g
l
.
Отсюда
cos31,1
1
8/9
2
l
g
,
где 0 90.
При возрастании угловая скорость вращения системы уменьшается.
Приведем численные результаты:
l
g
о
53,2
30
2
;
l
g
о
38,1
45
2
.
Задача 3. Тонкий однородный стержень
ОА весом Р и длиной l вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной
оси, проходящей через конец О (рис. 28).
Определить реакции оси.
Решение. Пусть в некоторый момент
времени положение стержня определяется
углом . Выберем систему координат Оху
так, чтобы ось Ох проходила вдоль стержня,
и изобразим действующие на стержень системы сил: активную силу P и реакции связи
o
X
,
o
Y
. Согласно принципу Даламбера,
присоединим к этим силам силы инерции
элементарных частиц тк. Так как стержень
вращается неравномерно, то элементарные
Р
o
Y
o
X
х
А
ин
F
О С
*
С
Рис. 28
67
частицы имеют нормальное ускорение
пк
а
и тангенциальное –
к
а
.
Модули сил инерции вычисляются по формулам:
кк
ин
пк
hтF
2
;
кк
ин
к
hтF
.
Направления этих сил показаны на рис. 28. Так как
n
F
пропорцио-
нальны hк , то эпюра этих сил образует треугольник. Каждую из полученных систем сил инерции заменим ее равнодействующей, равной
главному вектору этих сил:
2
2
l
g
P
F
ин
n
,
2
l
g
P
F
ин
.
При этом сила
ин
F
приложена в точке С*, отстоящей от оси О на расстоя-
нии 2/3l, а силу
ин
п
F
можно приложить в любой точке стержня ОА.
Внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему.
Составим три уравнения равновесия:
0X
;
0cos
ин
no
FPX
;
0Y
;
0sin
ин
o
FPY
;
0
o
m
;
0sin5,03/2
lPlF
ин
.
Подставив соответствующие величины, приведем систему к виду:
05,0cos
2
l
g
P
PX
o
; (5.20)
05,0sin
l
g
P
PY
o
;
0sin2/3
l
g
.
Если в последнем уравнении (5.20) перенести член, содержащий
sin , в правую часть равенства, то получим
sin2/3
l
g
. (5.21)
Теперь это равенство представляет собой дифференциальное уравнение движения стержня. Решение этого уравнения позволит найти за-
висимость угловой скорости
от угла поворота , а не от времени t.
Чтобы найти такую зависимость, воспользуемся заменой:
d
d
dt
d
d
d
dt
d
.
68
При такой замене уравнение (5.21) принимает вид
sin
2
3
l
g
d
d
.
Разделив переменные, получим
d
l
g
d sin
2
3
2
2
.
Интегрируя это уравнение, находим искомую зависимость
от :
oo
l
g
coscos3
22
, (5.22)
где
o
– начальное значение угловой скорости;
o
– начальное отклонение стержня.
Подставив выражение (5.22) в (5.20), определим реакции оси в зависимости от угла поворота и начальных условий вращения стержня:
ooo
g
l
PPX
cos35,0cos5,2
2
;
sin25,0 PY
o
.
5.4. Применение принципа Даламбера к выводу
теорем классической механики
Применим принцип Даламбера к выводу уравнений, выражающих
теоремы о движении центра масс механической системы, об изменении
количества движения и главного момента количества движения системы.
Начнем с уравнения (5.10), которое запишем в виде
0
11
)(
n
k
kk
n
k
e
k
amF
.
Это уравнение преобразуем следующим образом:
0
11
)(
11
)(
n
k
kk
n
k
e
k
n
k
kk
n
k
e
k
rmFamF
.
Отсюда
n
k
e
k
n
k
kk
Frm
dt
d
1
)(
1
2
2
.
Используя выражение для центра масс системы (1.1), т.е.
n
k
kkc
rmrМ
1
,
69
и подставляя последнее в предыдущее равенство, находим
n
k
e
kc
FrМ
1
)(
. (5.23)
Это дифференциальное уравнение выражает теорему о движении
центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее
центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему
внешних сил.
Сравнив уравнение (5.23) с классическим уравнением движения
материальной точки в инерциальной системе отсчета, получим другую
формулировку теоремы: центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.
Проектируя обе части равенства (5.23) на оси декартовой системы
координат, получаем:
n
k
e
kxc
FxМ
1
)(
;
n
k
e
kyc
FyМ
1
)(
;
n
k
e
kzc
FzМ
1
)(
. (5.24)
Значение доказанной теоремы состоит в следующем:
1. Теорема позволяет при определении закона движения центра
масс любой механической системы исключить из рассмотрения все
наперед неизвестные внутренние силы.
2. Система уравнений (5.24) аналогична уравнениям, выражающим
движение центра масс абсолютно твердого тела.
3. Если геометрическая сумма всех действующих на систему внеш-
них сил равна нулю, то из (5.23) следует, что
0
c
a
или
constv
c
. Сле-
довательно, центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.
4. Если на свободное твердое тело начнет действовать пара сил, то
геометрическая сумма этих внешних сил будет равна нулю. Следовательно, центр масс С тела, если он вначале был неподвижен, должен
оставаться неподвижным и при действии пары сил. Таким образом, где
бы к свободному твердому телу ни была приложена пара сил, тело
начнет вращаться вокруг своего центра масс.
Теперь, чтобы вывести уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения системы, возвратимся к формуле (5.23)
и запишем ее в виде
n
k
e
kc
FvM
dt
d
1
)(
)(
. (5.25)
70
Напомним, что в классической механике количество движения системы материальных тел определяется вектором Q, равным геометри-
ческой сумме количеств движения всех точек системы:
n
k
kk
vmQ
1
.
Используя выражение для центра масс системы (1.1), найдем
n
k
kkc
rmrМ
1
или
n
k
kkc
vmvМ
1
.
Заменим в этом равенстве сумму
n
k
kk
vm
1
векторной величиной Q:
QvМ
c
. (5.26)
Отсюда
dt
Qd
vM
dt
d
c
)(
.
Сравнив это равенство и (5.25), получим дифференциальное уравнение
n
k
e
k
F
dt
Qd
1
)(
, (5.27)
которое выражает теорему об изменении количества движения системы
в дифференциальной форме: производная по времени от количества
движения системы равна геометрической сумме всех действующих на
систему внешних сил.
В проекциях на координатные оси будем иметь:
n
k
e
kx
x
F
dt
dQ
1
)(
;
n
k
e
ky
y
F
dt
dQ
1
)(
;
n
k
e
kz
z
F
dt
dQ
1
)(
. (5.28)
Так как Q является функцией от времени, то, проинтегрировав
(5.28), получим:
n
k
t
o
e
ko
dtFQQ
1
)(
1
или
n
k
e
ko
SQQ
1
)(
1
, (5.29)
где
o
Q
– количество движения при t = 0;
1
Q
– при t = t1;
)(e
k
S
– импульс силы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]