Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
91
Лагранжевых уравнений будет два:
0
11
x
L
x
L
dt
d
;
0
LL
dt
d
;
они приводятся к такой системе:
0cos)(
2121
lmxmm
dt
d
;
0sinsin)cos(
21212
2
2
glmxlmxlmlm
dt
d
.
Первое из этих уравнений может быть два раза проинтегрировано
и простым подбором начальных условий приводится к равенству:
sin
21
2
1
l
mm
m
x
,
имеющему простой физический смысл: центр тяжести системы тел С,
ввиду отсутствия горизонтальных сил, движется по вертикали, которую
можно взять за ось Y.
Второе уравнение заменой х1 на только что приведенное выраже-
ние его через , а также заменой
sin
,
1cos
приводится к уравнению гармонических колебаний. Полагая и его
производную малыми величинами, будем иметь уравнение
0
2
2
21
21
glml
mm
mm
,
или после сокращений,
0
1
21
l
g
m
mm
.
Это уравнение гармонических колебаний с периодом
g
l
mm
m
21
1
2
.
Если
21
mm
, то движение груза М1 очень мало, и период прибли-
жается к периоду колебаний обычного маятника:
g
l
m
2lim
1
.
Эллиптический маятник интересен тем, что подбором отношений
масс грузов можно менять период колебаний, не меняя длины маятника;
чем меньше т1, тем меньше период колебаний. Происхождение назва-
92
ния эллиптического маятника понятно, так как при движении точки М1
по оси Х, а точки С по оси Y груз М2 будет колебаться по эллипсу.
Задача 3. Скат. Два однородных сплошных цилиндра общим весом Р1
жестко закреплены на оси, толщиной и массой которой можно пренебречь, образуют скат, опирающийся на горизонтальные опоры (рис. 37).
На этой же оси свободно насажен тонкий стержень длиной l, несущий
на конце точечный груз А весом Р2.
Определить движение этой системы, пренебрегая массой стержня и
предполагая, что отклонения маятника АС от вертикали весьма малы,
трение в узле отсутствует и цилиндры катятся по опорам без скольжения.
Рис. 37
Решение. Система имеет две степени свободы, за обобщенные координаты можно принять абсциссу х1 точки С и угол поворота отклонения стержня АС от вертикали. В соответствии с этим координаты
груза А выражаются через х1 и :
sin
`2
lxx
;
cos
2
ly
.
Кинетическая энергия Т системы равна сумме кинетических энергий Т1 цилиндров и кинетической энергии Т2 груза А, причем
22
11
2
1
2
1
cc
JvmT
и
2
222
2
1
vmT
,
где
c
v
и
2
v
– скорости точек С и А;
– угловая скорость цилиндров;
Jc – момент инерции цилиндров относительно оси вращения, про-
ходящей через точку С.
x
1
С
О x А
у
у
2
1
Р
2
Р
2
Р
С
93
Так как
2
1
2
xv
c
,
R
v
c
,
2222
1
2
2
2
2
2
2
sin)cos()(
llxyxv
22
1
2
1
cos2
lxlx
,
2
2
1
Rm
J
c
, то
2
111
4
3
xmT
,
)cos2(
2
1
22
1
2
122
lxlxmT
.
Полная кинетическая энергия системы
)cos2()5,1(
2
1
1
2
2
2
121
xllmxmmT
,
а потенциальная энергия та же, что и у простого маятника. Так как работа веса цилиндров на горизонтальном пути равна нулю:
cos
2
glmП
,
лагранжева функция будет иметь вид:
cos)cos2()5,1(
2
1
21
2
2
2
121
glmxllmxmmL
.
Составляем частные производные:
cos)5,1(
2121
1
lmxmm
x
L
;
0
1
x
L
;
)cos(
12
xllm
L
;
)sinsin(
12
gxlm
L
.
Лагранжевых уравнений будет два:
0
1
x
L
x
L
dt
d
;
0
LL
dt
d
;
они приводят к такой системе:
0)sincos()5,1(
2
2121
lmxmm
;
0sincos
1
glx
.
Поскольку по условию задачи отклонения маятника АС от вертикали
весьма малы, то полученные точные дифференциальные уравнения
движения системы можно заменить более простыми приближенными
уравнениями. Полагая
sin
,
1cos
и
0sin
2
, получим:
0)5,1(
2121
lmxmm
;
0
1
glx
.
Первое из этих уравнений может быть два раза проинтегрировано.
Первый интеграл дает:
1
21
2
1
5,1
C
mm
lm
x
,
94
а второй приводит к результату:
21
21
2
1
5,1
CtC
mm
lm
x
.
Второе уравнение заменой х1 на только что полученное выражение через и t приводит к уравнению гармонических колебаний:
0
5
2
1
1
2
l
g
m
m
.
Введя обозначение
2
1
2
5
2
1 k
l
g
m
m
,
будем иметь:
0
2
k
.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
ktCktC sincos
43
,
откуда
ktkCktkC cossin
43
.
Следовательно,
)sincos(
5,1
43
21
2
211
ktCktC
mm
lm
CtCx
.
Полученные решения, выражающие координаты
1
x
и как функ-
ции времени t, и определяют движение рассматриваемой системы.
Что касается произвольных постоянных интегрирования С1, С2, С3
и С4, то они определяются по начальным условиям движения системы.
В начальный момент при t = 0 имеем:
3
12
2
21
5,1
C
mm
lm
Cx
o
;
oo
mm
lm
Cx
12
2
11
5,1
;
3
C
o
;
kC
o 4
.
Пусть
01
o
x
;
oo
x 01
;
0
o
;
0
o
,
тогда
01C
;
o
mm
lm
C
21
2
2
5,1
;
o
C
3
;
0
4
C
и, следовательно,
kt
o
cos
;
)cos1(
5,1
21
2
1
kt
mm
lm
x
o
.
95
Задача 4. Механизм дифференциала. На рис. 38, а изображен механизм
станочного дифференциала. Ведущее коническое зубчатое колесо 1 и ведомое коническое зубчатое колесо 2 вращаются вокруг неподвижных осей.
Коническое зубчатое колесо 3, называемое сателлитом, передает вращение
от колеса 1 к колесу 2. Колесо 3 свободно насажено на ось ОС, являющуюся частью изогнутого кривошипа АОС, который вращается вокруг неподвижной вертикальной оси. Сообщая разные угловые скорости кривошипу
АОС и колесу 1, можно получить любую необходимую угловую скорость
колеса 2. К кривошипу АОС приложен вращающий момент то, к валу колеса 1 – вращающий момент т1 и к валу колеса 2 – момент полезного сопротивления т2 (см. рис. 38). Колеса 1, 2 и 3 считать круглыми однородными
дисками соответственно весом Р1, Р2 и Р3 и радиусами r1 = r2, r3.
Определить угловые ускорения кривошипа АОС и колес 1 и 2. Массой кривошипа АОС и силами сопротивления движению пренебречь.
Решение. Система имеет две степени свободы, за обобщенные координаты можно принять угол поворота
o
кривошипа АОС вокруг оси
АО и угол поворота
1
колеса 1 вокруг неподвижной оси. Угол поворо-
та ведомого колеса 2 обозначим через
2
.
Уравнения Лагранжа (7.22) в обобщенных координатах
o
и
1
имеют вид:
o
Q
TT
dt
d
oo
;
1
11
Q
TT
dt
d
.
Рис. 38
r2 m
2
1 2 3
Д
С
r
3
r
1
0
m
1
m
о
Е
Д
r3 С
Е
3
r
Д
r
С А А 1 2
3
0 у z
r
a
e
96
Для вычисления
o
Q
сообщим системе возможное перемещение
0
o
,
0
1
. При таком возможном перемещении точка Е диска 3
будет мгновенным центром скоростей (см. рис. 38), а потому
211
2
rrr
oД
.
Отсюда
o
22
.
Вычислим сумму элементарных работ активных сил, соответствующих
o
:
oooo
mmmmA
)2(
222
.
Обобщенной силой
o
Q
является коэффициент, стоящий при
o
, т.е.
o
Q
=
2
2mmo
.
Для вычисления
1
Q
сообщим системе возможное перемещение
01
,
o
= 0. При этом
12
.
Сумма элементарных работ активных сил
121
)(
mmA
.
Отсюда
1
Q
=
21
mm
.
Чтобы вычислить кинетическую энергию системы, составим зависимости между угловыми скоростями вращений трех зубчатых колес.
С этой целью выберем подвижную систему координат УСZ (см. рис. 38).
При вращении колеса 3 вокруг оси ОУ:
)(
2
)(
1
rr
;
)(
2
3
1
)(
3
rr
r
r
.
Так как
o
r
2
)(
2
,
o
r
1
)(
1
, то из первого равенства находим
12
2
o
, а из второго –
)(
2
3
1
)(
3 o
r
r
r
, т.е.
12
2
o
;
)(
1
3
1
)(
3 o
r
r
r
.
Теперь кинетические энергии отдельных зубчатых колес станочного дифференциала легко вычисляются:
2
111
2
1
JT
,
2
12
2
222
)2(
2
1
2
1
o
JJT
;
2
3
2
13
22
1
3
2
1
)(
2
1
2
1
ozoyo
JJr
g
P
T
,
где
g
rP
J
2
2
11
1
;
g
rP
J
2
2
12
2
;
g
rP
J
y
2
2
33
3
;
g
rP
J
z
4
2
33
3
.
97
Полная кинетическая энергия
2
1
2
3
2
1
321
2
2
3
2
1
3
2
1
3
32
2
1
4
2
1
r
r
JJJ
r
r
Jr
g
P
JJT
yoyz
1
2
3
2
1
32
2
oy
r
r
JJ
.
Составляем частные производные:
1
2
3
2
1
32
2
3
2
1
3
2
1
3
32
24
r
r
JJ
r
r
Jr
g
P
JJ
T
dt
d
yoyz
o
;
0
oT
;
oyy
r
r
JJ
r
r
JJJ
T
dt
d
2
3
2
1
321
2
3
2
1
321
1
2
;
0
1
T
.
Уравнения Лагранжа приводятся к такой системе:
21
2
1
32
2
3
2
13
2
12
2
2
2
)6(8
4
1
mmr
g
PP
rrPrP
g
oo
;
21
2
1
32
1
2
1
321
2
2
2
mmr
g
PP
r
g
PPP
o
.
Решив эту систему уравнений относительно
o
и
1
, определим ис-
комые угловые ускорения кривошипа АОС и колеса 1:
2
MKL
MSLN
o
;
2
1
MKL
MNKS
.
Здесь
)6(
4
1
2
3
2
13
2
12
rrPrP
g
K
;
2
1
321
2
r
g
PPP
L
;
2
1
32
2
2
r
g
PP
M
;
2
2mmN
o
;
21
mmS
.
Решение этой задачи посредством использования общих теорем
динамики вызвало бы значительные трудности. Применение уравнений
Лагранжа дает возможность сравнительно просто получить уравнения
движения дифференциала и вновь демонстрирует удобство применения
уравнений Лагранжа при решении сложных задач динамики системы
с несколькими степенями свободы.
98
Оглавление
Введение……………………………………………………………
3
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ…………………..…..
4
1.1. Предмет аналитической механики………………………..
4
1.2. Механическая система. Центр масс и моменты инерции
4
1.3. Связи. Число степеней свободы…………………………..
5
1.4. Классификация сил, действующих на систему…………..
8
1.5. Обобщенные координаты и обобщенные скорости……...
8
1.6. Возможные перемещения в обобщенных координатах….
11
1.7. Возможная работа силы в обобщенных координатах.
Обобщенные силы………………………………………….
12
1.8. Вычисление обобщенных сил……………………………..
14
1.9. Идеальные связи……………………………………………
17
2. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА…………..
18
2.1. Принцип возможных перемещений………………………
19
2.2. Прямая и обратная теорема Лагранжа……………………
19
2.3. Применение принципа возможных перемещений
к выводу уравнений равновесия свободного твердого тела
22
2.4. Условия равновесия системы в обобщенных координатах
25
2.5. Решение задач……………………………………………….
26
3. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ СИЛОВОЕ ПОЛЕ……………………….
31
3.1. Полная работа силы. Потенциальные силы………………
31
3.2. Силовая функция и потенциальное силовое поле………..
32
3.3. Консервативная механическая система.
Силовая функция консервативной системы……………..
33
3.4. Потенциальная энергия…………………………………….
34
3.5. Возможная работа потенциальных сил в обобщенных
координатах………………………………………………...
35
3.6. Условия равновесия консервативной системы…………..
37
3.7. Применение принципа возможных перемещений
к изучению равновесия упругого тела…………………….
38
3.8. Потенциальная энергия балки……………………………..
44
99
4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ…………………………….
48
4.1. Понятие об устойчивости равновесия…………………….
48
4.2. Необходимые условия устойчивости равновесия
консервативной системы…………………………………..
50
4.3. Теорема Ляпунова о признаках неустойчивости равновесия…
52
4.4. Решение задач………………………………………………
53
5. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА……………………………………...
56
5.1. Принцип Даламбера для материальной точки……………
56
5.2. Принцип Даламбера для системы…………………………
58
5.3. Решение задач………………………………………………
62
5.4. Применение принципа Даламбера к выводу теорем
классической механики…………………………………….
68
5.5. Примеры вычисления моментов инерции………………...
73
6. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ………………………….
76
6.1. Общее уравнение динамики для системы
с идеальными связями……………………………………...
76
6.2. Решение задач………………………………………………
77
7. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ
В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ…………………………
81
7.1. Кинетическая энергия системы материальных точек
и твердого тела……………………………………………...
81
7.2. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах……….
82
7.3. Случай потенциальных сил………………………………..
87
7.4. Решение задач………………………………………………
88
100
Учебное издание
Высоковский Дмитрий Александрович
Кравченко Галина Михайловна
Савельева Нина Александровна
Труфанова Елена Васильевна
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Редактор А.А. Литвинова
Компьютерная обработка: О.И. Пушкина
____________________________________________________
В печать 04.07.2023.
Формат 60×84/16. Объем 6,25 усл. п. л.
Тираж 100 экз. Заказ № 1038. Цена свободная
____________________________________________________
Издательский центр ДГТУ
Адрес университета и полиграфического предприятия:
344003, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]