Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
21
Так как связи идеальные, то
0
1
n
i
ii
rR
,
а потому неравенство (2.6) принимает вид
0
1
n
i
ii
rF
. (2.7)
Поскольку выражение (2.7) противоречит условия (2.5), то предположение, что система не находится в равновесии, неверно. Значит, система с идеальными связями находится в равновесии.
Таким образом, две теоремы Лагранжа доказывают необходимость
и достаточность принципа возможных перемещений.
Аналитическое выражение принципа возможных перемещений
может иметь одну из трех форм:
0
1
n
i
ii
rFA
; (2.8)
0)(
1
n
i
iiziiyiix
zFyFxFA
; (2.9)
0cos
1
n
i
ii
SFA
. (2.10)
Форма (2.9) получается из (2.8), если
i
F
=
kFjFiF
iziyix
,
kzjyixr
iiii
, а (2.10) из (2.8) по определению скалярного произ-
ведения двух векторов
i
F
и
i
r
.
Приведем пример. Три стержня одинакового веса Р соединены
между собой шарнирами А и В. К концу третьего стержня приложена
горизонтальная сила F = P, которая удерживает систему стержней в
равновесии. Определить углы
1
,
2
,
3
, если ОА = а, АВ = b, ВС = с
(рис. 10).
Решение. Поскольку положение стержней определяется тремя независимыми друг от друга углами
1
,
2
,
3
, то система имеет три сте-
пени свободы. Вес каждого стержня разложим на две составляющие,
приложенные по концам (см. рис.10). Пользуясь аналитическим выражением принципа возможных перемещений (2.9), условие равновесия
получим в виде
05,0
ccBA
yPxPxPxP
.
22
После сокращения имеем:
05,0
ccBA
yxxx
. (2.11)
Выразим координаты точек А, В, С
через искомые углы:
;cos
1
ax
A
21
coscos
bax
B
321
coscoscos
cbax
c
;
321
sinsinsin
cbay
c
.
Отсюда
11
sin
ax
A
;
)sinsin(
2211
bax
B
;
)sinsinsin(
332211
cbax
c
;
.coscoscos
332211
cbay
c
Подставляя эти соотношения воз-
можных перемещений в формулу (2.11) и группируя члены, содержащие
1
,
2
,
3
, получаем:
222111
)sin5,1(cos)sin5,2(cos
ba
0)sin5,0(cos
333
c
.
В силу независимости друг от друга
1
,
2
,
3
это равенство воз-
можно при условии, что
0sin5,2cos
11
;
0sin5,1cos
22
;
0sin5,0cos
33
,
или
4,0tg
1
;
6667,0tg
2
;
2tg
3
, следовательно
8421
1
o
;
0433
2
o
;
5264
3
o
.
2.3. Применение принципа возможных перемещений
к выводу уравнений равновесия свободного твердого тела
Прежде всего напомним, что в кинематике рассматривается общий
случай движения свободного твердого тела, когда оно может перемещаться как угодно по отношению к некоторой неподвижной системе
отсчета
xyzO
1
(рис.11). Чтобы установить вид уравнений, определяю-
щих закон рассматриваемого движения, выбирают точку О тела в качестве полюса и проводят через нее оси Оxyz , которые при движении тела
О y x
2
P
1
2
3
P
P
2
P
F
A
a b B
c
C
Рис. 10
23
будут перемещаться с полюсом поступательно и параллельно неподвижным осям
xyzO
1
. Тогда положение тела в неподвижной системе от-
счета
xyzO
1
будет известно, т.е. координаты хо , yо , zо и положение тела
по отношению к осям подвижной системы Оxyz, определяемое углом
поворота вокруг мгновенной оси ОР.
Рис. 11
Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела,
позволяющие найти его положение по отношению к неподвижной системе отсчета в любой момент времени, имеют вид:
)(
1
tfx
o
;
)(
2
tfy
o
;
)(
3
tfz
o
; (2.12)
)(
4
tf
x
;
)(
5
tf
y
;
)(
6
tf
z
.
Всего уравнений шесть, т.е. столько, сколько степеней свободы.
Значит, в любой момент времени t можно определить шесть обобщенных сил, действующих на тело.
Пользуясь принципом возможных перемещений, выведем условия
равновесия свободного твердого тела под действием заданной системы
сил
.0
i
F
Заметим, что возможное перемещение любой точки Мi тела равно
геометрической сумме поступательного и вращательного перемещений:
ioi
rrr
, (2.13)
где
i
r
– радиус-вектор точки Мi ;
o
r
– радиус-вектор произвольно выбранного полюса О;
– вектор возможного поворота тела вокруг мгновенной оси ОР.
y
o
y
x
o
z
o
P
24
Пусть в точках Мi с радиусами-векторами
i
r
приложены силы
i
F
,
тогда по принципу возможных перемещений будем иметь условия равновесия:
01
ni
ii
rF
, (2.14)
Подставив (2.13) в (2.14), получим
0)(
11
n
i
ii
n
i
oi
rFrF
или
0
11
n
i
ii
n
i
io
FrFr
, (2.15)
так как
o
r
и
не зависят от индекса суммирования и, кроме того,
в смешанном векторно-скалярном произведении можно делать круговую перестановку множителей, т.е.
)()(
iiii
FrrF
.
Возможные перемещения
o
r
и
независимы между собой, сле-
довательно, из выражения (2.15) получим необходимые и достаточные
условия равновесия свободного твердого тела:
.0
,0
1
1
n
i
ii
n
i
i
Fr
F
(2.16)
Это известные из статики условия равновесия системы сил, т.е. условия
равенства нулю главного вектора и главного момента приложенных сил
относительно произвольно выбранного центра приведения.
Исходя из выражения (2.16) можно легко получить уравнения равновесия в декартовой системе координат. Для этого представим силы
и моменты сил в виде:
kZjYiXF
iiii
;
kXyYxjZxXziYzZy
ZYX
zyx
kji
FrM
iiiiiiiiiiii
iii
iiiiioi
)()()(
kmjmim
ziyixi
.
;
25
Условия (2.16) дают уравнения равновесия пространственной
системы сил:
0
1
n
i
i
X
;
0
1
n
i
i
Y
;
0
1
n
i
i
Z
; (2.17)
0
1
n
i
xi
m
;
0
1
n
i
yi
m
;
0
1
n
i
zi
m
.
Чтобы получить уравнения для плоской системы сил, надо положить равными нулю
i
Z
и
i
z
; тогда получим:
0
1
n
i
i
X
;
0
1
n
i
i
Y
;
0
1
n
i
oi
m
. (2.18)
Вывод этих уравнений из принципа возможных перемещений нисколько не похож на вывод в статике, основанный на теории пар сил.
В случае определения опорных реакций одной балки задача так проста,
что не стоит применять принцип возможных перемещений. Иначе будет в случае сложной системы тел; как покажем в следующем параграфе,
там применение принципа возможных перемещений является исключительно удобным и практически необходимым.
2.4. Условия равновесия системы в обобщенных координатах
Условия равновесия в обобщенных координатах вытекают непосредственно из принципа возможных перемещений и дают весьма простой метод решения задач статики для системы с любым числом степеней свободы.
Рассмотрим систему, имеющую s степеней свободы. Пусть ее положение определяется обобщенными координатами q1, q2,..., qs. Тогда
элементарная работа действующих на систему сил будет выражаться
равенством (1.29).
Подставляя это выражение в условие (2.1), получим, что при равновесии
.0...
2211
ss
qQqQqQ
(2.19)
Но поскольку возможные перемещения q1, q2,..., qs между собой независимы, то полученное равенство будет выполняться только тогда,
когда каждый из коэффициентов
i
q
будет равен нулю:
.0,...,0,0
21
s
QQQ
(2.20)
26
В самом деле, если допустить, что какая-нибудь из обобщенных
сил, например Q1, при равновесии не равна нулю, то можно всегда сообщить системе такое возможное перемещение, при котором
0
1
q
,
а
0...
21
s
qqq
, и мы придем к противоречию с условием равно-
весия (2.19).
Таким образом, приходим к выводу, что для равновесия системы
необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенных координат, были равны нулю.
Так как число обобщенных сил равно числу обобщенных координат системы, следовательно, число условий равновесия системы равно числу
ее степеней свободы.
Заметим, что условия равновесия (2.20) справедливы и для связей
с трением; в этом случае надо лишь при вычислении обобщенных сил
включить в число активных сил и силы трения.
Точно так же условия (2.20) можно использовать для определения
реакций, наложенных на систему связей. Для этого следует отбросить
соответствующие связи и заменить их силами реакций, включая последние в число активных сил. При этом число степеней свободы системы увеличится на число отброшенных связей; соответственно, увеличится и число обобщенных сил, и число уравнений (2.20).
2.5. Решение задач
Решение задач на определение условий равновесия системы
(или реакции наложенных связей) методом обобщенных координат
сводится к определению соответствующих обобщенных сил, т.е. к задачам, которые были рассмотрены в п. 1.8.
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1. Кривошипно-шатунный механизм (см. рис. 7) находится
в равновесии под действием двух сил F1, F2 и пары сил с моментом М.
Определить величину момента М, если F1 = 100 кН, F2 = 400 кН,
l = 0,2 м.
Решение. В рассмотренном примере п. 1.8 было найдено выражение обобщенной силы Q (1.32).
Приравнивая Q нулю, находим условие равновесия:
0)
4
3
(
21
MlFF
.
27
Подставив заданные величины, определим искомый момент:
6,14M
кНм.
Задача 2. Найти положение равновесия системы грузов, изображенных на рис. 8.
Решение. Выражения обобщенных сил для системы с тремя степенями свободы определяются формулами (1.33). Приравнивая Q1, Q2, Q3
нулю, находим для определения положения равновесия уравнения:
;0sin)(
221
yPxPP
0)(cos)(
1121
axcPP
;
0)(cos
222
aycP
.
Ограничимся рассмотрением случая, когда грузы расположены
по одну сторону от оси О. Тогда из первого уравнения находим = 0
или = 180 (стержень вертикален). Подставляя эти значения в последние два уравнения, получим значения координат х и у в положе-
нии равновесия:
1
21
1
c
PP
ax
,
2
2
2
c
P
ay
.
Верхний знак соответствует положению стержня, когда = 0,
а нижний – когда = 180. Последнее положение равновесия является
неустойчивым.
Задача 3. К рукоятке АВ винтового
пресса приложена пара сил
),( FF
, лежа-
щая в горизонтальной плоскости, причем
силы направлены перпендикулярно к АВ.
Найти силу, сжимающую прессуемое тело,
если шаг винта равен h , а длина АВ= 2l
(рис. 12).
Решение. Обозначим вертикальную
реакцию сжимаемого тела, приложенную к
прессу, через N и дадим системе возможное перемещение, для чего повернем рукоятку АВ на угол
; при этом система получит поступательное переме-
щение
s
, направленное вниз. Уравнение равновесия будет иметь сле-
дующий вид:
02 sNFl
.
Рис. 12
s
A
F
F
B
N
28
Отсюда
s
FlN
2
. Найдем теперь зависимость между и
s
. Так как
поступательное перемещение винта пропорционально углу поворота
его вокруг винтовой оси и винт при повороте на угол, равный
2
, пе-
ремещается вдоль оси на расстояние, равное шагу h , то имеем следующее соотношение:
hs
2
. (2.21)
Подставив равенство (2.21) в предыдущее выражение для N, получим
h
l
FN 4
.
Искомая сила, сжимающая тело, равна по модулю найденной реакции
.
Задача 4. Определить момент защемления МВ и силу реакции ХВ
для рамы, приведенной на рис. 13, а, если F = 100 кН, М = 200 кНм,
h = 0,5 м.
а б
а) б)
Рис. 13
Решение. Заменим защемление в опоре В подвижным шарниром
(рис. 13, б). Система, получившаяся после такой замены, имеет две степе-
ни свободы, так как для нее возможны два независимых перемещения
(поворот вокруг шарнира В на угол и перемещение вдоль оси х на
x
).
h В С h a a a
a Е Д
М А А В С
Д Е М
F
1 2
x
B
X
MB C
V1 CV2
29
Примем за обобщенные координаты угол
1
q
и координату
2
qx
. Сообщим возможное перемещение, при котором изменяется
только угол , т.е. . При этом часть рамы АД совершит мгновенное
вращение вокруг мгновенного центра скоростей
1
V
C
на угол
1
, а СЕ –
вокруг
2
V
C
на угол
2
. Чтобы определить зависимости
1
и
2
от ,
воспользуемся известными из кинематики соотношениями:
1
1
V
ДСВД
;
2
2
V
EСВE
.
Так как
21
VV
EСВСВД
, то
21
.
Элементарная работа силы и моментов на этом перемещении (работу
сил вычисляем как произведение момента силы F относительно
1
V
C
):
)3(
1
MhFMA
B
. (2.22)
Теперь сообщим системе перемещение
x
. На этом перемещении
элементарная работа сил
xFXA
B
)(
2
. (2.23)
Обобщенные силы Q1 и Q2 равны выражениям, стоящим в правых
частях равенств (2.22) и (2.23) в скобках. Приравнивая Q1 и Q2 нулю,
получим уравнения равновесия:
03 MhFM
B
;
0 FX
B
,
откуда
F = 100 кН, МВ= 200 кНм.
Если эту задачу решить методом статики, то решение окажется
длинным, придется рассматривать равновесие частей рамы и вводить
дополнительно реакции других связей, а затем исключать эти реакции
из полученной системы уравнений равновесия.
Задача 5. Определить усилие S8 в стержне 8 данной фермы, если
Р = 100 кН (рис. 14, а).
Решение. Действие отброшенного стержня 8 заменим силами, которые будут направлены вдоль этого стержня и численно равны усилию
S8 (рис. 14, б). Система, получившаяся после такой замены, имеет одну
степень свободы, так как для нее возможно одно перемещение (поворот
вокруг шарнира А на угол
). Примем за обобщенную координату
угол
1
q
. Сообщим системе возможное перемещение
. При этом
30
часть фермы ВД совершит мгновенное вращение вокруг CV на угол
1
.
Определим зависимость
1
от :
1
V
ДCАД
.
а) б)
Рис. 14
Так как
V
ДCАД 2
,то
2
1
.
Элементарная работа сил на возможном перемещении
)32(
8
aPhSA
.
Обобщенная сила Q равна выражению в скобках. Приравнивая
ее к нулю, получим уравнение равновесия системы:
0
8
aPhS
,
откуда
100
8
h
a
P
h
a
S
кН.
Метод решения рассмотренных задач позволяет оценить
достоинство принципа возможных перемещений. С его помощью можно достаточно просто решать задачи о равновесии твердого тела и системы твердых тел, а также определять зависимости между величинами
активных сил. Особенно эффективно применение принципа возможных
перемещений при решении задач о равновесии систем твердых тел.
В a А
P
a
a
P
8
P
P
А В s8
s8
Д
C
V
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]