Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические методы решения задач теоретической механики. Учебное пособие
.pdf
41
Для доказательства заметим, что полный дифференциал потенциальной энергии (3.31) при п = 3 принимает вид
3
3
2
2
1
1
q
q
П
q
q
П
q
q
П
П
. (3.42)
Заменив частные производные их значениями (3.36), получим
332211
qQqQqQП
. (3.43)
Теперь заменим
1
q
,
2
q
и
3
q
их выражениями:
).(
)(
)(
3332321313
3232221212
3132121111
QQQQ
QQQQ
QQQQП
Вынесем общие множители
321
,, QQQ
за скобки:
.)(
)(
)(
3333232131
2323222121
1313212111
QQQQ
QQQQ
QQQQП
(3.44)
С другой стороны, потенциальную энергию П
),,(
321
qqq
можно вы-
разить через обобщенные силы
1
Q
,
2
Q
,
3
Q
. Для этого надо воспользо-
ваться соотношениями обобщенного закона Гука (3.39) и заменить перемещениями
321
,, qqq
на
1
Q
,
2
Q
,
3
Q
:
3
3
2
2
1
1
Q
Q
П
Q
Q
П
Q
Q
П
П
. (3.45)
Сравнив это выражение с (3.44), получим:
331221111
1
QQQ
Q
П
; (3.46)
332222112
2
QQQ
Q
П
,
333223113
3
QQQ
Q
П
.
Продифференцировав каждое из этих равенств по обобщенным
силам, найдем:
,
11
2
1
2
Q
П
12
21
2
QQП
,
13
31
QQП
;
12
12
2
QQП
,
,
22
2
2
2
Q
П
32
23
QQ
П
;
13
13
2
QQП
,
23
23
2
QQП
,
33
2
3
2
Q
П
.
42
Так как результаты вторых производных не зависят от порядка
дифференцирования, то
α
21
= α12; α
31
= α13; α
32
= α23, (3.47)
что и доказывает теорему взаимности перемещений.
Пользуясь теоремой взаимности перемещений, перепишем теперь
выражение (3.46) в виде:
313212111
1
QQQ
Q
П
; (3.48)
323222121
2
QQQ
Q
П
;
333232131
3
QQQ
Q
П
,
но, согласно (3.39), правые части равенств есть не что иное, как
321
,, qqq
.
Сделав замену, получим
1
1
q
Q
П
;
2
2
q
Q
П
;
3
3
q
Q
П
, (3.49)
т.е. производная от потенциальной энергии упругого тела по обобщенной силе, соответствующей внешним нагрузкам, равна значению соответствующей обобщенной координаты в положении равновесия.
Это теорема Кастильяно.
Для дальнейшего изучения равновесия упругого тела выразим потенциальную энергию через обобщенные силы. С этой целью подставим формулу (3.48) в (3.45):
.)(
)(
)(
3333232131
2323222121
1313212111
QQQQ
QQQQ
QQQQП
Пользуясь равенствами (3.47), группируем это выражение так:
.)(
)(
)(
3333322323
2222311313
2112121111
QQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQП
Заметим теперь, что
2
2
1
11
Q
QQ
,
2
2
2
22
Q
QQ
,
2
2
3
33
Q
QQ
,
43
)(
212112
QQQQQQ
,
)(
313113
QQQQQQ
,
)(
323223
QQQQQQ
,
и, интегрируя, получаем:
).22
2(
2
1
33233113
2112
2
333
2
222
2
111
QQQQ
QQQQQП
(3.50)
Мы отбросили при интегрировании константу, так как потенциальную энергию в естественном положении, когда все
0
i
Q
, можно при-
равнять нулю.
Итак, потенциальная энергия является однородной квадратичной
функцией обобщенных сил, соответствующих внешним нагрузкам.
Теперь, принимая во внимание обобщенный закон Гука (3.39),
находим выражение функции потенциальной энергии от обобщенных
координат. С этой целью выражение (3.39) перепишем в виде:
3132121111
QQQq
; (3.51)
3232221122
QQQq
;
3332231133
QQQq
.
Решив эти уравнения относительно
1
Q
,
2
Q
,
3
Q
, найдем:
3132223122331223131
2
2333221
)()()( qqqQ
; (3.52)
3231113122
2
1333111331223132
)()()( qqqQ
;
3
2
1222112231113121132223123
)()()( qqqQ
.
Используя обозначения
11
11
,
12
12
,
13
13
, (3.53)
22
22
,
23
23
,
33
33
,
332313
232212
131211
,
формулы (3.52) приведем к виду:
3132121111
qqqQ
; (3.54)
3232221122
qqqQ
;
3332231123
qqqQ
.
44
Подставив (3.54) в (3.43), получим дифференциал потенциальной энергии в виде
.)(
)(
)(
3333223112
2323222112
113212111
qqqq
qqqq
qqqqП
Сгруппируем это выражение:
).(
)()(
233223
133113211212
333322221111
qqqq
qqqqqqqq
qqqqqqП
).(2)(2)(
222
322331132112
2
3
33
2
2
22
2
1
11
qqqqqq
q
qq
П
Интегрируя, находим
).222
(5,0
322331132112
2
333
2
222
2
111
qqqqqq
qqqП
(3.55)
Потенциальная энергия является однородной квадратичной функцией обобщенных координат.
3.8. Потенциальная энергия балки
Призматический стержень (брус), работающий на изгиб, называется балкой (рис. 16).
Рис. 16
Рассмотрим деформацию балки от действия двух пар сил с моментами М, для чего двумя близкими сечениями 1–1 и 2–2 выделим из нее
элемент длиной dx. Вид этого элемента до и после деформации показан
на рис. 17. Линия О
1О2
, принадлежащая нейтральному слою, после де-
формации сохранит свою длину dx. Все волокна, лежащие выше
нейтрального слоя, укорачиваются, а нижние – удлиняются.
М М х О z
z y О
45
Найдем удлинение какого-либо волокна АВ. Первоначальная длина
этого волокна dx = О
1О2
= d. После деформации длина АВ = ( + z)d –
– d = zd.
Рис. 17
Относительное удлинение
z
d
zd
,
где – радиус кривизны нейтрального слоя.
Под действием заданных пар сил в каждой точке поперечного сечения 2–2 возникают напряжения , выражающие действие отброшенной части балки. Чтобы установить закон распределения этих напряже-
ний по сечению 2–2, воспользуемся законом Гука при растяжении:
E
или
Ez
, (3.56)
где Е – модуль Юнга.
Соотношение (3.56) показывает, что напряжения распределены по
линейному закону. Характер распределения показан на рис. 18.
В каждой точке поперечного сечения (рис. 19) действует нормальное напряжение. Выделив вокруг любой точки с координатами у и z
элементарную площадку ds = dydz, получим действующую на нее силу
п
= dydz.
Вычислим момент силы
п
относительно оси Оу:
dzdy
Ez
zdzdym
ny
2
)(
.
Интегрируя, находим
dzdyz
E
m
ny
2)(
. (3.57)
46
Рис. 18
Рис. 19
Двойной интеграл представляет собой момент инерции площади
поперечного сечения относительно оси у и обозначается через J:
dzdyzJ
2
. (3.58)
Величина двойного интеграла измеряется в единицах длины в четвертой степени и зависит от формы сечения.
Чтобы определить зависимость напряжения от заданного момента
М, составим уравнение равновесия отсеченной части балки (см. рис. 19):
0
y
M
,
0)(
Mm
ny
.
Используя выражения (3.57) и (3.58), получаем:
M
EJ
, или
J
ME
. (3.59)
Подставляя найденное значение Е/ в (3.56), находим
J
Mz
. (3.60)
С искривлением нейтрального слоя балки связан взаимный поворот
сечений 1–1 и 2–2 (см. рис. 17). Длина отрезка О
1О2
= dx = d. Отсюда
элементарный угол поворота двух сечений
dx
d
. (3.61)
Подставив вместо 1/ его значение М/ЕJ, получим
dx
EJ
M
d
. (3.62)
M
y
z
dz
dy
x
n
М O 2
2
max
47
Примем / 2 за обобщенную координату сечения 2–2 (см. рис. 17).
Дав элементарное перемещение
d
2
1
, определим элементарную работу
изгибающего момента:
MddA
2
1
.
Подставив d из (3.62), получим
dx
EJ
M
dAdП
2
2
1
.
Проинтегрировав это равенство, определим потенциальную энергию
балки:
dx
EJ
M
П
l
0
2
. (3.63)
Задача. К свободному концу консольной балки приложены сила Р
и изгибающий момент М. Пренебрегая весом балки, определить прогиб
f и угол поворота свободного конца (рис. 20).
Рис. 20
Решение. Примем f и за обобщенные координаты. Давая элементарное перемещение f и оставляя при этом постоянной, находим, что
элементарная работа силы Р будет при этом равна Рf , тогда как работа
момента при поступательном перемещении будет равна нулю. Из определения обобщенной силы следует, что Р и будет обобщенной силой
для координаты f. Аналогично получим, что обобщенной силой для уг-
ла поворота будет момент М.
Перейдя к вычислению потенциальной энергии системы, заметим,
что изгибающий момент Мх в каком-либо сечении определяется выражением Мх = Рх + М.
l
x
M Pf
48
Найденное выражение Мх подставим в (3.63):
ll
dxMPx
EJ
dx
EJ
M
П
0
2
0
2
)(
2
1
.
Сделав вычисления по формуле Ньютона – Лейбница, найдем:
lMPMl
l
P
EJ
П
22
3
2
32
1
.
Теперь, чтобы определить прогиб f и угол поворота свободного
конца балки, воспользуемся теоремой Кастильяно. Дифференцируя полученную потенциальную энергию балки по обобщенным силам, получаем:
M
EJ
l
P
EJ
l
Р
П
f
23
23
;
M
EJ
l
P
EJ
l
M
П
2
2
.
Коэффициенты влияния имеют здесь значения:
EJ
l
ff
3
3
11
;
EJ
l
ff
2
2
2112
;
EJ
l
22
.
Теорема взаимности перемещений выражает в рассматриваемом
случае, что прогиб свободного конца балки под действием приложенного здесь единичного момента равен углу поворота этого конца,
вызванному приложением единичной силы.
4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
4.1. Понятие об устойчивости равновесия
Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия системы под действием приложенных сил. При этом не рассматривается вопрос о том, как изменится состояние равновесия системы,
если величины заданных сил или положение, занимаемое системой при
равновесии, будут (путь даже незначительно) отличаться от заданных,
для которых произведен расчет.
Между тем эти изменения, как показывает опыт, могут оказать существенное влияние на состояние равновесия системы. Например,
49
маятник, состоящий из невесомого стержня ОА с грузом на конце, будет находиться в равновесии, когда стержень ОА вертикален (рис. 21),
так как в этом положении сила тяжести уравновешивается реакцией
оси. Однако если стержень будет немного отклонен от вертикали, то в
случае (а) маятник начнет совершать около положения равновесия малые колебания, которые при наличии сопротивления быстро затухнут; в
случае же (б) маятник не вернется в прежнее положение, а будет отклоняться дальше, совершая движение по окружности. Говорят, что в положении (а) равновесие маятника устойчиво, а в положении (б) – неустойчиво. Заметим, что из условия равновесия (стержень вертикален)
никаких заключений об устойчивости сделать нельзя, а вопрос этот
требует специального исследования.
Совершенно аналогично может быть поставлен вопрос об устойчивости движения. Известно,
например, что если волчку сообщить быстрое
вращение, то волчок будет устойчиво вращаться
вокруг этой оси. Однако если установить вращающийся волчок вертикально, то он упадет. Тот же
результат получится, если сообщить волчку ско-
рость вращения
кр
.
Определение условий устойчивости
(неустойчивости) равновесия или движения той
или иной системы представляет собой практически весьма важную задачу техники. Творцом современной теории
устойчивости движения является один из крупнейших русских ученых
А.М. Ляпунов (1857–1918). Основы этой теории изложены в его фундаментальном труде «Общая задача об устойчивости движения», опубликованном в 1892 г.
Ограничимся рассмотрением только некоторых вопросов устойчивости равновесия. Начнем с общего определения понятия устойчивости
равновесия по Ляпунову.
Рассмотрим систему материальных точек, имеющую s степеней
свободы. Пусть система под действием заданных сил находится в некотором положении равновесия, а будучи выведенной из этого положения, начнет двигаться. Будем положение движущейся системы в любой
момент времени определять безразмерными обобщенными координа-
A
A O O
а
б
Рис. 21
а) б)
50
тами
s
qqq ,...,,
21
, отсчитываемыми от положения равновесия. Тогда
положение равновесия будет определяться равенствами:
0,...,0,0
21
s
qqq
. (4.1)
Об устойчивости равновесия будем судить по характеру того движения, которое будет совершать система, если ее вывести из положения
равновесия, сообщив ей в момент
o
tt
некоторые начальные отклоне-
ния
io
q
и начальные скорости
io
q
.
Введем понятие о так называемой области равновесия. Для ее
определения возьмем некоторое достаточно малое, но не равное нулю
положительное число . Если при движении системы, выведенной из
положения равновесия, модуль любой из ее координат будет оставаться
меньше
)(
i
q
, то говорят, что система находится в области равно-
весия; если модуль хотя бы одной из координат станет больше ,
то система выходит из области равновесия.
Положение равновесия системы, определяемое выражением (4.1),
называется устойчивым, если при заданном для системы, находящейся в равновесии, можно подобрать такие сколь угодно малые, но не
равные нулю начальные отклонения
io
q
и начальные скорости
io
q
,
что она в последующем своем движении не выходит из области равновесия.
В противном случае равновесие системы называется неустойчивым. Пользуясь этим определением, легко, например, проверить, что
положение равновесия маятника, показанное на рис. 21, а, действительно является устойчивым, а на рис. 21, б – неустойчивым.
Однако для более сложных систем установить, является ли данное
положение равновесия устойчивым или нет, не столь просто. В большинстве практически встречающихся случаев этот вопрос может быть
решен с помощью теорем.
4.2. Необходимые условия устойчивости равновесия
консервативной системы
В предыдущих параграфах было показано, что если потенциальная
энергия консервативной системы имеет в некотором положении минимум или максимум, то система в этом положении находится в равновесии. Докажем следующую теорему – теорему Лежен Дирихле.
;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]