Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

При n = 1 получим

xx x

pp p

къ

pp p

къ

йщ

лы

21414

йщ

жцжц зчзч

къ

ишиш

лы

йщ

= -=

къ къ

лы

йщ

= -=

къ къ

лы

жц зч

иш

жц зч

иш

sin 1 cos sin 2,

A dx dx x

= = - =- =

тт

42 2 2 2

1 1 12

B dx dx x

sin 1 cos sin 1.

= = - =- =

тт

2 44 2 4 2

1 12

ж цй щ зч

и шл ы

ж цй щ зч

и шл ы

При n ≠ 1 для вычисления интегралов применим формулу три-

гонометрии

sin sin cos cos( ) ,

a b= a-b - a+b

( )

получим

x nx x nx x nx

p p pp pp

sin sin  cos cos

A dx dx

= = -- + =

тт

4 4 2 44 44

 cos cos

24 4

14 1 1

p- +

sin sin 0,

жцжц

nx nx

-p +p

( ) ( )

зчзч

зчзч ишиш

жц жц

-p +p

nx nx

( ) ( )

зч зч

зч зч иш иш

x nx

sin

sin 0.

Таким образом, точное решение задачи можно записать в виде

u xt t t

, 2cos sin sin .

= p+ p

( ) ( )

Приближенное решение найдем методом сеток с шагом по

аргументу x, равным h = 0,5 и шагом по аргументу t, равным

t= = = =

шагов по переменным x и t возьмем равными

Построим прямоугольную сетку

0,5 1

0,125

. Условие Куранта выполняется

tЈ

Число

, N = 8.

( ) ( )

 0,1, , ,  0,1 , , .

( )

.

n nnn

i iii

x ih i M t n n N= = ј =t = ј

Заменим производные разностными соотношениями

n nn n nn

u uu u uu

-+ -+

i ii i ii

Обозначим

. Получим разностное уравнение

1 12

n nn n nn

2 2.

u uu u uu

= - +a - +

i ii i ii

Полученное уравнение будет устойчивым при α ≤ 1. При α = 1

уравнение принимает более простой вид

u uuu

=+-

Для получения значений функции u(x,t) на (n+1)-м слое используются значения u(x,t) на слоях n и (n–1). Вначале вычислим значения u(x,t) на первых двух слоях: n = 0, n = 1.

Рис. 10.6. Разностная схема

Шаг 1.

Заменим в начальном условии краевой задачи производ-

ную ui(x,0) разностным отношением

значения u(x,t) на первых двух слоях n = 0, n = 1 находим по формулам

( ) , .

ux u=j =j =j +ty

i i ii i i

=y =y

() ,

Получим

21 1 0

32 2 1

43 3 2

iiii

n uuuu n uuuu n uuuu

23 4

2 6 24

u xu xi M

i ii i

жц жц

2sin , 2 sin , 0,1, , .

= = + tp = ј

зч зч иш иш

Ре-

зультаты вычислений заносим в таблицу.

Шаг 2.

Вычисляем значения на 2-м, 3-м и следующих слоях

= =+-

4:, ,

= =+-

и т. д.

Результаты вычислений заносим в таблицу.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

j 0 05 10 15 20 25 30 35 4

0 00 0 07654 14142 18478 2 18478 14142 07654 0 1 0125 0 09157 16919 22106 23927 22106 16919 09157 0 2 0250 0 09265 17121 22368 24212 22369 17121 09265 0 3 0375 0 07964 14714 19227 20809 19227 14714 07964 0 4 0500 0 05449 10070 13155 14242 13155 10070 05449 0 5 0625 0 02106 03890 05085 05501 05085 03890 02106 0 6 0750 0 -01559 -02879 -03764 -04072 -03764 -02879 -01559 0 7 0875 0 -04985 -09213 -12036 -13029 -12036 -09213 -04985 0 8 1000 0 -07654 -14142 -18478 -2 -18478 -14142 -07654 0

(x;0,875) 0 -05607 -10360 -13536 -14651 -13536 -10360 -05607 0

точн

׀u

– u׀ 0 -00622 01147 01500 01622 01500 01147 00622 0

точн

Для оценки погрешности разложим точное решение по формуле Тейлора с центром в узле (xi,tn), предполагая наличие непрерывных четвертых производных, [2]

u u hu u u u

=± + ± +

i x xx xxx xxxx

= ±t + ± +

u uu u u u

i t tt ttt tttt

hh h

23 4

tt t

Используя эти разложения, найдем невязку схемы

мь

пп нэ пп

ою

=® =

n nn n n n

2 22

u uu u u u

-+ -+

u au a

-- + =

tt xx

i ii i i i

M max ,

где

2 22

=- + Ј t +

12 12 12

¶¶

u u ah

tttt xxxx

( )

2 22

11. Программа для решения методом сеток волнового уравнения в системе Mathcad

Приведем возможное программное решение разностной схемы

для начально-краевой задачи следующего вида:

м п п

н п п

Параметры начально краевой задачи: a := 4 L := 4

u au x L t T

tt x x

0, 0, ( , ) 0.

u t u Lt

( )

( ,0) , ,0 ,

ux x u x x

, 0 , 0 ,

= Ј Ј ЈЈ

=j =y

( ) ( ) ( )

: 2sin(  ) : sin(  )

x xx x

f = y =p

( ) ( )

Шаг по переменной x: h := 0,5

Шаг по переменной t:

Число шагов по переменным x и t:

i := 0..M n := 0..N x

:= i ⋅ h tn := n ⋅ τ

:  0.125

t= ®

:  8.0 : 8

Координаты узлов c сетки x и t:

=f = =

( )

= (0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1)

= (0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4)

Начальные и граничные условия:

U : (x ) U : 0 U : 0

i,0 1 0,n M,n

Значения функции на 1-м слое:

U :U x.= +tЧy

i,1 i,0 1

Значения функции на 2-м, 3-м, …, n-м слое:

U := F(M,N)

: 1

a = a=

k := 0..M

Рис. 10.7. Профиль струны в различные моменты времени

12. Программа для решения волнового уравнения с использованием встроенных функций Mathcad

Приведем возможное программное решение той же задачи с ис-

пользованием встроенных функций Mathcad.

Параметры начально-краевой задачи: : a := 4 L := 4 T0 := 1. Уравнение, начальные и граничные условия: Given

(x,t) = a2 ⋅ uxx(x,t) ut(x,t) = v(x,t)

(,)sin (,)sin02 0=

u(0,t) = 0 u(L,t) = 0

Pdesolve

ж з

v x

,,,

ч ш

Рис. 10.8. Профиль струны в моменты времени t = 0; 0,25; 0,5; 0,625; 1

M := CreateMesh(u,0,L,0,T0)

Рис. 10.9. График численного решения волнового уравнения

Библиографический список

1. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 735 с.

2. Березин И. С. Методы вычислений. В 2-х т. – Т. 2 / И. С. Березин, Н. П. Жидков. – М. : Гос. изд-во физ.-мат. литературы,

1962. – 620 с.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. – М. : Мир, 1964. – 830 с.

4. Смирнов В. И. Курс высшей математики. В 5 т. – Т. 4 / В. И. Смирнов. – М. : Гос. изд-во техн.-теоретич. литературы,

1957. – 812 с.

5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1981. – 512 с.

6. Лебедев Н. Н. Сборник задач по математической физике / Н. Н. Лебедев, И. П. Скальская, Я. С. Уфлянд. – М. : Гос. изд-во техн.-теоретич. литературы, 1955. – 420 с.

7. Пикулин В. П. Практический курс по уравнениям математической физики / В. П. Пикулин, С. И. Похожаев. – М. : МЦНМО,

2004. – 208 с. – ISBN 5-94057-148-4.

8. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / Э. Камке. – М. : Наука, 1966. – 260 с.

9. Калиткин Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. – М. : Наука, 1978. – 512 с.

10. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский. – М. : Наука, 1971. – 553 с.

11. Князева А. Г. Элементарные понятия о разностных схемах. Методические указания к выполнению лабораторных работ / А. Г. Князева. – Томск : ТПУ, 2006. – 20 с.

12. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : Полный курс / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2006. – 608 с. – ISBN 5-8112-1778-1.

13. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. – Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. – М. : Наука,

1966. – 800 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

=w+j=wj+wj=

Разложение функции в ряд Фурье

Для изучения периодических процессов функция раскладывается в тригонометрические ряды. Напомним определение периодической функции.

Определение 1.

ской с периодом T > 0, если для любого x ∈ D выполняются соотношения: x + T ∈ D и f(x + T) = f(x).

Пример 1.

Функция y = f(x), x ∈ D называется периодиче-

Найти период функций y = cos(3x), y = sin(3x).

yx x x x yxT

= = + p= + = +

cos 3 cos 3 2 cos 3 ,

( ) ( ) ( ) ( )

yx x x x yxT

где здесь 3 – частота колебания.

Пример 2.

функцией y = A sin(ωt + ϕ0), где A – амплитуда, ω – частота, φ0 – начальная фаза.

где

По формуле синуса суммы гармоническое колебание раскладывается на сумму простых гармоник

sin 3 sin 3 2 sin 3 ,

= = +p= + = +

( ) ( ) ( )

. Такие функции называются простыми гармониками,

Найти период гармонического колебания, заданного

yAt At

= w +j = w + p+j =

sin sin 2

жц

= w + +j = +

sin ( ) ,

A t yx T

зч иш

2Tp

yxAt At A t

sin sin cos cos sin

жц зч

иш

жц зч

иш

жц зч

иш

жц зч

иш

( )

cos sin .

a tb t

= w+ w

( ) ( )

Определение 2.

тт

( )

0, ( )

cos cos  (cos cos( ) ) .

, ( )

mx nx dx m n x m n x dx

-p -p

№

= ++ - =

тт

( )

0, ( )

sin sin  (cos cos( ) ) .

, ( )

mx nx dx m n x m n x dx

-p -p

№

= -- + =

тт

Тригонометрическим рядом называется функ-

циональный ряд вида

cos sin cos sin

a x b x a nx b nx

+ + +ј+ + +ј=

=+ +

a nx b nx

cos sin .

Для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда используем свойство определенного интеграла по симметричному промежутку

0, нечетная,

f x dx

( )

м п

2 , четная.

f x dx f

( )

На основе этой формулы вычисляются следующие интегралы от простых гармоник на отрезках [-π; π] и [0; π]:

м п

nx dx nx dx

cos  , sin  0.

-p -p

п н

п п

sin

-p

2 , ( 0)

=p =

-p

0, ( 0)

=№

sin cos  (sin sin( ) ) 0.

mx nx dx m n x m n x dx

тт

-p -p

= ++ - =

( )

Пусть y = f(x) произвольная периодическая функция с периодом 2π. Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, то есть

f x a nx b nx

=+ +

( )

( cos sin ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]