Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Вычислим коэффициенты ряда
00
22
aa
( )
0
1
cos ( cos ( cos cos sin cos )
2
cos cos .
nn
n
mm
a
f x mxdx mx a nx mx b nx mx dx
a mx mxdx a
pp
Ґ
=
-p -p
p
-p
=+ + =
= =p
е
тт
т
0
1
( )sin ( sin ( cos sin sin sin )
2
sin sin .
nn
n
mm
a
f x mxdx mx a nx mx b nx mx dx
b mx mxdx b
pp
Ґ
=
-p -p
p
-p
=+ + =
= =p
е
тт
т
nn
-p -p -p
nn
pp p
( ) ( ( cos sin ) ,
f x dx a nx b nx dx dx a
1.
тт т
-p -p -p
a f x dx
0
= + + = =p
p
1
=
( )
т
p
-p
Ґ
е
nn
1
n
=
.
2.
3.
Из полученных соотношений запишем формулы для вычисле-
ния коэффициентов тригонометрического ряда
pp p
11 1
a f x dx a f x nxdx b f x nxdx
== =
0
тт т
pp p
, cos , sin .
( ) ( ) ( )
0
Определение 3.
Рядом Фурье функции f(x) называется тригоно-
метрический ряд следующего вида:
Ґ
a
f x a nx b nx
( )
0
®+ +
2
cos sin ,
е
1
n
=
числа a0, an, bn называются коэффициентами Фурье функции f(x).
Вопрос. При каких условиях вместо стрелки можно поставить
знак равенства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема Дирихле.
Пусть 2π – периодическая функция f(x) на от-
резке [-π; π] удовлетворяет условиям:
1. f(x) кусочно-непрерывна (непрерывна на всем отрезке или
имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода).
2. f(x) кусочно-монотонна (монотонна на всем отрезке, либо этот
отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из
которых она будет монотонна).
81
Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на отрезке [-π; π]:
( ) ( )
00
00
2
( ) ( )
00
2
ff
xx
xx
pp
жц
зч
зч
иш
жц
зч
зч
иш
1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает
со значением функции S(x) = f(x).
2. В каждой точке разрыва x
Sx
( )
0
выполняется равенство
0
fx fx
=
-+ +
.
3. В концах отрезка
Пример 3.
SS
-p= p=
( ) ( )
-p+ + p-
Разложить в ряд Фурье функцию
2 , 0 ,
м
=
fx
( )
н
- -pЈ <
о
Рис. 1. График периодического продолжения функции f(x)
Ј Јp
, 0.
.
Вычислим коэффициенты Фурье
pp
11 1
a f x dx xdx xdx x
= = - + =- + =
0
a f x nxdx x nxdx x nxdx
= = - + =ј
n
( )
т тт
pp p
-p -p
11
pp
cos cos 2 cos
( )
т тт
-p -p
По формуле интегрирования по частям вычислим неопределен-
0
жц
зч
зч
иш
жц
13
= +p =
зч
p
иш
2
0
2
pp
2
22
0
0
2
x
2
0
p
2
0
-p
ный интеграл
82
11
ux
nn
= = =- =
nnnn
n
жцжц
зчзч
pp
ишиш
p
pp
жц
зч
зч
иш
11
nn
--
= = = -=
nnnnn
жцжц
зчзч
ишиш
жц
==+ +++ј+
зч
иш
жц
зч
иш
=
x nx dx x d nx x nx nx dx
cos sin sin sin
тт т
( )
йщ
къ
v nx
=
sin
лы
( )
1 cos
жц
sin .
x nx
=-
зч
nn
иш
nx
Продолжим вычисления коэффициента an.
1 cos 2 cos
a x nx x nx
=ј=- + + + =
n
sin sin
=- - -
0
nx nx
-p
3
1 1.
( )
2
( )
n
Аналогично вычисляется коэффициент b
11
b f x nx dx x nx dx x nx dx
= = - + =ј
n
pp
sin sin 2 sin
( )
т тт
-p -p
0
n
0
p
0
По формуле интегрирования по частям вычислим неопределен-
ный интеграл
ux
=
x nx dx x d nx x nx nx dx
sin cos cos cos
тт т
( )
Продолжим вычисления коэффициента b
1 sin 2 sin 1
b x nx x nx
=ј= - - - = -
n
cos 1 .cos
pp
йщ
къ
v nx
=
cos
лы
-
1 sin
жц
=-
cos .
x nx
зч
nn
иш
0
nx nx
-p
( )
nx
n
p
0
( )
n
1
+
Функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка [-π; π],
поэтому имеет место равенство f(x) = S(x).
p
fx Sx
( ) ( )
3 6 cos cos3 cos5
4
xxx
sin sin 2 sin3
+ - + -ј
12 3
xxx
22 2
p
13 5
83
При x = ±π,
( )
23
2 22
00
22
pp
pp
тт
nn
жц
зч
иш
pp
xt
()
==
иш
222 .
p pp
0 ( 0)
ff
Sx
( )
-p+ + p+
= ==
p+ p p
.
Теорема о разложении в ряд Фурье четных и нечетных функций
Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид
Ґ
a
f x a nx
( )
a f x dx a f x nxdx
==
0
( ) ( )
0
®+
2
, cos .
cos ,
е
n
n
1
=
n
Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид
Ґ
f x b nx
®
( )
p
2
b f x nxdx
=
n
т
p
0
е
n
1
=
sin .
( )
sin ,
n
Теорема о разложении в ряд Фурье функции произвольного
периода
Если функция f(x) определена на отрезке [–L; L] и имеет пери-
од 2L, то ее ряд Фурье имеет вид
Ґ
a
fx a b
( )
LL L
11 1
a f x dx a f x dx b f x dx
== =
0
( ) ( ) ( )
тт т
L L LL L
-- -
LL L
0
®+ +
е
2
n
1
=
, cos , sin .
nx nx
pp
жц жц
cos sin ,
nn
зч зч
LL
иш иш
nx nx
жц жц
зч зч
иш иш
Доказательство. Сделаем замену переменной, положим
Тогда функция f(x) будет иметь в вид
f x f t gt
( )
ция g(t) определена на отрезке [–π; π]. Период функции g(t) равен
T = 2π. Действительно,
L Lt Lt
gt f t f L f gt
+p= +p = + = =
84
( ) ( ) ( )
ж цж цжц
з чз чзч
и ши шиш
L
жц
зч
p
L
=
p
, где функ-
.
Разложим функцию g(t) в ряд Фурье.
nn
nn
жц
зч
иш
pp
L LL
жц
зч
иш
LL
жц
зч
иш
жц
зч
иш
Ґ
a
g t a nt b nt
pp p
11 1
a g t dt a g t ntdt b g t ntdt
== =
0
( ) ( ) ( )
тт т
pp p
-p -p -p
0
®+ +
( )
2
, cos , sin .
cos sin ,
е
nn
n
1
=
Переписывая полученный для функции g(t) ряд по перемен-
ной x, получим
Ґ
a
gx a b
( )
LL L
11 1
a g x dx a g x dx b g x dx
== =
0
( ) ( ) ( )
тт т
L L LL L
-- -
LL L
0
®+ +
е
2
n
1
=
, cos , sin .
nx nx
pp
жц жц
cos sin ,
nn
зч зч
LL
иш иш
nx nx
жц жц
зч зч
иш иш
Замечание о разложении четных и нечетных функций
Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид
Ґ
a
fx a
( )
LL
22
a f x dx a f x dx
==
0
( ) ( )
тт
00
0
®+
е
2
n
1
=
, cos .
n
nx
p
жц
cos ,
n
зч
L
иш
nx
p
Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид
Ґ
fx b
®
( )
е
n
1
=
L
2
b f x dx
=
n
( )
т
0
nx
p
sin ,
n
sin .
L
nx
p
Разложение в ряд Фурье непериодических функций
Пусть функция y = f(x) определена на бесконечном промежутке
(–∞;+∞). Выберем в нем конечный интервал (a; b). Под разложением в ряд Фурье непериодической функции в промежутке (a; b)
понимают разложение в ряд Фурье такой периодической функции
y = g(x) с периодом 2L = b – a, которая на промежутке (a; b) совпа-
дает с заданной функцией y = f(x).
85
Пример.
p-
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x в промежут-
ке (3; 5).
Рис. 2. График периодического продолжения функции f(x)
Вычислим коэффициенты ряда Фурье. 2L = b – a = 5 – 3 = 2,
L = 1.
55
1 25 9 16
a xdx xdx
= = = = -= =
0
тт
L
33
55
1
a x dx x n xdx
= = p=
n
LL
55
1 ( 1) 2
b x dx x n xdx
= = p=
n
тт
LL n
33
nx
p
cos cos 0,
тт
33
nx
sin sin .
5
2
x
2 222
3
p
8,
n
+
1
Получим, что для любой точки непрерывности функции g(x)
верно разложение
Ґ
4 ( 1) sin .
f x nx
=+ - p
( ) ( )
е
n
=
1
2
+
1
n
n
p
86
Учебное издание
Мезенцев Алексей Владимирович
Ягупов Станислав Александрович
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Учебное пособие по дисциплине
«Аналитические и численные методы решения
уравнений математической физики»
для магистрантов специальности
23.03.02 – «Наземные транспортно-технологические комплексы»
Редактор С. В. Пилюгина
Верстка С. Н. Наймушиной
Подписано в печать 10.10.17. Формат 60×84/16
Усл. печ. л. 5,1. Заказ 196. Тираж 200 экз. (1-й з-д 1–20)
УрГУПС
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]