Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
( ) 0,
ab + ab +ab + ab =
22
20a dy a dxdy a dx+ +=
3
33
22
22
33
aa a
11 12 22
xx xy yx yy
то есть коэффициент при uαβ равен нулю.
Поделим полученное уравнение на коэффициент при uαα. Полу-
чим каноническую форму для уравнения эллиптического типа
Пример.
+ + + +=
aa bb a b
12
Привести к каноническому виду уравнение в тех обла-
.u u b u b u cu f
стях, в которых сохраняется тип уравнения.
yu
Решение.
Определим тип уравнения. a11 = y, a12 = 0, a22 = 1. Опре-
делим знак выражения
+ uyy = 0.
xx
2
12 11 22
.a aa y- =-
Необходимо рассмотреть
три случая:
1) y < 0 – уравнение гиперболического типа,
2) y > 0 – уравнение эллиптического типа,
3) y = 0 – уравнение параболического типа.
Составим характеристическое уравнение
Поскольку a
11 12 22
≠ 0 составим характеристические уравнения вида
22
.
(1.10), (1.11):
a a aa
dx
=
dy a
a a aa
dx
=
dy a
2
+-
12 12 11 22
22
2
--
12 12 11 22
22
, то есть
, то есть
dx
dy
dx
dy
=
=
0
+-
0
--
1
1
Получили уравнения с разделяющимися переменными
y
,
y
.
1. В полуплоскости y < 0 имеем
Общие интегралы имеют вид
( , ) ( ) и ( , ) ( ) .
xy x y C xy x y Сj =+ - = y =- - =
dy
=± -
.dxy
3
2
, ( )
2
.dx ydy x с y=± - + = -
11
Выполним замену переменных
2.
= x+ h= +
+= ++- -+- -+=
жц
зч
зч
зч
иш
()
3
2
xy
x= + -
x y xy
h= - - h= - -
2
( ),
3
2
3
Ю Ю - = x-h
33
22
() 3 3 2()
xy
x= + -
3 3 2( ) ,
3
2
y
4( ) .
3
3
2
( )
2
По формулам вычисления производных от сложной функции
получим
(3.10)
uu u uu
xxx
x h xh
= x+ h=- + -
uu u uu y
yyy
x h xh
22
= x+ xh+ h+ x + h = + +
uu u u u u u uu
xx x x x x xx xx
2 2.
xx xh hh x h xx xh hh
22
= x+ xh+ h+ x + h =
uu u u u u
yy y y y y yy yy
=- - + - - +
2
xx xh hh x h
yu u u u u
( ) ( )
xx xh hh x h
( ).
2
,
1
-
y
Подставим выражения для производных в уравнение
yu u yu u u yu u u u u
xx yy
(2 )(2 ) ( )
xx xh hh xx xh hh x h
4 0.
= - -+ =
yu uu
1
y
-
( )
( )
32
xh x h
2
1
2
-
Поделим уравнение на коэффициент при uξη и поставим выра-
32
жение для
2 y-
2. В полуплоскости y > 0 имеем
из формулы (3.10), получим канонический вид
( )
u uu
xh x h
1
- -+ =
6( )
x-h
( )
dx i ydy=±
0.
,
xс i y+ =± -
Общий интеграл имеет вид α(x, y) + i β(x, y) = C, где α(x, y) = x,
3
2
2
, ()
xy yb =-
( )
3
.
y
3
2
2
3
.
12
Выполним замену переменных
3
x=
xh x
xh h
= x+ h=
11
жц
зч
зч
зч
иш
10
,
x
h= -
2
()
y
3
Ю - =h
2
3
2
2( ) 3 .
y
(3.11)
По формулам вычисления производных от сложной функции
получим
uu u u
xxx
= x+ h=
u u u uy
yyy
=
uu
xx
xx
=+
u yu u
yy
hh h
2
,
,
,
1
.
y
Подставим выражения для производных в уравнение
yuu yuu uyuu u
+= + + = ++ =
xx yy
( )
xx hh h xx hh h
2
y
2
y
0.
32
Поделим уравнение на коэффициент при uξη и поставим выраже-
3
2
ние для
из формулы (3.11), получим канонический вид
2y
1
uu u
++ =
xx hh h
3
0.
h
3. На прямой y = 0 имеем dx = 0dy. Общий интеграл имеет вид
x = c.
Выполним замену переменных
ξ = x, η = y,
где в качестве функции η берем η = y – непрерывно-дифференцируемую функцию не зависимую от ϕ, то есть
получим
jh
xx
jh
yy
10
= =№
01
.
По формулам вычисления производных от сложной функции
13
xxx
yyy
uu u u
xh x
xh h
= x+ h=
==
2.
au au au bubucuf+ + + + +=
22
==
22
12
aa
=+=+
uu u u
= x+ h=
u uuu
, .
xx yy
xx hh
,
,
Подставим найденные производные в исходное уравнение, по-
лучим каноническое уравнение
u
ηη
= 0.
Объединяя полученные формулы в одну, получим канонический
вид
м
u uu y
п
п
п
uu u y
н
п
п
uy
п
о
1
- -+ = < -
xh x h
6( )
+ + = >-
xx hh h
0, 0 параболическийтип.
==
hh
x-h
3
( )
1
0, 0 эллиптическийтип;
h
-
0, 0 гиперболическийтип;
4. Канонические формы дифференциальных
уравнений с частными производными
второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальные уравнения с частными произво-
дными (ДУЧП) второго порядка с постоянными коэффициентами
Этому уравнению при a
11 12 22 1 2
xx xy yy x y
≠ 0 соответствуют характеристические
11
уравнения с постоянными коэффициентами (3.6)–(3.7)
(4.1)
a a aa a a aa
dy dy
dx a dx a
+- --
12 12 11 22 12 12 11 22
11 11
, .
Решением этих уравнений будут характеристики – прямые линии
a a aa a a aa
+- --
12 12 11 22 12 12 11 22
y xC y xC
14
11 11
, .
С помощью преобразований, описанных в пункте 3, уравне-
+ + +=
- + + +=
+ + + +=
+ + +=
(,)
= xh
()
2.
( ) ( )
22
12 1
22ev vvev vv
be v vbe v vсe vf
( ) ( )
( )
ние (4.1) приводится к более простым формам:
1) гиперболического типа
или
u b u b u cu f
12
xh x h
u u b u b u сu f
xx hh x h
12
(4.2)
; (4.3)
2) эллиптического типа
u u b u b u cu f
xx hh x h
12
; (4.4)
3) параболического типа
u b u b u cu f
12
hh x h
. (4.5)
Оказывается, что для уравнений с постоянными коэффициентами каноническую форму уравнений можно получить в более простом виде. Для этого можно ввести новую функцию
lx+mh
=
,ue v
vv
где λ, η – неопределенные коэффициенты. Тогда производные име-
ют вид
lx+mh
( ),
= +l
ue v v
xx
lx+mh
()
= +m
ue v v
hh
lx+mh
= + l +l
ue v v v
xx xx x
lx+mh
= +l +m +lm
ue v v v v
xh xh h x
ue v v v
hh hh h
( ),
lx+mh
(
= + m +m
,
2
2
,
2
)
Подставляя выражения для производных, например в уравнение
гиперболического типа (4.2), получим
lx+mh lx+mh
+ +l + +m + =
Приводя подобные и сокращая на
- + l+ + - m+ + l -m + l+ m+ =
xx hh x h
+ l +l - + m +m +
xx x hh h
lx+mh lx +mh lx+mh
( ) ( )
xh
lx+mh
, получим
e
1 2 12 1
2 .2vv v bv bv b b сf
22
.
15
Подберем параметры λ, η так, чтобы коэффициенты при первых
2
- +g =
+g =
+ +g =
21
+=
2 5 4 8 16 0.
+ + -+- =
a aa
( ) ( ) ( )
11
,
( ) ( ) ( )
**
22
производных равнялись нулю
b
2 0 ,
b
l+ = Ю l=-
1
2 0 .
b
- m+ = Ю m=
2
1
2
b
2
Получим каноническую форму для уравнения с постоянными
коэффициентами гиперболического типа
v v vf
xx hh
1
(гиперболический тип).
Аналогично производится переход к каноническим формам для
уравнений (4.2), (4.4), (4.5):
Пример 1.
Решение.
a
= 5. Определим знак выражения
22
v vf
xh
v v vf
xx hh
v bv f
xx h
Привести к каноническому виду уравнение
u u u uu u
xx xy yy x y
Коэффициенты уравнения имеют вид: a11 = 1, a12 = 1,
(гиперболический тип),
1
(эллиптический тип),
1
(параболический тип).
22
- = - Ч =- <
12 11 22
1 15 4 0
эллиптический тип. Составим уравнения для характеристик
a a aa
dy
12 12 11 22
= = =±
dx a
11
±-
14
1 2.
1
i
2
±-
Решениями дифференциальных уравнений являются характери-
стики
y = (1 ± 2i)x + C.
Комплексные интегралы характеристического уравнения имеют
вид
–
, 12 ,
16
2xy y ix C xy y x xi Cj =-+ = Юj =-- =
(4.6)
., 12 , 2xy y ix C xy y x xi Cj =-- = Юj =-+ =
(4.7)
Для того чтобы избавиться от комплексных переменных, введем
22
22
yx
ii
= a + b =- -
( ) ( )
+++-- +---+-=
+ + +-=
()
новые переменные
*
j+j -- +-+
a= = = -
y x xi y x xi xi
b= = =-
y x xi y x xi
22
2 24
-- -+- -
2.
x
,
По формулам (3.3) вычисления производных от сложной функции получим
uu u u u
x xx
uu u u
= a+ b=
y yy
uu u u u u u u u
= a+ ab+ b+ a + b = + +
xx x x x x xx xx
uu u u u u
= aa + ab +ab + bb + a + b =
xy x y x y y x x y xy xy
2
=- -
uu u u u u u
= a+ ab+ b+ a + b =
yy y y y y yy yy
Подставим производные в уравнение, получим
4 4 2 2 5 4 2 8 16 0u u u u u u uu u u
aa ab bb aa ab aa a b a
или
4 4 12 8 16 0,
uu u uu
Получим каноническую форму в более простом виде. Для этого
введем новую функцию v = v(α, β)
где λ, η – неопределенные коэффициенты. Тогда производные име-
ют вид
a b ab
aba
22
2 44
aa ab bb a b aa ab bb
aa ab bb a b
uu
aa ab
aa ab bb a b aa
u u uu u
aa bb a b
++ + -=
aa bb a b
,
22
2
3 2 4 0 (эллиптический тип).
ue v v v
ue v v v v
ab ab b a
2,
,
()
la+mb
=
la+mb
= +l
ue v v
aa
la+mb
= +m
ue v v
bb
la+mb
= + l +l
aa aa a
la+mb
= +l +m +lm
ue v v v
bb bb b
( ),
la+mb
= + m +m
(
,ue v
()
()
,
,
2
2 )
2
2
.
,
.
(4.8)
,
17
Подставляя выражения для производных в уравнение (4.8), по-
( ) ( )
22
22
ev vvev vv
evvevvev
( ) ( )
( )
4
0.
4
+- =
ve u
лучим
la+mb la+mb
3 2 4 0.
+ +l + +m - =
Приводя подобные и сокращая на
+ l +l + + m +m +
aa a bb b
la+mb la+mb la+mb
( )
ab
( )
lx+mh
e
, получим
+ + l+ + m+ + l +m + l+ m- =
aa bb a b
23 22 3240.vvv v v
22
Подберем параметры λ, η так, чтобы коэффициенты при произ-
водных vα и vβ равнялись нулю
l+ = Ю l=-
2 3 0 ,
2 2 0 1.
m+ = Ю m=-
3
2
С учетом найденных чисел λ, η получим каноническую форму
для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами
29
0.
3
a+b
2
, α = y – x, β = –2x.
Ответ.
Замечание.
vv v
+- =
aa bb
vv v
aa bb
29
, где
=
Если при получении канонической формы для
эллиптического уравнения не переходить от комплексных переменных к действительным, а сразу сделать замену переменных
ξ = ϕ(x, y), η = ϕ*(x, y), то в комплексных переменных мы получим
уравнение такого же вида, как и уравнение гиперболического типа
в первой канонической форме.
Так, в примере 1 комплексные интегралы характеристического
уравнения имеют вид (4.6), (4.7)
ϕ(x, y) = y – x – 2xi = C
, ϕ*(x, y) = y – x + 2xi = C2.
1
Сделаем замену переменных
ξ = ϕ(x, y) = y – x – 2xi,
*
η = ϕ
(x, y) = y – x + 2xi.
18
По формулам (3.3) вычисления производных от сложной функ-
( 1 2) ( 1 2),
= x+ h= -- + -+
22
x=-- =-+ x=x=x=
h=-+ =-- h=h=h=
+ + -+- =
( ) ( )
( ) ( ) ( )
-+--++ ---+++ -+ +
( ) ( )
ции получим
uu u u iu i
xxx
xh x h
uu u uu
= x+ h= +
yyy
x h xh
22
uu u u u u
= x+ xh+ h+ x + h =
xx x x x x xx xx
3 4 10 ( 3 4 ),
= -+ + + --
uu u u u u
= xx + xh +xh + hh + x + h =
xy x y x y y x x y xy xy
1 2 1,2 12
= -- + -- -+ +
1 2 2 1 2 ,
= -- - + -+
uu u u u u u uu
= x+ xh+ h+ x + h = + +
yy y y y y yy yy
2
xx xh hh x h
u i uu i
( )
xx xh hh
xx xh hh x h
u iu i iu
( ) ( )
xx xh
u i uu i
( ) ( )
xx xh hh
22
xx xh hh x h xx xh hh
()
12
-+ =
( )
hh
i
где ξx = –1 – 2i, ξy = 1,
η
= –1 + 2i, ηy = 1,
x
22
( 1 2 ) 3 4 , 0, 0, 0,
x xx xy yy
22
x xx xy yy
ξxη
= (–1 – 2i)(–1 + 2i) = 5.
x
ii
( 1 2 ) 3 4 , 0, 0, 0,
ii
Подставим выражения для производных в уравнение из примера 1
2 5 4 8 16 0.
u u u uu u
xx xy yy x y
Получим
,
34 10 34
-+ + + -- +
u i uu i
xx xh hh
2 12 2 12
+ -- - + -+ +
u i uu i
( ) ( )
( )
xx xh hh
5 2 4 12 12
+ + + - -- - -+ +
u u u u iu i
( )
xx xh hh x h
8 16 0.
+ +- =
uu u
( )
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим
3 4 2 4 5 3 4 2 4 5 10 4 10
u i iu i iu
xx hh xh
или
16 12 8 12 8 16u iu iu u
xh x h
xh
48 8 48 8 16 0,
uiu i u
+ +++ -+- =
( ) ( )
xh
++ +- -
( ) ( )
( )
(гиперболический тип).
19
Таким образом, мы получили уравнение гиперболического типа,
+=
0
- ++ =
0
+ - +=
0
xxyyxy
- ++=
22
20
+ +=
22
0
x
xx yy x
yu e u u- +=
0
20
2 80
+ + +- =
- + ++ =
- + ++=
+ - + -=
- + -+=
65 0
+ + +-=
где переменные ξ и η задаются комплексными выражениями
ξ = y – x – 2xi,
η = y – x + 2xi.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
u xyu
1.
yu xu u yu
2.
xu yu yu u
3.
xyu u u u
4.
5.
eu e u eu
Привести к каноническому виду уравнения:
0
xx yy
xx yy x y
xx yy x y
x xy y
xx xy yy
.
+
6.
xxy
eu eu eu u u- + ++=
7.
xx xy yy x y
2
(1 ) 0
u yu++ =
8.
xx yy
xu xyu yu u+ + -=
9.
xx xy yy x
()( )0
x yu xy y x yu- + - -+ =
10.
Задача 2.
xx xy
Привести к каноническому виду уравнения c постоян-
ными коэффициентами:
1.
u uuu u
xx xy yy x y
2.
2 70
u uuu u
xx xy yy x y
.
.
.
.
.
.
.
.
2
.
.
.
2 10 2 3 0
u u u uu
3.
xx xy yy x y
4.
5.
6.
2 10 4 0
u u u uu
xx xy yy x y
4 12 8 0
u u u uu
xx xy yy x y
u u u uu
xx xy yy x y
20
.
.
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]