Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Поэтому
( )
p
жц
зч
иш
p
жц
зч
иш
nn
ll
pp
жц жц
зч зч
иш иш
( ) ( ) ( )
nn
nn n
ll l
==
жц
pp p
=+
зч
иш
sin 0 , .
l nZ
l = Ю l= О
n
l
Таким образом, ненулевые решения задачи (9.4) возможны толь-
ко при собственных значениях λ, равных
2
nlp
l=
n
.
При таких собственных значениях собственные функции имеют
вид
Xx С x
=
( )
nn
n
sin ,
l
где Cn – произвольные постоянные.
Решая уравнение (9.5), получим ненулевые решения при тех же
значениях λn.
T t A at B at
( )
nn n
cos sin ,
=+
где An, Bn – произвольные постоянные.
Таким образом, частным решением уравнения (9.1), представляемым в виде u(x,t) = X(x)T(t) и удовлетворяющим граничным условиям (9.2), являются функции
,
u xt X xT t
n nn
где значения констант C
жц жц жц
sin cos sin ,
x A at B at
зч зч зч
иш иш иш
для собственных функций Xn(x) берутся
n
равными единице.
Шаг 3.
Рассмотрим теперь задачу (9.1)–(9.3), то есть найдем те
решения, которые кроме граничного условия (9.2) удовлетворяют
и начальным условиям (9.3). Линейность и однородность уравнения (9.1) позволяют утверждать, что сумма частных решений уравнения (9.1) удовлетворяет уравнению (9.1) и граничным условиям (9.2)
(9.7)
51
,,
nn
nn n
ll l
Ґ
жц
pp p
=+
зч
иш
жц
зч
иш
xA x
жц
зч
иш
ll
жц
зч
иш
, sin sin cos .
u x t x A at B at
жц
зч
иш
ll
pp
жц
зч
иш
ll
pp
жц
зч
иш
u xt u xt
==
( ) ( )
Ґ
жц жц жц
sin cos sin .
е
1
=
n
x A at B at
зч зч зч
иш иш иш
е
n
n
1
=
(9.8)
Полагая вначале t = 0, получим
Ґ
ux A x
,0 sin .
=
( )
е
n
n
1
=
n
p
(9.9)
l
Из начального условия (9.2) u(x,0) = ϕ(x), получим
Ґ
( ) sin ,
j=
е
n
n
1
=
n
p
l
что означает разложение функции ϕ(x) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,l). Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты An
вычисляются по формулам
l
2
A x x dx
n
( )sin .
=j
т
0
n
p
Более подробно о методах разложения функций в ряды Фурье
можно ознакомиться в [12]. Краткое описание этих методов приведено в приложении (см. приложение).
Дифференцируя ряд (9.8) по переменной t, получим
Ґ
= -+
( )
t nn
е
n
=
n na n n
pp p p
жц жц жц
зч зч зч
ll l l
иш иш иш
1
Полагая в (9.10) t = 0, будем иметь
Ґ
ux B x
,0 sin .
( )
tn
Из начального условия (9.2) u
=
na n
е
n
1
=
(x,0) = ψ(x), получим разложение
t
функции ψ(x) в ряд Фурье по синусам
Ґ
е
n
=
n
1
na n
sin ,
xB x
y=
( )
52
(9.10)
(9.11)
где
pp
жц
зч
иш
жц
зч
иш
p
жц
зч
иш
жц
зч
иш
( )
l
2
na n
B x x dx
=y
n
ll l
( )
т
0
sin ,
или
l
2
B x x dx
=y
n
( )sin .
т
na l
p
0
p
n
Таким образом, коэффициенты ряда (9.8) определяются из на-
чальных условий.
Утверждение 1.
Решение неоднородной задачи c однородными
начальными и граничными условиями следующего вида:
2
м
u au f xt x l t
= + << >
tt x x
п
п
0, 0, , 0, 0 ,
u t ult t
( ) ( )
н
п
,0 0, ,0 0, 0 .
ux u x x l
( ) ( )
п
о
( , ), 0 , 0,
= = Ј < +Ґ
= = ЈЈ
t
строится из собственных функций
щей однородной задачи
2
м
u au x l t
tt x x
п
п
u t ult t
( ) ( )
п
,0 0, ,0 0, 0 .
ux u x x l
( ) ( )
п
о
, 0 , 0,
= << >
0, 0, , 0, 0 ,
= = Ј < +Ґ
=
t
Xx x
( ) sin
=
n
=ЈнЈ
n
соответствую-
l
в виде
Ґ
u xt u t x
, sin ,
=
( ) ( )
е
n
n
1
=
n
p
l
где функции un(t) определяются специальным образом. Формулы
для un(t) будут получены при доказательстве утверждения 2. Доказательство утверждения 1 будет получено как следствие при доказательстве утверждения 2.
Утверждение 2.
Решение смешанной неоднородной задачи сле-
дующего вида:
2
м
= + << >
, , 0 , 0,
u au f xt x l t
tt x x
п
п
н
п
п
о
= = Ј < +Ґ
0, 0, , 0, 0 ,
u t ult t
( ) ( )
=j
,0 , ,0 , 0
ux x u x x x l
( ) ( ) ( ) ( )
=y Ј Ј
t
(9.12)
53
cводится к решению двух отдельных задач
жц
зч
иш
ll
жц
зч
иш
0
l ll
жц
pp
= ЧЧ
зч
иш
2
v av f xt x l t
= + << >
tt xx
п
п
0, 0, , 0, 0 ,
v t vlt t
( ) ( )
п
,0 0, ,0 0, 0 .
vx v x x l
( ) ( )
п
о
( , ), 0 , 0,
= =Јм< +Ґ
=
t
=ЈнЈ
(9.13)
м
п
п
н
п
п
о
2
, 0 , 0,
w aw x l t
= << >
tt xx
0, 0, , 0, 0 ,
w t wlt t
= = Ј < +Ґ
( ) ( )
,0 , ,0 , 0 .
wx x w x x x l
=j
( ) ( ) ( ) ( )
=y Ј Ј
t
(9.14)
Решение задачи (9.12) получается в виде суммы решений задач
(9.13), (9.14).
Задача (9.12) моделирует колебания под действием внешней
силы закрепленной на концах струны в начальный момент времени, не находящейся в состоянии покоя. Данные колебания можно
представить в виде суммы двух колебаний: первое – это вынужденное колебание, совершаемое под действием внешней силы неподвижной в начальной момент струны, второе – свободное колебание,
совершаемое без действия силы, происходящее в результате начального колебания струны.
Доказательство.
Будем искать решение задачи (9.12) в виде суммы двух функций u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), одна из которых – функция
v(x,t) удовлетворяет неоднородному уравнению и однородным начальным условиям (9.13), вторая – функция w(x,t) удовлетворяет однородному уравнению и неоднородным начальным условиям (9.14).
Рассмотрим задачу (9.13). Будем искать ее решение – функцию
v(x,t) в виде ряда Фурье. Для этого разложим функцию f(x,t) в ряд
Фурье по синусам на отрезке [0,l]
l
где
2
f t f s t ds
=Ч
( ) ( )
n
, sin .
т
0
Ґ
f xt f t
, sin ,
=Ч
( ) ( )
е
n
n
1
=
ns
p
Подставляя выражения для коэф-
nx
p
l
фициентов ряда Фурье в ряд, получим
l
Ґ
е
n
2
т
1
=
, , sin sin .
f x t f s t ds
( ) ( )
ns nx
жц жц
зч зч
иш иш
54
Как и для однородного уравнения, для свободных колебаний,
жц
зч
иш
11
nn
ll
ҐҐ
==
pp
жц
зч
иш
ее
l ll
иш
ll
жц
pp
зч
зч
иш
+ Ч- =
( )
о
будем искать функцию v(x,t) в виде ряда
Ґ
v xt v t
, sin .
=Ч
( ) ( )
е
n
n
1
=
nx
p
l
Вычислим частные производные
жц
v vt vt
=Ч = Ч
зч
tn n
иш
v vt
= Ч Ч-
xx n
жц жц
sin sin ,
( ) ( )
зч зч
иш иш
Ґ
=Ч
v vt
е
tt n
n
=
Ґ
( )
е
n
1
=
ў
nx nx
p
nx
ўў
1
pp
жц
sin ,
( )
зч
l
иш
22
n nx
2
l
жц
sin .
зч
иш
l
ў
Подставим выражения для частных производных vtt и vxx в урав-
нение задачи (9.13)
ҐҐ Ґ
ўў
vt a vt ft
( ) ( ) ( )
ее е
nn n
nn n
== =
11 1
nx n nx nx
p pp p
Ч = Ч Ч Ч- + Ч
sin sin sin .
2
22
жц
жц жц
зч
2
l
зч зч
иш иш
Приводя подобные и приравнивая соответствующие коэффици-
енты ряда, получим
Ґ
ўў
vt vt ft
+ Ч- Ч =
( ) ( ) ( )
е
n nn
=
1
n
2
a n nx
жц жц
зч зч
иш иш
=
0
sin 0,
то есть
222
an
ўў
vt vt ft
( ) ( ) ( )
n nn
p
2
l
Кроме того, необходимо учесть нулевые начальные условия за-
дачи (9.13)
м
0 0,
v
=
п
Таким образом, для определения коэффициентов v
обыкновенные дифференциальные уравнения (9.15) с постоянны-
н
п
n
ў
v
n
0 0.
=
( )
ми коэффициентами и начальными условиями (9.16).
0.
(9.15)
(9.16)
(t) получены
n
55
Решение задачи (9.15)–(9.16) задается в виде конечной формулы
0
pp
nn
+ Ч=
11
11
nn
nn
tn n
nn
ll
ll
ҐҐ
==
ҐҐ
==
pp
pp
ее
ее
( )
0,
0.
nn
pp
t
l an
= t -t t
vt f t d
( ) ( ) ( )
nn
т
p
an l
p
sin .
Таким образом, решение неоднородного уравнения (9.13) с нулевыми начальными условиями получено в виде ряда
t
Ґ
v xt f t d
, sin sin .
( ) ( ) ( )
l a n nx
= t -t tЧ
е
n
1
=
n
т
an l l
p
0
Теперь рассмотрим задачу (9.14) – однородное уравнение с ненулевыми начальными условиями. Представляя решение задачи –
функцию w(x,t) – в виде ряда и подставляя его в уравнение (9.14)
аналогично решению задачи (9.13), приходим к однородному дифференциальному уравнению
222
an
ўў
wt wt
p
( ) ( )
2
l
(9.17)
0.
Кроме того, учитывая начальные условия, получим
nx nx
wx x w
,0 0 sin sin ,
=j = = j
( ) ( ) ( )
ўў
wx x w
=y = = y
,0 0 sin sin .
( ) ( ) ( )
жц жц
зч зч
иш иш
nx nx
жц жц
зч зч
иш иш
Приравнивая коэффициенты, будем иметь
м
ww=j
п
н
ў
( )
п
n
о
(9.18)
=y
n
Отсюда получим решение однородного уравнения (9.17) с начальными условиями (9.18)
w t at at
=j + y
( )
nn n
nl n
cos sin .
l na l
p
Возвращаясь к решению исходной смешанной задачи (9.12), получим решение для суммы функций u(x,t) = v(x,t) + w(x,t).
56
t
жц
зч
иш
( )
tx
ўў
Ґ
u xt f t d
, sin
( ) ( ) ( )
Ґ
+j + y
cos sin sin .
е
nn
n
1
=
l an
= t -t t+
е
n
1
=
p pp
l na l l
n
т
na l
p
0
nl n n
at at x
p
p
Утверждение 3 (теорема единственности)
Существует только одна единственная функция u(x,t) являющая-
ся решением задачи (9.12)
2
м
= + << >
u au f xt x l t
tt x x
п
п
н
= = Ј < +Ґ
0, 0, , 0, 0 ,
u t ult t
( ) ( )
, , 0 , 0,
п
=j =y Ј Ј
,0 , ,0 , 0 ,
ux x u x x x l
п
( ) ( ) ( ) ( )
о
t
производные которой, входящие в уравнение задачи (9.12), а также
производная uxt непрерывны в области 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0 .
Доказательство.
Доказательство проведем от противного. Предположим, что существуют два различных решения u1(x,t) и u2(x,t) задачи (9.12).
Рассмотрим разность v(x,t) = u1(x,t) – u2(x,t). Функция v(x,t) удов-
летворяет однородному уравнению и нулевым начальным условиям
2
м
v a xlt
п
п
0, 0, , 0, 0 ,
v t vlt t
( ) ( )
н
, 0 , 0,
v= << >
xxtt
= = Ј < +Ґ
(9.19)
п
,0 0, ,0 0, 0 .
vx v x x l
п
о
= = ЈЈ
( ) ( )
t
Покажем, что у полученной задачи (4.19) возможно только нуле-
вое решение.
Запишем выражение для полной энергии струны в момент вре-
мени t
l
1
E t v a v dx
=+
( )
2
22 2
() () .
( )
т
0
Покажем, что функция E не зависит от переменной t, то есть
E(t) = const.
Для этого покажем, что E ʹ(t) = 0. Продифференцируем E(t) по
переменной t по правилу дифференцирования под знаком интеграла
57
22
00
1
ll
тт
00
00
ll
==
жц
зч
зч
иш
тт
ўў
( ) ( )
tt
ўў
==
0
ўў ўў
-=
=-=
= +=
( ) ( )
ў
==
( )
ў
=
( )
ў ў ўў ў ўў ў ўў ў ўў
E t v v a v v dx v v a v v dx
( )
22 .
= Ч+ Ч = Ч+ Ч
( ) ( )
t tt x xt t tt x xt
2
Проинтегрируем по частям
ў ў ўў ў ў ў ўў
=Ч + Ч- Ч =
E t v v dx a v v a v v dx
( )
l
t tt x t t xx
22
0
l
ў ўў ўў ў ў ў ў
= - +Ч Ч Ч
v v av dx a v lt v lt v t v t
t tt xx x t x t
т
0
где подстановка
ловий, то есть v(0,t) = 0, v(l,t) = 0 ⇒
22
( )
2
va vЧ
tlx
, , 0, 0, ,
( ) ( ) ( ) ( )
равна нулю в силу нулевых граничных ус-
0
-
0, 0, , 0
v t v lt
. Отсюда
следует, что
l
ў ў ўў ўў
E t v v a v dx
=-
( )
t tt xx
т
2
( )
.
(9.20)
Выражение, стоящее под знаком интеграла в силу уравнения за-
дачи (9.19), равно нулю
ў ў ўў ўў
E t v av av dx
( )
2
v av
tt xx
l
( )
t tt xx
т
0
. Поэтому
0
22
0.
Таким образом, доказано, что E(t) = const. Учитывая начальные
условия, получим
l
const 0 0 0 0,
E t E dx
= == + =
( ) ( ) ( )
1
( )
т
2
0
2
2
ў
То есть при любом t
l
1
E t v v dt
( )
2
22
ўў
( ) ( ) 0,
( )
tx
т
0
(9.21)
,0 0, ,0 0.
vx v x
где
Из выражения (9.21) можно сделать вывод, что
, 0,
v xtў=
t
v(x,t) = const = C
58
t
то есть
.
0
, 0,
v xt
x
Из начального условия, получим, что v(x,0) = C
( )
ўў ўў
( ) ( ) ( )
( )
12
p
жц
зч
иш
= 0, то есть до-
0
казано, что
, 0.v xt є
Таким образом, если найдутся две функции u1(x,t) и u2(x,t), являющиеся решением задачи (9.12) и удовлетворяющие условиям теоремы, то они тождественно равны.
Пример.
Решить методом Фурье следующую смешанную задачу:
- = < <p >
uu x t
м
tt xx
п
0, 0, , 0, 0 ,
u t ult t
( ) ( )
п
н
п
ux u x x
( ) ( )
п
о
0, 0 , 0,
= = Ј < +Ґ
p
2
x
= = ЈЈ
,0 0, ,0 sin , 0 .
t
жц
зч
l
иш
p
Решение
В данном примере константа a2 = 1. Находим частные решения,
для которых выполняются только граничные условия. Будем искать
это частное решение в следующем виде: u(x,t) = X(x)T(t).
Подставим в уравнение и разделим переменные, получим
Tt X x
() ( )
= = -l
() ( )
Tt Xx
,
где λ – произвольная постоянная. Составим задачу Штурма-Лиувилля (9.4)
ўў
м
п
н
п
о
+l = №
X x Xx Xx
==
0 0.
X Xl
( ) ( )
0, 0,
При λ > 0 задача (9.4) имеет ненулевые решения. Общее решение
уравнения (9.4) имеет вид
Учитывая граничные условия, получим C1 = 0,
Ненулевые решения задачи (9.4) возможны только при собственных значениях λ, равных
cos( ) sin( ).Xx С x С x= l+ l
2
nlp
l=
n
.
l=
n
.
l
59
При таких собственных значениях собственные функции име-
p
жц
зч
иш
nn
ll
pp
жц жц
зч зч
иш иш
nnn
lll
жц
ppp
зч
иш
xA x
жц
зч
иш
ll
p
жц
зч
иш
x Bx
nn
№
ют вид
Xx С x
( ) sin ,
=
nn
n
l
где Cn – произвольные постоянные.
Подставляя найденные λn и решая уравнение (9.5), получим не-
нулевые
T t A at B at
( )
nn n
cos sin ,
=+
где An, Bn – произвольные постоянные.
Общее решение задачи может быть записано в виде линейной
комбинации частных решений (9.8)
ҐҐ
, , sin cos sin .
u xt u xt x A t B t
== +
( ) ( )
ее
n nn
nn
11
==
ж ц жц жц
з ч зч зч
и ш иш иш
Из начального условия u(x,0) = ϕ(x), получим
Ґ
( ) sin ,
j=
е
n
n
1
=
n
p
l
что означает разложение функции ϕ(x) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,l). Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты An
вычисляются по формуле
l
Из начального условия
2
A x x dx
=j =
n
( )
т
0
ux x
( ) ( )
t
n
p
жц
sin 0.
зч
иш
,0 sin
=y =
2
x
получим раз-
l
ложение функции ψ(x) в ряд Фурье по синусам
2
жц ж ц
y= =
sin sin ,
( )
зч з ч
иш и ш
Ґ
x nn
p pp
е
l ll
n
n
1
=
или
ll
2 22
=y = =
B x x dx x x dx
n
( )sin sin sin
тт
n l nl l
pp
00
p pp
жц жцжц
зч зчзч
иш ишиш
60
0, 2,
n
м
п
н
l
n
, 2.
=
п
2
о
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]