Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
Пример 8.1.
uxuxx
-<
()
Конец полуограниченной струны x = 0 двигается по
закону
10, sin 3
ut t=
( )
, t ≥ 0. Найти отклонения всех точек струны
3
при t > 0, если в начальный момент времени отклонения и скорости
всех точек струны равны нулю.
Решение.
Запишем соответствующую начально краевую задачу
м
п
п
н
п
п
о
2
= >>
u au x t
tt x x
( ) ( )
u t tt
( )
, 0, 0,
= =і
,0 0, , 0 0, 0,
0, sin 3 , 0.
t
1
=>
3
По теореме 8.3 решение задачи задается формулой
і>
x at
0, 0,
м
п
=
u xt
,
( )
1
н
sin3 , .
п
3
о
x
жц
t x at
зч
a
иш
x
Здесь
– время, которое требуется возмущению, распростра-
a
няющемуся со скоростью a, для того, чтобы пройти путь от конца
x = 0 до точки с координатой x. При этом в фиксированный момент
времени t возмущения от конца струны x = 0, распространяющиеся
со скоростью a, не дойдут до тех точек струны, координаты которых
x ≥ at. Отклонение струны в точке с координатой x < at определяется отклонением конца струны в предшествующий момент времени
x
ta-
– эффект запаздывания.
Приведем типы возможных граничных условий для задач колебания полуограниченной струны.
№ Граничное условие Описание
1
2 u(0,t) = 0 Конец струны x = 0 жестко закреплен
3
u(0,t) = µ(t) Конец струны x = 0 движется по закону µ(t)
u
(0,t) = µ(t)
x
К концу струны x = 0 параллельно оси u
приложена заданная внешняя сила f(t), где
1
t ft
m =-
( )
, T0 – натяжение струны
T
0
41
№ Граничное условие Описание
( ) ( ) ( )
,,
11
2
tt
2
4
5
6 u
u
(0,t) = µ(t)
x
u
(0,t) – hu(0,t) = hµ(t)
x
(0,t) – hu(0,t) = 0 Конец струны x = 0 упруго закреплен
x
Конец струны x = 0 свободен
k
Конец струны x = 0 упруго закреплен
и задан закон его движения. На конец струны
действует сила упругости, пропорциональная
смещению и направленная в противоположную сторону f(t) = –ku(0,t)
hT=
,
0
Условия 1, 2 называются граничными условиями первого рода;
условия 3, 4 –граничными условиями второго рода; условия 5, 6 –
граничными условиями третьего рода.
Рассмотрим пример решения начально-краевой задачи с граничными условиями второго рода.
Пример 8.2.
Решить начально-краевую задачу
м
4 1, 0, 0,
uu x t
=+>>
tt xx
п
ux x u x x
( ) ( )
н
п
ut t t
( )
x
о
3
,0 , , 0 0, 0,
= =і
0, 3cos 3, 0.
t
=- + і
(8.5)
Решение.
Продолжим правые части уравнений на всю прямую
3
, 1, , 0, .f xt x x x x= j = y = - Ґ < < +Ґ
Для этих функций найдем решение задачи (7.1) на всей прямой
по формуле Даламбера (7.6)
()
x at
x at t
()()1 1
x at x at
v xt d d f d
( ) ( )
= + t z= + + -t t=
j+ +j-
= + y z z+ t z t z=
xt xt
22
+ +-
( ) ( )
22 2
33
24 4
тт т
02 0
=+ +
Будем искать решение исходной задачи в виде суммы функций
, , , 12 , ,
u xt v xt w xt x xt t w xt= + =+ + +
( ) ( ) ( ) ( )
+
т тт
aa
xat xat
- - -t
2( )
xt
+ -t
d d x xt t d
x xt t
1 12 4( )
- -t
xt
( )
3 22
12 .
32
1
3 22
+ -t
( )
0
( )
1
(8.6)
42
где w(x,t) – новая неизвестная функция. Сформулируем началь-
xx
wxwxx
( ) ( ) ( )
wxtfxtgxt
,.
22
CC
( ) ( )
==
( ) ( )
=-
( )
ў
но-краевую задачу для нахождения функции w(x,t). Для этого подставим сумму функций (8.6) в систему (8.5). Получим
( )
x
ў
( )
x
=
0
x
x
=
0
жц
0, 12 , 3 12 ,
u t x xt t w xt x t w xt
( ) ( ) ( )
3 22 2 2
=+ ++ = + + =
зч
иш
1
2
2
12 0, 3 cos 3.
= + =- +
tw t t
Отсюда получим, что функция w(x,t) должна удовлетворять си-
стеме
м
4 , 0, 0,
w wx t
= >>
tt xx
п
,0 0, , 0 0, 0,
= =і
( ) ( )
н
п
0, 3cos 3 12 , 0.
w t t tt
( )
x
о
t
=- + - і
2
(8.7)
Общее решение уравнения системы (8.7) задается формулой
, 2 2,
= -+ +
(8.8)
где f, g – произвольные дважды дифференцируемы функции.
Учитывая начальные условия в системе (8.7), найдем функции
f(x), g(x)
f x gx=- =
( ) ( )
Поскольку при подстановке найденных функций в (8.8) постоянная C/2 сокращается, ее можно взять равной нулю. Тогда при
x ≥ 0 будем иметь
0, 0.fx gx
В первой четверти выражение x + 2t ≥ 0 неотрицательно, поэтому
значение функции g(x + 2t) = 0. Таким образом, в первой четверти
решение (8.8) представляет собой прямую бегущую волну
, 2.w xt f x t
Определим функцию f(x) при отрицательных значениях x. Для
этого воспользуемся граничным условием в (8.7)
20, ( 2 ) 3cos 3 12 , 0.
w t f t t tt
= - =- + - і
x
43
Сделаем замену переменной –2t = x. Получим дифференциаль-
2
2
( ) ( )
11
00
3 22
3
1
12 , 2 0,
2
( ,) ( ,) ( ,)
2
6sin 3( 2) ( 2), 2 0.
2
x xt t x t
uxt v xt w xt
xt
xt xt xt
м
+ + -і
п
п
=+ =
н
-
жц
п
- + - -- -<
зч
п
иш
о
ное уравнение для определения функции f(x) при отрицательных
значениях x
ў
fx x x
=- + - Ј
( ) 3cos 3 3 , 0.
x
2
Отсюда получим
fx x x C x=- + - + Ј
( )
x
6sin 3 , 0.
3
1
Для определения константы C1 используем условие непрерывно-
сти функции f(x) в точке x = 0
lim lim 0 , 0.
fx C fx C
xx
®- ®+
= =Ю =
Поэтому
і
30, 0,
x
м
fx
( )
п
=
н
п
о
x
- +- Ј
6sin 3 , 0.
2
xx x
(8.9)
С учетом (8.9) запишем решение (8.8)
-і
xt
0, 2 0,
м
п
=
w xt
,
( )
н
- + - -- -<
6sin 3 2 2 , 2 0.
п
о
-
xt
2
жц
зч
2
иш
xt xt xt
( ) ( )
3
Тогда
Пример 8.3.
44
Решить начально-краевую задачу
u u xt x t
м
tt xx
п
п
ux x u x x
( ) ( )
н
п
uu t t tt
( )( )
x
п
о
6( ), 0, 0,
=+ + > >
= =і
,0 sin , ,0 0, 0,
0, 1 , 0.
- =+ - і
t
95
23
44
(8.10)
Решение.
2
4
(,) ()() ().
4
4
( )
ў
23
22 22
gxx xgxx xCx
4 42
Приведем дифференциальное уравнение системы
(8.10) к каноническому виду. Перейдем к переменным ξ = x – t,
η = x + t. Тогда уравнение перепишется в виде
3
uxh=- h
.
Его решением будет функция
3
( , ) ( ).
u fgx h = - xh + x + h
2
( )
Подставляя старые переменные, получим
uxt xtxt fxt gxt=- - + + - + +
3
2
( )
(8.11)
Аргумент функции g(x + t) принимает в первой четверти x ≥ 0,
t ≥ 0 только неотрицательные значения, аргумент функции f(x – t)
может принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения. Поэтому для получения решения u(x,t) найдем функцию f(x)
при –∞ < x < +∞, а функцию g(x) при x ≥ 0. Подставим общее решение (8.11) в начальные условия системы (8.10)
3
,0 sin , 0,
ux x f x gx x x
( ) ( ) ( )
,0 0, 0.
ux x fx gx x
( )
t
3
=- + + = і
4
3
2
=- - + = і
4
ўў
( ) ( )
Продифференцируем по x первое уравнение, получим систему
9
м
2
-+ + = і
п
п
4
н
3
п
-- + =і
п
о
ўў
x f x gx xx
( ) ( )
2
ўў
x f x gx x
( ) ( )
cos , 0,
0, 0.
Складывая первое и второе уравнения, получим
2
3 2 cos .x gx x
-+ =
Отсюда
31 11
ў
=+ Ю =+ + і
( ) ( )
f x x x gx x x C x= +- =+ - і
( ) ( )
cos , sin , 0
3 11
sin sin , 0
33
(8.12)
(8.13)
45
Подставляя вместо переменной x переменные x – t и x + t, по-
2
,.
4 24
ўў
ўў
23
33
44
44
22
22
лучим
fxt xt xt Cxt
( ) ( ) ( )
gxt xt xt Cxt
( )
11
- = - + - - -і
42
11
+ = + + + + +і
22
3
sin , 0,
3
( ) ( )
sin , 0.
(8.14)
Подставим полученные выражения (8.14) в (8.11), получим
1
( , ) 3 sin cos , 0, 0.
u x t t xt x t x t t=- + + - і і
32
(8.15)
Найдем функцию u(x,t) при x – t < 0, t ≥ 0. Для этого определим
функцию f(x) при отрицательных значениях переменной x.
Вычислим значение частной производной
9 33
uxt x xt t fxt gxt
( ) ( ) ( )
x
22
=- - + + - + +
Подставим выражение (8.11) в граничное условие системы (8.10),
где
3
0, ,
u t t f t gt
( ) ( ) ( )
x
(0, ) ( ).
u t t f t gt
2
= + -+
4
3
3
= + -+
4
( )
Отсюда получим
- = + -+ - - -- =
uu t t ftgt t ftgt
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,
x
ўў
91
=+ + і
23
1 , 0.
t tt
(8.16)
Найдем значение производной gʹ(t). Из условия (8.12) следует,
что
11
3
gt t t C=+ +
46
( )
ў
gt t t
=+
( )
sin ,
31
2
cos .
(8.17)
(8.18)
Подставим (8.17), (8.18) в (8.16) получим
22
22
( )
= ++
( )
ў
,1
DC
2
2
( )
3
00
11
lim lim sin ,
42
xx
fx x x C C
®+ ®+
жц
= + - =-
зч
иш
ў
f t f t t tC t
-- -=+ - + і
( ) ( )
11
1 sin cos , 0.
Сделаем замену переменных –t = z. Получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка
ў
f z fz z z C z
- =- - + Ј
( ) ( )
11
1 sin cos , 0.
(8.19)
Найдем частное решение в виде
*
Подставим значение функции f*(z) и
cos sin .fz A zB z D
=- +
*
sin cosfz A zB z
в уравнение (8.19). Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах и свободном члене, получим
м
AB
- - =-
п
п
н
- =- = =
BA B
п
п
- =+
DC
о
1
2
1
0, 0,
2
,
1
м
A
=
,
п
2
п
н
Ю
п
п
=- -
1
о
.
Подставим найденные коэффициенты, получим
1
cos 1 .
fz z C= --
( )
*
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения
(8.19) равно сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения f (z) = Cez и найденного частного решения f*(z) запишем решение дифференциального уравнения
(8.19) как функцию от переменной x
f x Ce x C x= + -- Ј
( )
Найдем значение константы C из условия непрерывности функции f(x)
1
x
cos 1 , 0.
47
11
lim lim cos 1 C ,
22
CC
жц
зч
иш
11
22
CC
22
22
23
()() cos()1() sin()
() 52 2cos()2sin()4.
4
йщ
лы
32
2
1
3 sin cos , 0.
2
( ,)
1
() 52 2cos()2sin()4,() 0.
4
xt
t xt x t x t
uxt
xt x t e xt xt xt
-
м
- + + -і
п
п
=
н
п
йщ
- + -+ + + -+ +- -<
лы
п
о
fx e x C
( )
xx
00
®- ®+
то есть из уравнения
= + -- = - -
x
C
, .
C-=-- Ю =
Отсюда получим
11
fx e x C x= + -- Ј
fxt e xt Cxt
( )
11
xt
- = + - -- -Ј
( )
-
cos 1 , 0.
cos( ) 1 , 0.
(8.20)
Подставим выражения (8.14) и (8.20) в (8.11), получим решение
задачи при x – t < 0, t ≥ 0
( )
3 11 1 1
xtxt e xt xt xt
=- - + + + - - + + + + =
4 22 2 2
1
xt x t e xt xt
= + -+ + + -+ +-
4
2
( )
xt
-
3
, ()()()()
uxt xtxt fxt gxt
=- - + + - + + =
xt
-
2
Ответ
9. Метод разделения переменных Фурье
Для решения задачи Коши для волнового уравнения ut = a2uxx на
всей прямой используется формула Даламбера, которая представляет решение в виде суммы двух бегущих волн. Если же рассматривать
волновое уравнение на конечном отрезке, то для ее решения удобнее использовать метод разделения переменных или метод Фурье.
48
Разберем применение данного метода на примере решения задачи
TX aXT
ўў ўў
ўў ўў
ўў ўў
( ) ( ) ( )
ўў
( ) ( ) ( )
==
==
( ) ( ) ( )
Коши для волнового уравнения на конечном отрезке
2
м
(9.2)
(9.3)
u au x l t
tt x x
п
п
0, 0, , 0, 0 ,
u t ult t
( ) ( )
н
п
ux x u x x x l
( ) ( ) ( ) ( )
п
о
, 0 , 0,
= << >
= = Ј < +Ґ
j =y Ј Ј
,0 , ,0 , 0 ,
=
t
(9.1)
Шаг 1.
Предположим, что решение представимо в следующем
виде и удовлетворяет только граничным условиям: u(x,t) = X(x)T(t),
где X(x) – функция одной переменной x, T(t) – функция одной переменной t. Подставим выражение для u(x,t) (4.1), получим
2
=
,
разделим на a2XT
Tt X x
1 () ( )
2
a
=
() ( )
Tt Xx
.
Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы выражения, стоящие в левой и правой частях, равнялись некоторой константе. Обозначим ее –λ (со знаком минус), то получим
Tt X x
1 () ( )
a
= = -l
2
() ( )
Tt Xx
.
Из последнего равенства получим обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t)
(9.5)
X x Xx Xx
+l = №
2
ўў
+l = №
T t a Tt Tt
( ) ( ) ( )
0, 0,
0, 0.
(9.4)
Из граничных условий (9.2) следует, что
0, 0 0,
u t X Tt
, 0.
ult X lT t
( ) ( ) ( )
Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям: X(0) = X(l) = 0, что вместе с уравнением образует задачу о собственных значениях (задача Штурма-Лиувилля)
ўў
м
X x Xx Xx
п
н
п
о
+l = №
0 0,
X Xl
==
( ) ( )
0, 0,
(9.6)
49
то есть найти такие значения λ, при которых существуют ненулевые
( )
12
xx
( )
ll
Сe e
-=
0
ll
-№
( )
12
=+
( )
о
( )
12
( )
XlСlСl Сl
решения уравнения (9.4), и найти эти решения.
Определение.
Значения параметра λ, решающие задачу (9.4),
называются собственными значениями, а соответствующие им
функции X(x) – собственными функциями.
Возможны следующие три случая:
1. При λ < 0 задача (9.4) не имеет ненулевых решений. Действи-
тельно, общее решение уравнения (9.4) имеет вид
X x Сe Сe
-l - -l
=+
.
Учитывая граничные условия, получим систему уравнений для
определения коэффициентов C1 и C2
м
= + = Ю =-
0 0, ,
X СС С С
п
н
X l Сe Сe
п
о
12 2 1
-l - -l
=+ =
( )
12
ll
0,
-l - -l
из которой следует, что
( )0
1
Поэтому C1 = C2 = 0 и X(x) = 0.
2. При λ = 0 задача (9.4) не имеет ненулевых решений. Действи-
тельно, общее решение уравнения (9.4) имеет вид
Учитывая граничные условия, получим систему уравнений для
определения констант C1 и C
м
0 0 0, 0,
X СС С
п
н
Xl С l С
( )
п
2
= += Ю =
Ч
12 2
= +=
Ч
12
0.
Поэтому C1 = C2 = 0 и X(x) = 0
3. При λ > 0 задача (9.4) имеет ненулевые решения. Общее реше-
ние уравнения (9.4) имеет вид
cos( ) sin( ).Xx С x С x= l+ l
ний для определения коэффициентов C1 и C
м
0 0 0, 0,
X СС С
=+ = Ю =
п
н
= l+ l= Ю l=
( )
п
о
Ч
12 1
cos sin 0, sin 0.
( ) ( ) ( )
12 2
50
, причем
.X x Сx С
2
-l - -l
ee
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]