Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики. Учебное пособие
.pdf
l
=+
,,
x at
-
()
t
e
a
Пример.
мени t = 0,
Рис. 6.7. Форма струны при
Нарисовать форму бесконечной струны в моменты вре-
1
2a
2
1
,
,
, если ее колебания описываются задачей Коши
a
a
2
м
u au x t
- = -Ґ< <Ґ >
tt xx
п
,0 ( ), ;
ux x x
( )
н
п
,0 ( ), .
ux x x
( )
t
о
0, , 0;
=j -Ґ< <Ґ
=y -Ґ< <Ґ
где функция ϕ(x) = 0, а функция ψ(x) имеет вид, приведенный на
рис. 6.8.
Рис. 6.8. График функции ψ(x)
Заметим, что для таких начальных функций формула Даламбера
(6.7) определяет обобщенное решение задачи (6.1).
Решение.
По формуле Даламбера при ϕ(x) = 0 получаем
x at
+
1
u x t s ds F x at F x at
= y = +- -
( ) ( ) ( ) ( )
т
a
2
где F(y) – некоторая первообразная функции
y
F y s ds
1
=y
( ) ( )
т
2
a
1
-
y
, например функция
2xa
.
31
В качестве нижнего предела интегрирования возьмем –1, так как
( ) ( )
( )
[ ]
1
0, , 1
11
, 1,1 .
22
1
, (1, )
y
y
y
F y s ds y
aa
y
a
-
м
О -Ґ -
п
п
+
п
= y = О-
н
п
п
О +Ґ
п
о
т
слева от этого числа функция ψ(x) равна нулю.
Таким образом, функция u(t, x) есть разность двух волн одинакового профиля F, одна из которых бежит влево, а другая вправо. Причем из волны, бегущей влево, вычитывается волна, бегущая вправо.
Найдем F(y) для нашего случая
График этой функции выглядит так
Рис. 6.9. График функции F(y)
Поэтому профиль струны в момент времени t = 0 будет иметь следующую форму (см. рис. 6.10). На этом и следующих рисунках пунктирной линией изображены графики функций F(x + at), –F(x – at).
Рис. 6.10. Профиль струны в момент времени t = 0
32
На рис. 6.11–6.13 приведены профили струны u(t,x) в моменты
a
времени
1
2a
2
1
,
,
.
a
a
Рис. 6.11. Профиль струны в момент времени
Рис. 6.12. Профиль струны в момент времени
1
2ta=
1
t
=
33
2
( )
( )
Рис. 6.13. Профиль струны в момент времени
ta=
7. Неоднородное уравнение
Рассмотрим краевую задачу Коши для неоднородного уравнения
колебаний при –∞ < x < +∞, t ≥ 0 c неоднородными начальными
условиями
2
м
u au f xt x t
= + - Ґ < < +Ґ >
tt x x
п
н
,0 , ,0 ,
ux x u x x
=j =y
( ) ( ) ( ) ( )
п
о
Ввиду линейности задачи (7.1) ее решение можно представить
в виде суммы решений следующих двух задач:
2
м
v av f xt x t
= + - Ґ < < +Ґ >
tt xx
п
н
,0 0, , 0 0,
vx v x
==
( ) ( )
п
о
, , , 0,
t
, , , 0,
t
(7.1)
(7.2)
м
w aw x t
п
tt xx
н
wx x w x x
( ) ( ) ( ) ( )
п
о
Решение задачи (7.2) задается формулой [7]
v xt d f d
( )
34
2
, , 0,
= - Ґ < < +Ґ >
,0 , ,0 .
=j =y
1
, ,.
= t zt z
2
a
t
()
x at
+ -t
t
тт
0
x at
- -t
( )
( )
(7.4)
(7.3)
Решение задачи (7.3) задается формулой Даламбера (6.7)
( ) ( )
,.
( ) ( )
(,) 0, (,) (,).
x at
x at x at
w xt d
( )
j+ +j-
= + yz z
22
+
1
т
a
x at
-
( )
(7.5)
Учитывая (7.4), (7.5) получим, что решение краевой задачи Коши
для неоднородного уравнения с неоднородными начальными условиями задается формулой u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), или
x at
( )
22
x at
+ -t
()
t
1
d fd
+ t zt z
тт
2
a
x at
0
- -t
( )
( )
x at x at
j+ +j-
,
u xt d
= + y z z+
+
1
т
a
x at
-
,.
( )
(7.6)
Таким образом, решение общей задачи (7.1) может быть написано в виде суммы решений задач (7.2), (7.3).
Докажем теперь следующее утверждение.
Теорема.
Доказательство.
Решение задачи (7.2) задается формулой (7.4).
Рассмотрим вспомогательную задачу
2
м
v av
tt xx
п
н
vx x ftx
п
о
, ,
=
t
-Ґ< <+
v
=t
t
x
=
,
Ґtt
>
(7.6)
Выполнив замену переменной t ʹ = t – τ, получим ее решение по
формуле Даламбера (6.7)
()
x at
+ -t
,; , .
xt f d
v
( )
1
t = zt z
2
a
x at
т
- -t
( )
( )
(7.7)
Покажем, что функция
t
, ,;
v xt v xt d= tt
( ) ( )
т
0
(7.8)
является решением задачи (7.2). Для этого используем формулу
дифференцирования определенного интеграла, зависящего от параметра [13]
35
()
00
tt
тт
uxeuxc
( )
33
23
y
b
a
т
()
y
,,
( )
(7.9)
( )
F y f x y dx
=
( ) ( )
Fy fxydx f yy y f yy y
()
y
b
ўў ў ў
= +b b -a a
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a
, ( ), , .
y
т
()
y
Применяя формулу (7.9) для интеграла (7.8), получим
tt
ўў ў
= + tt= tt
, ,; ,; ,; ,
v xt v xtt v xt d v xt d
( ) ( ) ( ) ( )
t tt
, ,; ,; , ,; ,
v xt v xtt v xt d f xt v xt d
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
tt tt tt
av xt a v xt d v xt d
=
ўў ў
= + tt= + tt
=
( ,)
f xt
22
= tt= tt
, ,; ,; ,
( ) ( ) ( )
xx xx tt
тт
00
0
tt
ўў
тт
00
то есть уравнение задачи выполняется тождественно. Таким образом, функция, задаваемая формулой (7.4), является решением задачи (7.2). Формула (7.4) верна. Теорема доказана.
Пример.
Найти решение задачи Коши
м
п
н
п
о
22
u a u bx x t
= + - Ґ < < +Ґ >
tt x x
, 0 , , 0 c o n s t .
= ==
( ) ( )
, , 0,
-
x
t
Решение.
Вычислим повторный интеграл от функции f(x,t) = bx2,
входящий в формулу (7.6).
x at x at
+ -t + -t
() ()
t tt
1
тт тт т
2 2 23
a aa
x at x at
- -t - -t
0 () 0 () 0
= + -t + -t + -t -
6
- - -t + -t - -t t=
36
,
f s t dsd s dsd d
( )
t
b
= + -t - - -t t=
t
b
т
a
0
32 2 3
x xat xa t a t d
( )
x at x at d
( )
( )
т
a
6
0
32 2 3
x xat xa t a t
33
( )
(
33
( ) ( ) ( )
b bs
t= t= t=
( )
( ) ( ) ( )
2
( )
( )
23
3
x at
+ -t
x at
- -t
)
( )
( )
t
b
( ) ( )
,,
6.
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= -t + -t t= -t= t=- =
6
23
xat a t d t pd dp
62 ,
( ) ( )
т
a
0
0
bb
=- + = + =
63
= += +
2 33 2 23
x ap a p dp x p a p dp
62 3
( ) ( )
тт
a
t
tt
24
жц
bp p b
2 2 22 24
зч
x a xt at
3 6.
зч
3 2 4 12
иш
00
3
[ ]
t
0
( )
По формуле (7.6) получим
()
x at
x at t
x at x at
u x t s ds f s t dsd
( )
j+ +j-
= + y + t=
x
-
e x at x at x t a t
= Ч + + +- + +
22 2
x at x at
-- -+
ee b
= + + +=
ee c b
+
2 2 12
at at
-+
+
2 2 12
( ) ( )
( )
a
+
11
( ) ( )
т тт
aa
xat xat
- - -t
x at
+
1
cds x t a t
т
a
x at
-
6
( )
+ -t
0 ()
22 24
22 24
( )
8. Начально-краевые задачи для полупрямой
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения колебаний при x > 0, t ≥ 0 c неоднородными начальными условиями
2
м
u au f xt x t
= + >>
п
tt x x
н
,0 , ,0 .
ux x u x x
п
о
=j =y
( ) ( ) ( ) ( )
, , 0, 0,
t
Ее решение на всей прямой задается формулой Даламбера (7.6).
Метод продолжения позволяет строить решения начально краевых
задач по формуле Даламбера на полупрямой с однородными граничными условиями первого и второго рода.
В основе метода продолжения лежат следующие утверждения:
1. Пусть f(x,t) = 0. Тогда из нечетности функций ϕ(x), ψ(x) следу-
ет, что u(0,t) = 0, а из их четности – ux(0,t) = 0.
x x x x ut
j - = -j y - = -y Ю =
x x x x ut
j - =j y - =y Ю =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, 0, 0;
, 0, 0.
x
37
2. Пусть ϕ(x) = 0, ψ(x) = 0. Тогда из нечетности функции f(x,t) по
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
11
xxxx
мм
j> y>
пп
j==y==
нн
пп
оо
( ) ( )
переменной x, следует, что u(0,t) = 0, а четности – u
, , 0, 0;
f xt f xt u t
- =- Ю =
, , 0, 0.
f xt f xt u t
-= Ю =
( ) ( ) ( )
x
(0,t) = 0.
x
Доказательство утверждений следует из свойств определенного
интеграла для нечетных функций и свойства нечетности производной от четной функции. Используя эти утверждения, можно построить решения задачи для волнового уравнения на полупрямой
для однородных краевых условий первого и второго рода.
Теорема 8.1. (Метод продолжения). Решение задачи с однородным краевым условием первого рода
2
м
= + >>
u au f xt x t
tt x x
п
п
,0 , ,0 , 0,
ux xux xx
н
=j =y
( ) ( ) ( ) ( )
, , 0, 0,
t
і
п
п
0, 0, 0
ut t
=
( )
о
>
получается по формуле Даламбера (7.6), если вместо функций ϕ, ψ, f
в формуле (7.6) взять их нечетные продолжения по переменной х на
всю числовую прямую
, 0, , 0,
xx xx
( ) 0, 0, ( ) 0, 0,
, 0, , 0,
xx xx
-j - < -y - <
( )
( , ) 0, 0,
f xt x
1
x at x at
j++j-
11
,
u xt d
= + y z z+
( )
1
+ t zt z
2
a
. 0
м
, , 0,
f xt x
( )
п
==
н
п
-- <
f xt x
( )
о
22
x at
+ -t
()
t
d fd
тт
x at
- -t
0
( )
, ,
,.
( )
1
>
x at
1
a
x at
38
+
т
-
( )
( )
1
(8.1)
Теорема 8.2. (Метод продолжения)
( )
( )
( )
22
xx
мм
пп
нн
пп
оо
( ) ( )
( )
( )
yі
Решение задачи с однородным краевым условием второго рода
2
м
= + >>
u au f xt x t
tt xx
п
п
ux xux xx
н
=j
,0 , ,0 , 0,
( ) ( ) ( ) ( )
, , 0, 0,
=y і
t
п
о
=>
0, 0, 0
ut t
п
( )
x
получается по формуле Даламбера (8.2), где ϕ, ψ, f2 – четные продолжения функций ϕ, ψ, f по переменной х на всю числовую прямую
, 0, , 0,
xx xx
j= y=
jі yі
( ) ( )
-j - < -y - <
, 0, , 0,
xx xx
( )
( )
f xt
2
x at x at
j++j-
22
,
u xt d
= + y z z+
( )
+ t zt z
н
-- <
, , 0.
f xt x
( )
п
о
22
x at
+ -t
()
t
1
d fd
тт
2
a
x at
- -t
0
( )
,.
( )
2
м
, , 0,
f xt x
( )
п
=
( ,)
В силу линейности задач решение общей задачи для волнового
уравнения на полупрямой с неоднородными краевыми условиями
первого и второго рода получается из следующих теорем.
Теорема 8.3. Решение задачи
2
м
= + >>
u au f xt x t
tt x x
п
п
ux xux xx
н
=j =y
,0 , ,0 , 0,
( ) ( ) ( ) ( )
, , 0, 0,
t
п
о
( )
=m >
0, ( ), 0
ut tt
п
получается в виде суммы двух решений u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) соответствующих задач
м
п
п
н
2
= + >>
v av f xt x t
tt xx
,0 , ,0 , 0,
vx xvx xx
=j =
( ) ( ) ( ) ( )
, , 0, 0,
t
п
0, 0, 0,
vt t
п
о
=>
( )
і
x at
+
1
a
x at
-
( )
2
т
(8.2)
і
39
wxwxx
м
( )
( )
wxwxx
п
н
п
о
2
w aw x t
tt xx
( ) ( )
0, ( ), 0,
wt tt
( )
, 0, 0,
= >>
,0 0, , 0 0, 0,
= =і
t
=m >
где функция v(x,t) строится формуле Даламбера (8.1) для нечетных
продолжений функций ϕ, ψ, f по переменной х на всю числовую
прямую по теореме 8.1, а функция w(x,t) находится методом характеристик по формуле
і>
0, 0,
x at
м
w xt
,
( )
п
=
н
п
о
-
x at
жц
m- <
зч
a
иш
, .
(8.3)
x at
Теорема 8.4. Решение задачи
2
м
u au f xt x t
= + >>
tt x x
п
,0 , ,0 , 0,
ux xux xx
н
п
u t tt
о
=j =y і
( ) ( ) ( ) ( )
0, ( ), 0,
=n >
( )
x
, , 0, 0,
t
получается в виде суммы двух решений u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) соответствующих задач
2
м
v av f xt x t
= + >>
tt xx
п
,0 , ,0 , 0,
vx xvx xx
=j =y і
( ) ( ) ( ) ( )
н
п
0, 0, 0,
vt t
о
=>
( )
x
м
w aw x t
= >>
tt xx
п
,0 0, , 0 0, 0,
( ) ( )
н
п
0, ( ), 0,
w t tt
( )
x
о
, , 0, 0,
t
2
, 0, 0,
= =і
t
=n >
где функция v(x,t) строится по формуле Даламбера (8.2) для четных
продолжений функций ϕ, ψ, f по переменной х на всю числовую
прямую по теореме 8.2, а функция w(x,t) находится методом характеристик по формуле
40
,
w xt
( )
0, 0,
x at
і>
м
п
x at
-
п
-
=
a
н
п
- tt <
( ) , .
a v d x at
т
п
0
о
(8.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]