Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие

X

0

=

ξ

−−−

−

−−−

−

−−−

−

−−−

−

−−−

−

−−−

−

86243245

912912307230)0( µν−νµ+νµ+νµ+µ−=Ψ

.

Дополнительные граничные условия из дифференциального уравнения цирования применительно к точке

(1.71)

ченным из уравнения ям

ям

(1.70).

удовлетворяет дополнительным граничным условиям, полу

III

(1.68) с

0)0( =Ψ

V

,

0)0( =Ψ

нечётными производными, т.е. услови

VII

,

Для определения коэффициентов

(1.68)

(1.75), (1.73)

определяются

посредством его дифферен

.

Отметим, что соотношение

a

IX

,

(

i

0)0( =Ψ

, а

также услови

6,1=i

)

используются пять

0)0( =Ψ

дополнительных граничных условий, полученных из дифференци ального уравнения

(1.72).

После подстановки

(1.68) с

(1.71) во

чётными производными, а также условие

все эти граничные условия полу чается система шести алгебраических линейных уравнений с шестью неизвестными

a

, из

i

решения которой находим

-

a

1

+µ−

2

−µ−

a

3

+µ−

4

+µ+

a

5

+µ−

a

6

3

−

;221,1101,0

;29,0139,0

;087,0047,0

;02,0011,0

;003,00018,0

−µ⋅+

.002,01013,0

1027,01091,21015,11023,1

10498,01084,51041,210644,2

10296,01025,41092,1102,2

10707,810614,110382,810028,1

1047,11016,31019,11064,2

1014,11026,01087,1109,2

22334558

−µ⋅+µ⋅−µ⋅+µ⋅−=

22334558

−µ⋅−µ⋅+µ⋅−µ⋅=

22334558

−µ⋅+µ⋅−µ⋅+µ⋅−=

22334658

+µ⋅−µ⋅+µ⋅−µ⋅=

22344659

−µ⋅+µ⋅−µ⋅+µ⋅−=

233647510

+µ⋅+µ⋅+µ⋅−µ⋅=

После подстановки найденных значений

a

(

i

ставляется интеграл взвешенной невязки уравнения

31

6,1=i

) в (1.71) со-

(1.68), т. е.

где

6=n; 12−=i

r

−

0125644978564

,

1

=

−

1,313753

1

=

µ

2

=

µ

=

µ

84,60321

4

=

µ

181,99844

=

µ

=

µ

2

π

6=n; 12−=i

r

π

1

2

−

=

i

j

π

(

1



∫



0



ni ,1=

;

n



2

∑



i



cos

i

1

=

π



ξ



2



2

).

n

∑

µ+ξ

i

cos

i

1

=

π



, (1.83)

0

ξ



2



=ξ

dradrad

Вычисляя интегралы в

получаем алгебраическое уравнение шестой степени

(1.83),

относительно собственных чисел

5766

10575998501862,1107414309008,1

10315988328510,310629574546416,3

2

−µ⋅+µ⋅−

−−

−µ+µ− 693488183692,1251248937054,0

.

Уравнение имеет следующие корни

;

5

;

16,733866

588,9887

6

;

.

45,060603

3

;

Собственные функции, которые соответствуют каждому собст венному числу определяются из ем

(1.71),

подставив их в

(1.62),

3345

−µ⋅+µ⋅−

получа

µ

;

-

n

∑

in

1

i

=

cos)()Fo,(

µ=ξΘ

raA µ−ξ

)Fo(exp

. (

iii

)(1.84)

Определить неизвестные коэффициенты невязка начального условия

(1.63) и

требование ортогональности не

вязки к каждой координатной функции, т. е

1

n



∑

∫



1

=

i

0



µ

cos)(

iii

2



cos1

−ξ





2

=ξξ

djraA

.

0

. (

A

(

i

ni ,1=

)

позволяет

;

ni ,1=

(1.85)

Вследствие ортогональности косинусов система уравнений

(1.85)

разделяется, поэтому достаточно решить лишь одно уравнение обще го вида

1

2

ξξ

.

=ξξ

cos

∫∫

0

µ

1

2

cos)( drdraA

iii

0

2

-

)

-

Отсюда находим

32

i

Aµπ=

µ

6=n

135

,0Fo01,

0

≤

0,40,20

1,0

Θ

ξ

0,1

=

ν

i

4

. (

ar

)(

),1;12 niir =−=

(1.86)

По формуле циенты

A

могут быть найдены для любого числа приближений

i

(1.86)

при известных коэффициентах

Результаты расчётов безразмерных температур по формуле для шести приближений ными по методам

[20, 37],

(

) в

сравнении с решениями, получен

представлены на графиках рис

)(iia

коэффи

. (1.79)

. 1.8, 1.9.

Их

анализ позволяет сделать вывод, что в диапазоне чисел Фурье

расхождение результатов составляет не более чем

3%.

Таким образом, на основе использования дополнительных гра ничных условий получено аналитическое решение задачи теплопро водности с переменным по пространственной координате коэффици ентом теплопроводности ты

).

Решение имеет простой и удобный для инженерных приложений

(λ –

экспоненциальная функция координа

-

вид

.

Изложенный выше метод позволяет получать аналитические ре шения при любой зависимости теплофизических свойств от про странственной координаты, в том числе и при одновременном изме нении не только коэффициента теплопроводности, но и других теп лофизических коэффициентов, а также даёт возможность получать решения нелинейных задач теплопроводности

.

1,0

0,8

0,6

0,4

1

0

1

,

0

,

0,05

0

0,1

,13

0

=

o

F

2

1

5

Р и с. 1.8. Графики измене-

ния температуры при

1 – по формуле (1.79) (шестое

:

-

0,2

приближение); 2 – по методу

[20]

0,80,6

33

0,40,20

1,0

Θ

ξ

0,1

=

ν

1)0

(

==Ψ

const

0

=

ξ

1

=

ξ

0

=

ξ

0,8

0,6

1

0

,

0

,

0

0,05

1

,

0

5

3

1

,

0

=

o

F

2

1

Р и с. 1.9. Графики изменения

0,4

температуры при

: 1 –

по формуле (1.79) (шестое

0,2

приближение); 2 – по методу

[37] (шестое приближение)

0,80,6

Найдем приближенное аналитическое решение задачи

(1.70), (1.71)

используя в качестве координатных функций в соотношении

функцию вида

N ξ=ξ)(

i

.

Положив шесть членов ряда

ных коэффициентов

(1.37). В

связи с чем, необходимо добавить еще четыре дополнитель

i

)5,0( =ia

, а

(1.71),

будем иметь шесть неизвест

граничных условий только два

(1.68),

ных граничных условия. Первое из таких условий следует из соотно шений

(1.37) и

записывается в виде

-

. (1.87)

Для нахождения других дополнительных граничных условий будем использовать дифференциальное уравнение это уравнение для точек

дополнительные граничные условия

d

 

ξ

d



Соотношения

(1.88), (1.89) с

Ψ

d

ν−

e

d

ξ

и

22

)1(

 



учетом

µ−=ξΨ22)0( dd

; (1.90)

,

будем иметь следующие два

0)0()0(

=Ψµ+ξΨ dd

; (1.88)

0)1(

=Ψµ+

. (1.89)

(1.70) (1.72)

Ψ

d

ν−

e

ξ

d

ξ

 



Для нахождения еще одного дополнительного условия продиф ференцируем уравнение

ченное соотношение к точке

(1.62)

по переменной

ξ и

(1.68).

Записывая

примут вид

)1(



0

=



. (1.91)



применим полу

-

34

+

0

=

ξ

0,1

=

ν

=

1

=

µ−=

2

4

1

=

ξ

µ−=

µ+−

=

4

µ−=

3

0

=

ξ

1

=

ξ

1

=

µ

2

=

µ

3

d

Ψ

)0()0(

. (1.92)

0

=

3

ξ

2

Ψ

d

2

ν−

2

ξ

d

Соотношение дополнительному граничному условию

Подставляя

(1.87), (1.90), (1.91), (1.93)

вестных коэффициентов раических линейных уравнений. При любом конкретном

этих уравнений разделяется

(1.92) с

(1.71) в

учетом

(1.90)

приводится к следующему

33

dd

основные

µν−=ξΨ 2)0(

. (1.93)

(1.70), (1.72) и

дополнительные

граничные условия, относительно неиз

)5,0( =ia

i

будем иметь систему шести алгеб

ν

система

.

Во все уравнения, составленные из граничных условий (основ ных или дополнительных) при

,

входит лишь один неизвестный

коэффициент. Неизвестные коэффициенты, определяемые из этих уравнений

(

например, при

Оставшиеся три коэффициента

и

a

),

будут

a

,

a

3

1

;

a

находятся из решения

a

0

5

;

0

a

5,0

системы трех алгебраических линейных уравнений, составленных из граничных условий при

(

условия

(1.71), (1.89), (1.91). Из

реше

-

.

-

ния этой системы уравнений находим

3/

,

a

(1.71) с

)5,0( =ia

принимает вид

1,6432,143

учетом найденных значений коэффициен

тов

a

3

Соотношение

i

,

a

5

0,81,1431

.

1

)81,0143,1()643,1143,2(

Для это

(1.62) и

Найдем интеграл взвешенной невязки уравнения го подставим

5,01),( ξµ−+ξµ+−µξ−µξ−=ξµΨ

(1.71) (

(1.62).

ограничиваясь шестью членами ряда) в

найдем интеграл от полученного соотношения по переменной пределах от

до

1



d



d

ξ

e

 

∫



0



νξ−

, т.е.

d

ξ

d

)(

ξΨ

 



 

d

=ξ

. (1.94)

ξΨµ+

0)(



После определения интегралов для нахождения собственных чи сел получаем следующее характеристическое уравнение

2

041731,0511931076690,954623490,207

=−µ+µ−

. (1.95)

-

543

.

-

ξ в

-

Его решение

Подставляя

1,183893

;

(1.69), (1.71) в (1.66),

35

15,757312

. (1.96)

для каждого собственного чис

-

ла будем иметь частные решения вида

)2,1(

=

k

)2,1(

=

k

1

=

2

−

=

)2,1(

=

k

0,1

=

ν

135

,

0=Fo

05,0=Fo

0=m

)0,1(

=

ν

1

=

µ

2

=

µ

1

=

µ

2

=

µ

0=m

0,205,

0

≤

Fo

5

∑

aFoAFo ξµµ−=ξΘ

ikkk

i

=

0

i

)()exp(),(

.

k

(1.97)

Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным усло виям уравнению

не удовлетворяют начальному условию

(1.70) и

(1.62).

приближенно (во втором приближении) удовлетворяет

Однако ни одно из них, в том числе и их сумма

2

∑

k

=

0

kk

5

∑

aFoAFo ξµµ−=ξΘ

i

=

0

i

)()exp(),(

, (1.98)

k

(1.63).

Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции т.е

.

1



∫





0

1



∫





0

Определяя интегралы в фициентов

5

∑

i

=

0

i

5

∑

i

=

0

i

5

∑

211

i

=

0

i

5

∑

i

=

0

i

2

i

2

(1.99),

5



∑

−ξµ+ξµ



 

−ξµ+ξµ





i

=

0

i

5

∑

i

=

0

i

daaAaA

1

i

daaAaA

2



=ξξµ

;0)(1)()(



, (1.99)

 

=ξξµ

.0)(1)()(





относительно неизвестных коэф

-

,

-

A

k

уравнений

A

,

0,382526

После определения коэффициентов

(1.62) – (1.32) во

ты расчетов температур по формуле

)

даны на рис

при

Если положить

получаем систему двух алгебраических линейных

из

решения

которой

находим

A

1,244660

.

A

k

втором приближении находится из

(1.98) в

. 1.10.

до 11%

Расхождение результатов составляет от

при

.

, то

задача

сравнении с

(1.62) – (1.32)

решение задачи

(1.98).

Результа

[20] (

при

3%

приво

дится к задаче с постоянными физическими свойствами среды, точ ное решение которой известно дующие

ных чисел по формуле

(1.98)

собственные

05839920322,0744812

.

4674011003,2

для

[26]. В

числа

этом случае получены сле

962,47097333

Точные значения первых двух собствен

;

в

сравнении с точным решением

2066099,22

.

Результаты расчетов

[26]

-

;

-

приведены на рис

не

превышает

. 2.

Расхождение результатов в диапазоне

2% . С

уменьшением числа Фурье рас

36

-

хождение результатов возрастает

)

(

ξ

Ψ

1

=

µ

2

=

µ

1

2

1

=

2

−

=

)2,1(

=

i

0

=

ξ

.

Для уточнения решения составим невязку уравнения

требуем ортогональности невязки к собственной функции

1



d



d

ξ

e

 

∫



0



d

νξ−

d

ξ

)(

ξΨ

 





ξΨµ+



d

=ξξΨ



(1.62) и по-

0)()(

.

, т.е.

Определяя интегралы, для нахождения собственных чисел полу

чаем следующие характеристическое уравнение

233-

051,7857142890,96446608104779942,010,2922077920

=−µ+µ−µ⋅

. (1.100)

Его решение Ввиду того что уравнение Штурма

ряется лишь при некоторых дискретных значениях значениях, образующих спектр

),

;

882,46740595

–

Лиувилля

(1.62)

µ (

.

55722,2684447

удовлетво

собственных

остальные корни уравнения следует отбросить, как неудовлетворяющие этому уравнению (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой

).

Как видно, требование ортогональности невязки к собственной

-

функции приводит к существенному уточнению собственных чисел

Коэффициенты

A

6573191,25299717

Результаты расчетов по формуле

ненных значений собственных чисел и коэффициентов приведены на рис

;

A

. 1.10, 1.11.

и

A

в

20573040,40191210

(1.98) с

данном

случае

.

использованием уточ

A

i

.

будут

Повышение точности решения связано с увеличением числа

членов ряда

(1.71),

для определения неизвестных коэффициентов ко торого необходимо привлекать дополнительные граничные условия Для их получения путем многократного дифференцирования уравне ния

(1.62) по

нительных граничных условий, применительно к точке получать следующие дополнительные граничные условия

IV

VII

3 µ+µ−=Ψ v

переменной

22

;

V

12726 µ−µ+µ−=Ψ vvv

Ψ и

3235

;

использования уже имеющихся допол

будем

64 µ+µ−=Ψ vv

VIII

23

;

VI

235 µ−µ+µ−=Ψ vv

862017 µ+µ−µ+µ−=Ψ vvv

3224

;

432246

-

.

-

;

IX

X

204805228 µ+µ−µ+µ−=Ψ vvvv

433257

;

230230712919 µ−µ+µ−µ+µ−=Ψ vvvv

54234268

;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XXII

37

00209129160310482373301782581521 vvvv

41431621820

−µ+µ−µ+µ−=Ψ

.

(

)

0

=

ξ

1

=

ξ

(

)

1=ν

1

=

µ

2

=

µ

=

µ

4

=

µ

178,07108

=

µ

=

µ

0=ν

1

=

µ

2

=

µ

=

µ

4

=

µ

=

µ

=

µ

1=ν

0=ν

1

=

2

−

=

161551

=

4

−

=

−

=

−

1

=

2

−

=

4

−

=

−

1,0

0005

,

0

≤

Fo

0,1

=

ν

0=ν

558271604558271604044699403747

vvv

61086512

−µ−µ+µ−

(1.101)

6435405777912033348725

102119478

µ+µ−µ−µ−

vvv

Подставляя

(1.90), (1.91), (1.93), (1.101)

вестных коэффициентов

(1.71) в

основные

(1.37) и

дополнительные

граничные условия, относительно неиз

24,0=ia

i

получаем

25

алгебраических ли

(1.87),

нейных уравнений. При этом во всех уравнениях, составленных из граничных условий при

,

неизвестные разделяются и поэтому

каждое из них находится из решения лишь одного уравнения. Отно сительно трех оставшихся неизвестных необходимо решать систему трех алгебраических линейных уравнений, составленных из гранич ных условий для точки

Подставляя

коэффициентов

(1.71) с

k

ственных чисел получаем алгебраическое уравнение Его решение при

1,192363

71,5654719

.

учетом найденных значений неизвестных

24,0=ka

в

соотношение

(1.94),

относительно соб

11- ой

6470636,3728096

. (1.102)

;

3

445,9344

6

12,920252

5

степени

;

-

.

При

;

0272,46740110

120,9505

;

176,0548

5

022,2066099

;

61,685027

3

237,5132

6

;

. (1.103)

Остальные корни характеристического уравнения следует от

бросить как не удовлетворяющие уравнению

и

335422,0

⋅−=A

A

k

соответственно будут

A

;

3

2

104239,0

;

4305006,0

;

6

(1.98)

Значения коэффициентов

ного условия

223200,1

012863,0

1,242755

128218,0

A

5

A

Результаты расчетов по формуле

(1.69),

;

6

4;

A

;

5

для

A

027483,0

(1.62).

)6,1(=k

,

определяемых из началь

,0

⋅−=A

даны на рис

;

A

3

7

101402,0

.

052906,0

237522,0

. 1.12, 1.13.

Их анализ позволяете заключить о значительном увеличении точно сти решений

.

И

,

в частности

,

в диапазоне чисел Фурье

-

;

-

[20]

полученное решение отличается от приведенного в

не боле чем на

3% (

при

38

).

При

в

диапазоне чисел Фу

-

рье

0,2

005

,

0

≤

Fo

Θ

ξ

−

1

=

)0,1(

=

ν

Θ

ξ

−

1

)0(

=

ν

Θ

ξ

−

1

0,1

=

ν

решение практически совпадает с точным

[26].

Отметим, что для столь малых значений числа Фурье в точном реше нии было использовано

1,0

0,001

0,01

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,1

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,1 0,2 0,3 0,4

5

0

,

1

0

,

0

0,001

0,2 0,3

1

,0

0

5

0

,

0

0,01

0

0,05

0,1

1

2

0,4

0

,

0

1

,

2

1000

135,0

Fo

0,5 0,6 0,8

5

1

,

0

5

3

1

,

0

3

0,6 0,7 0,8

0,5

1

членов ряда

.

Рис. 1.10. Графики изменения температуры

. 1 – по методу [20]; 2 – по

формуле (1.98) (второе приближение без ортогональности невязки)

Рис. 1.11. Графики изме-

2

1

нения температуры

.

1 – точное решение [26]; – по формуле (1.79) (шес-

тое приближение без ортогональности невязки);

3 – по формуле (1.79) (шестое приближение с

ортогональностью невязки).

1,0

Рис. 1.12 Графики изменения температуры при

. 1 – по методу [20]; 2 – по формуле

(1.79) (шестое приближение с ортогональностью невязки).

-

0

0,1

0,2 0,3

0,4

0,5 0,7

39

Θ

ξ

−

1

,

0

=

F

o

0=ν

x

∂

0Fo>

<

2,1=i

=

2

=

Θ

1

=∂Θ

∂

121

1

Θ=Θ

∂Θ∂λ=∂Θ∂λ

12211

1

0

5

,

0

,

1

0

,

0

,05

0

Рис. 1.13 Графики изменения температуры при

шение [26]; 2 – по формуле (1.79) (шестое приближение с ортогональностью невязки).

. 1 – точное ре-

1.3. Задачи теплопроводности для многослойных конструкций

Точные аналитические решения нестационарных задач теплопро вовдности для многослойных конструкций в настоящее время не по лучены. Это связано с тем, что выполнение условий сопряжеия при водит к необходимости решения характеристической системы в виде цепочного трансцендетнтного уравнения относительно сосбственных чисел краевой задачи, нахождение решения котрого возможно лишь численными методами

.

Рассмотрим применение рассмотренного выше метода с исполь зованием дополнительных граничных условий к решению задачи те плопроводности для двухслойной бесконечно-протяженной пластины при граничных условиях становке

Θ∂

∂

Fo

3-го

)Fo,(

=

рода в следующей математической по

2

ax

Θ∂

iii

a

)Fo,(

x

2

; (1.104)

-

1

(

x

i

;

1)0,(

; (1.105)

−

1

xxx

;

ii

;

xx

0

x

0

x

)Fo,()Fo,(

; (1.107)

)Fo,()Fo,(

40

x

;

0)Fo,0(

; (1.106)

xxxx

; (1.108)

)