Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
ными методами. Отсутствие возможности явного выражения величи-
(
)
τ
(
)
(
)
τ
с,05,
0
≥
τ
1
=
δ
2
=
δ
1
−
2
−
1
=
λ
К);
Вт/(м
⋅
2
⋅=λ
1
⋅
=
1
;
2
λ=λ=λ
2
1
=
=
2
1
)
(τq
q
ны
создает определенные неудобства как в расчетах перемеще-
ния фронта температурного возмущения, так и температурного состояния конструкции. Для получения приближенного аналитического
решения уравнения (2.124) воспользуемся методом решения нелинейных уравнений, приведенным в [27, 50], согласно которому находим
7,0
.00048,0
τ=τq
(2.125)
Результаты расчетов
на рис. 2.7. Их анализ позволяет заключить, что при
q
по соотношениям (2.124), (2.125) даны
они
практически совпадают. Следовательно формула (2.125) с достаточной точностью может быть использована как аналитическое решение
уравнения (2.124).
Соотношения (2.118), (2.123) представляют решение задачи
(2.111) – (2.114) в первом приближении.
Найдем решение конкретной задачи для двухслойной пластины
(сталь – титан) при следующих исходных данных [5]:
м
;002,0
24,45
7900=ρ
кг/м
м
;004,0
3
Соотношение (2.123) при
К
кг/м
;
26
/
см
;
a
);
C
3
.
462
(2.126)
106
⋅=
Дж/(кг
ССС
(однослойная
a
24,16
=ρ
105,12
⋅=
Вт/(м
5136
26
/
см
;
К);
пластина) приводится к следующему квадратному уравнению относительно неизвестной функции
τ=τλ 12)(C2q
.
Принимая из решения последнего уравнения положительный корень (величина фронта температурного возмущения по физическому
смыслу не может быть отрицательной), находим
. (2.127)
)/(12)( Cq λτ=τ
Время окончания первой стадии процесса согласно соотношению
(2.106) будет наблюдаться при
91
( ) ( )
δ
δ
δ
221
−δ+δ=
δ
2
1
ρ
=
c
C
1
)Fo(
q
/Foδτ=
a
)
/(
ρλ=
c
a
1
/
=δ=
ξ
x
(
)
1
=
τ
−
ξ
(
)
1
=
τ
1
1
1
1
=
=
−
τ
1
=
1
=
1
λ
+
λ
==τ=τ
zqq
21
, (2.128)
=
λ
где
толщина однослойной пластины.
Подставляя (2.128) в (2.127), будем иметь
. (2.129)
)/(12/
Cλτ=λδ
1
Учитывая, что
, из (2.129) находим
2
)12/(
λρδ=τ c
. (2.130)
В работе [27] применительно к однослойной пластине для
получена формула
Fo12)Fo( =q
, где
2
;
. Отсю-
да находим
2
. (2.131)
)/(12)(
ρδλτ=τ cq
Время окончания первой стадии процесса согласно [27, 28, 30,
50] будет наблюдаться при
, то есть при
q
1
, где
безразмерная пространственная переменная. Соотношение (2.131)
при
q
1
принимает вид
2
1
. (2.132)
1)/(12
=ρδλτ c
Отсюда
2
)12/(
λρδ=τ c
. (2.133)
Соотношения (2.130) и (2.133) совпадают. Следовательно, соотношение (2.133) для однослойной пластины приводится к известному
решению, полученному в первом приближении путем использования
интегрального метода теплового баланса. Положив в формуле (2.133)
2
a/Fo
δ=τ
, получаем
.08333,012/1Fo
Результаты расчетов перемещения фронта температурного возмущения по координатам z и x, выполненных для двухслойной пластины по формуле (2.124), даны на рис. 2.6, 2.7. Значения безразмерных температур, найденных по формуле (2.118) в переменных z и x
представлены на рис. 2.8, 2.9, где
*
температурного возмущения координаты
92
время достижения фронтом
zz
или
xx
.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие
(
)
τ
(
)
τ
Θ
dx
zzdx
z
∂
τΘ∂
∂
τΘ∂
,
x
τΘ∂
τΘ∂
))(/(1x
λ
1
λ=λ
2
λ=λ
121
1
∂τ∂=∂τ∂
(
)
τ
(
)
τ
Θ
0=z
τ
),(
Θτz
(
)
τ
=
заключения. На графиках рис. 2.6, 2.8 отсутствует излом кривых
и
место. Это связано с тем, что соотношение для равенства тепловых
потоков в переменной z для двухслойного тела согласно (2.108) имеет вид
отношение (2.134) с учетом (2.107) можно переписать в виде
относится к разным слоям и следовательно, согласно соотношению
,z
, тогда как для этих же функций в переменной x излом имеет
z )(),()(),(
λ
1
Учитывая тот факт, что переменная z является функцией
λ
1
В правой и левой части соотношения (2.135) величина
xzd
111
λ=
2
z
11
1),(
λ∂
λ=
)(
xz
2
xzd
112
. (2.134)
z
12
1),(
(2.135)
.
)(
xz
λ∂
q
со-
(2.132) для левой части
сюда (2.135) в переменной z принимает вид
Θ
Полученным соотношением подтверждается факт отсутствия излома в кривых
Для повышения точности решения необходимо увеличивать степень аппроксимирующего полинома (2.117). Появляющиеся при этом
неизвестные коэффициенты
(2.115), (2.116) и дополнительных граничных условий. Для их определения используется уравнение (2.111) и граничные условия (2.113),
(2.115), (2.116). И, в частности, дифференцируя граничное условие
(2.113) по переменной τ и сравнивая полученное соотношение с
уравнением (2.111), применительно к точке
q
и
x
)/,(
,z
, определяемых в переменной z.
/1)(/1
, а для правой
Θ
b
находятся из основных (2.113),
k
.)/,(
zzzz
(2.136)
находим первое до-
x
/1)(/1
. От-
полнительное граничное условие
22
0)/,0(Θ
=∂τ∂ z
. (2.137)
Продифференцируем соотношение (2.115) по переменной
как из (2.115) требуется находить
в точке
93
qz
. Так
, то z являет-
ся функцией τ, и, следовательно,
),(
Θτz
0)/,(Θ
=τ∂τ∂
q
(
)
τ
=
(
)
(
)
τ
=
0=z
(
)
τ
=
≤τ≤
≤
≤
гда
будет сложной функцией. То-
∂ ),(),(
( )
[ ]
z
,
τ∂
=
=τΘ
qz
dz
z
τΘ∂
z
d
τ∂
+
z
τΘ∂
. (2.138)
τ∂
qzqz
==
Соотношение (2.138) с учетом (2.116) будет
. (2.139)
Сравнивая (2.139) с уравнением (2.112), применительно к точке
qz
получаем второе дополнительное граничное условие
22
0)/,(Θ
=∂τ∂ zq
. (2.140)
Продифференцируем граничное условие (2.116) по переменной τ
с учетом того, что переменная z является функцией τ
∂ ),(),(),(
τ∂
2
z
τΘ∂
z
∂
=
=
qz
z
τΘ∂
2
z
∂
dz
d
τ
+
2
z
z
τΘ∂
τ∂∂
. (2.141)
qzqz
==
Соотношение (2.141) с учетом (2.140) приводится к виду
2
0)/,(Θ
=τ∂∂τ∂ zq
. (2.142)
Продифференцируем уравнение (2.112) по переменной z и при-
+
qz
3
∂
qzqz
==
λ
zzC
),(1),(1),(
q
τΘ∂
.
3
z
меним полученное соотношение к точке
2
q
=
∂
.
( ) ( ) ( ) ( )
τΘ∂
τ∂∂
zzCzz
λ∂
2
q
τΘ∂
2
z
∂
(2.143)
Сравнивая (2.142), (2.143), с учетом (2.140) находим третье дополнительное граничное условие
33
0)/,(Θ
=∂τ∂ zq
. (2.144)
Физический смысл дополнительных граничных условий состоит
в выполнении уравнения (2.111) и производных от него различного
порядка в точке
и на фронте температурного возмущения
.
qz
ввиду того, что диапазон перемещения фронта температур-
ного возмущения
)(0
странственной переменной
zq
включает всю область изменения про-
n
0
zz
, то, следовательно, чем большее
n
94
число дополнительных граничных условий будет использовано, тем
(
)
(
)
(
)
(
)
τ
(
(
)
=
лучше будет выполняться (2.111) внутри рассматриваемой области.
Причем, точность выполнения уравнения внутри области полностью определяется количеством дополнительных граничных условий,
от которого, в свою очередь, зависит число членов аппроксимирующего полинома (число приближений).
Основные (2.113), (2.115), (2.116) и дополнительные (2.137),
(2.140), (2.144) граничные условия позволяют найти уже шесть коэффициентов ряда (2.117). Подставляя (2.117) в перечисленные граничные условия, относительно неизвестных коэффициентов
5 ,0=kqb
k
получаем систему шести алгебраических линейных
уравнений. После определения коэффициентов
qb
и подстановки
k
их в соотношение (2.117) получаем
4
−
z
. (2.145)
q
z
+=τΘ
z
15,11),(
q
Подставляя (2.145) в интеграл теплового баланса (2.120), относительно неизвестной функции
q
будем иметь следующее обыкно-
венное дифференциальное уравнение
−
1
z
q
n
∑
( )
=
1
i
5
3
z
iii
51615
+−+
q
4
++
1111
6
( )
zqH
i
2
5
q
32
+−λ−λ+λ
5
zqCCCq
iiiii
0
=−−
.
dq
d
1
2
2
4
q
4
z
2
q
τ
Интегрируя последнее уравнение, при начальном условии
q
− 20
15
(2.146)
00
находим
z
2
z
i
i
q
−
n
2
2
32
3
2
z
i
+
1
∑
( )
=
i
1
3
z
i
q
5
−
z
2
+−
1111
z
2
i
i
q
95
iiii
4
35
+
6
zqCCCq ln10
2
q
22
i
( )
−−λ−λ+λ
z
i
zqHz
ii
τ=−
.
Например, для двухслойной пластины соотношение (2.146) при-
2
=
1
1
τ=τ
Вт
τ
(
)
τ
(
)
(
)
τ
с,05,
0
≥
τ
нимает вид
z
2
− 20
15
1
z
1
q
(2.147)
Полагая
дии процесса
2
+
3,0
z·104,
2
Км /
2,0
2
( )
2
112211
zqCCCq
3
5
2
2
z
1
32
zq
z
2
1
3
z
1
q
−
, из (2.147) находим время окончания первой ста-
.
4
z
1
q
35
+
2
1
6
2
ln10
1
q
−−λ−λ+λ
z
1
( )
zqHz
1
τ=−
.
2
1,5
1,0
0,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,484
Р и с. 2.6. Перемещение фронта температурного возмущения
по координате z во времени. 1 – по формуле (2.124); 2 – по формуле
(2.147); – по формуле (2.125); – по формуле (2.148)
1
?
1
, с
Используя методы [50, 27], находим приближенное аналитическое решение уравнения (2.147)
q
7,0
.00061,0
τ=τq
(2.148)
q
Результаты расчетов
по соотношению (2.147) и по формуле
(2.148) даны на рис. 2.6, из которых следует, что при
96
они
практически совпадают.
(
)
τ
q
(
)
τ
q
(
)
τ
Θ
036
92124
30
0
,
8,0
6,0
4,0
2,0
с
5
=
⋅
z
На рис. 2.6, 2.7 представлены кривые перемещения фронта температурного возмущения по координатам x и z во времени τ, найденные по соотношениям (2.125) и (2.148).
Р и с. 2.7. Перемещение фронта температурного возмущения
q
по координате x во времени. 1 – по формуле (2.125) (первое
приближение); 2 – по формуле (2.148) (второе приближение)
5
97
Р и с. 2.8. Распределение температуры в двухслойной
Θ
∞<τ≤τ
1
δ===≤≤>
τ
=
1
=∂τ
∂
=τδ
τ=τ
∂τ∂λ=∂τ∂λ
−
−
i
−
x
−
τ
−δδ
2
1
−δ+δ=
δ
2
1
−
λ
−
i
−
−
пластине в переменной z. По формуле (2.118) (первое
приближение)
1,0
8,0
6,0
4,0
2,0
0
4,0 8,0 2,1
6,1
5,2
0,2
5,3
0,3
0,4
5,4
0,6
мх ,103⋅
Р и с. 2.9. Распределение температуры в двухслойной
пластине в переменной х. по формуле (2.118) (первое
приближение); по формуле (2.145) (второе приближение)
Математическая постановка задачи для второй стадии процесса
имеет вид (рассматриваем двухслойную конструкцию (см.
рис. 2.10))
22
;/),(/),(
xxTaxT
∂τ∂=τ∂τ∂
iii
−
;)0,(
TxT
i
TT
2
ст
0
;),(
(2.152)
ii
(2.150)
(2.149)
xxixxx
201
xT
xTxT
1
+
iiii
);0;2,1;;0(
;0/),0(
(2.151)
);,(),(
(2.153)
где
T
температура
i
толщины слоев;
мы;
ности
a,
коэффициенты теплопроводности и температуропровод-
ii
го слоя;
го слоя;
суммарная толщина двухслойной систе-
T
начальная температура;
0
98
11
iiiiii
++
координата;
T
ст
,/),(/),(
xxTxxT
(2.154)
время;
,
температура стен-
ки при
δ=x
−−=
Θ
δ=ξ
2
=ξ=ξ=ξ≤ξ≤ξ>
=ξΘ
1
=ξ∂Θ∂
2
=
Θ
ξΘ=ξΘ
ξ∂ξΘ∂λ=ξ∂ξΘ∂λ
−
a
2
=
.
Введем следующие безразмерные переменные
);/()(
TTTT
ст
ст
i
0
;/
x
ii
2
./Fo
δτ= a
(2.155)
С учетом обозначений (2.155) задача (2.149) – (2.154) принимает
вид
i
где
i
a
a
2
i
ii
;0/)Fo,0(
(2.158)
1 iiii
+
ξΘ∂
iii
ξ∂
11
++
;1)0,(
(2.157)
∂
ξΘ∂
Fo
−
)Fo,(
=
наименьший из коэффициентов температуропроводности
)2,1(=ia
aa
)).126.2(см.,(
T
)Fo,(
(2.156)
2
;
);Fo,()Fo,(
,/)Fo,(/)Fo,(
iiiiii
(2.161)
201
0)Fo,1(
)1;0;2,1;;0Fo(
; (2.159)
(2.160)
T
1
λ
1
а
1
δ
1
x
1
0
T
2
λ
2
а
2
δ
2
x
2
x
Р и с. 2.10. Расчетная схема двухслойной
конструкции
Решение задачи (2.156) – (2.161), следуя ортогональному методу
Л. В. Канторовича, принимается в виде
n
∑
1
=
k
99
kiki
=ξϕ=ξΘ
if
(2.162)
)2,1(,)()Fo()Fo,(
где
−
−ξϕ
11
ξ
ϕ
12
ξ
ϕ
(
)
=
−
Fo;
−
ϕ
′′ϕ′′
12
11
()(
)
ξϕξ
ϕ
12
11
1
1
=ν−
1
2
µµ=
ν
ξ
2
ξ
)Fo(kf
неизвестные функции;
ki
)(
координатные функции.
В качестве координатных принимаются следующие функции [34]
λ
λ
2
1
1
λ
λ
2
kk
2
2
k
1
2
−ξ
2
k
=ξ−=ξϕξ
),1(.1)(;11)(
nk
(2.163)
1
k
−−=ξϕ
Соотношение (2.162) при использовании в качестве координатных функций соотношений вида (2.163) точно удовлетворяет граничным условиям (2.158), (2.159) и условиям сопряжения (2.160), (2.161)
в любом приближении.
Для получения решении задачи (2.156) – (2.161) в первом приближении, ограничиваясь одним членом ряда (2.162), составляется
невязка дифференциального уравнения (2.156) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям первого приближения
)(
и
ξ
2
i
∂
f
∑
∫
1
=
i
ξ
1
−
i
1
∂
Fo
)(
a
a
2
1
2
ξ∂
)Fo(
−ξϕ
i
f
)Fo()(
11
)(
ξϕ∂
ii
2
d
1
i
.0)(
=ξξϕ
i
2,1
(2.164)
Подставляя (2.162) в (2.164), находим
ξ
11
a
1
a
2
′′
∫
0
)Fo(1f
по переменной
,
1
+ξϕϕ
∫∫
0
по пере-
где
ξ
0
)Fo('1f
первая производная от функции
,
вторые производные от функций
1
∫
ξ
1
121211111
−
ξϕϕ+ξϕϕ
fddf
1
менной ξ.
Последнее соотношение относительно неизвестной функции
)Fo(1f
представляет следующее обыкновенное дифференциальное
уравнение
,0)Fo(Fo/)Fo(
(2.165)
ξϕϕ+ξϕϕ=µ dd
121211111
1
′′
+ξϕϕ
∫
0
.
ξϕϕ
12121111
где
fddf
1
;/
;
∫
0
a
1
=µ dd
2
a
1
∫
ξ
1
1
′′
∫
0
′′
ξϕϕ
dd
12121111
=
,0)Fo()Fo('
Уравнение (2.165) для исходных данных (2.126), принимает вид
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]