Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
В соотношения
ε
ε
1
1
const
=
ν
()()(
)
==α
=
(
)
dr
1
=
2
=
2
1
ν+=
ξ
(
)
Φ
(
)
ϕ
(3.7)
вместо деформаций
,
r
подставим их
Θ
значения, определяемые формулами
dUE
=σ T
r
=σ
Θ
Продифференцируем
σ
d
r
=
dr
1
ν
+
1
ν−
Подставляя
2
Ud α
2
(3.7), (3.10) в (3.1),
dE
++
E
2
ν−
dE
dr
r
dU
rdr
2
dr
ν−
UE
2
r
ν−
(3.8) по r,
2
UdE
1
+
dr
−
+
1
E
22
r
dE
ν
Erdr
−
22
ν−
1
(3.3)
U
( )
1
r
dU
dr
( )
1
считая, что
;;
U
E
ν+
r
dE
TU
dr
( )
dE
dr
11
ν−
получим
1111
−
rdr
1
αν+−ν+
; (3.8)
αν+−ν+
. (3.9)
T
rfTrfrfE
.
321
du
+
dr
(3.10)
( )
α
Td
dr
.
TEd
. (3.11)
+α
E
dr
1
ν+=
E
Найдем решение уравнения
(3.11)
для тонкого круглого диска с
центральным отверстием. Граничными условиями в данном случае
будут условия отсутствия напряжений при
rr
и
получим, потребовав равенства нулю на границах соотношения
т.е
.
dU
dr
где
диусы диска
.
,;1
Приближенное решение задачи
нова–Галеркина, разыскивается в виде
U
r
rr
–
соответственно внутренний и наружный ра
ξα−ν+
=
rr
i
( )
iT
2,1,0 ==
(3.11), (3.12),
n
( ) ( )
∑
ϕ+Φ=
rarU
, (3.13)
=
k
1
kkn
rr
.
Эти условия
(3.8),
(3.12)
следуя методу Буб
-
-
где функция
ловиям
(3.12), а
r
удовлетворяет неоднородным граничным ус
функция
-
r
–
k
соответствующим однородным гра
121
-
ничным условиям (при
0
=
ξα
T
(
)
Φ
(
)
+=Φ
()()()(
)
[
]
(
)
2111222
1
−νξα−ξα
=
ν
1
(
)
1
ϕ
(
)
111
1
1
()(
)
=
ϕ
()()(
)
(
)
−
(
)
).
Функция
полинома
r
принимается в виде следующего алгебраического
BrAr
,
где
А, В –
неизвестные постоянные, опреде
ляемые из неоднородных граничных условий
нахождения будут иметь вид
Функция
,
DC
–
условий
постоянные, которые находятся из однородных граничных
(3.12).
r
принимается в виде
Формулы для их определения имеют вид
( )
rDC
111
( ) ( )
ν
+ν+−=
r
1
A
−α=
rTrB
11
. (3.15)
ξ
r
D
=ξ
1
;2
rr
(3.12).
rrrTrrTrrrA
ν
( )
ν+
2
21
-
Формулы для их
; (3.14)
1 rDrCr ++=ϕ
2
,
где
. (3.16)
nkr
,,3,2,
Функции
k
k
Эти функции и их производные обращаются в нуль на границах
Соотношение
(3.13) с
неизвестных коэффициентов
ничным условиям
(3.12).
наилучшим образом удовлетворялось уравнение
K
2
1
учетом
определяются по общей формуле
−−=ϕ
k
rrrrr
2
(3.14) – (3.17)
k
=
Коэффициенты
12
. (3.17)
при любых значениях
nka
,1,
точно удовлетворяет гра
a
определяются так, чтобы
k
(3.11).
Для этого со
.
ставляется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем
координатным функциям. Отсюда для определения коэффициентов
a
получается следующая система алгебраических линейных уравне
k
ний
r
r
+
2
2
d
Φ
∫
2
dr
1
ν
Er
+
dE
n
∑
k
=
−
2
d
ϕ
dr
k
+
2
a
k
dE
E
+
d
11
rdr
Φ
dr
+
n
∑
k
=
d
ϕ
a
11
k
+
dr
k
11
rdr
n
∑
a
1
k
=
−
ϕ+Φ
kk
E
( )
TEd
αξ
dr
j
( )
njdr
,1.0
==ϕ
-
-
-
После нахождения
a
решение поставленной задачи в замкнутом
k
122
виде определяется из
(
)
(
)
(
)
(
)
+
(
)
(
)
212
1
1
(
)
0
=
ξα
T
ν
+
ν
)(r
U
)(r
E
)(r
α
)(r
T
1
=
2
=
(3.13).
По известным перемещениям напряже
-
ния находятся по формулам
В качестве координатных функций
использовать функции, удовлетворяющие однородным граничным
условиям
ближениях. Такие функции, в частности, можно избрать следующим
образом
Общие формулы для определения коэффициентов
вид
Формулы для постоянных
(3.12) не
C
−=
k
ν
k
( )
kr
только в первом, но и во всех последующих при
−
ν+
(3.8), (3.9).
kr
D
k
nkr
,1,
k
k
kk
1
+ν+
ν+
k
1
k
;
kk
D
=
kk
=
=ϕ
=++=ϕ
kk
( )( )
nkDC
,1,,
можно также
nkrDrCr
,1.1
найдены методом
DC ,
kk
−ν
rr
211
krrrr
имеют
kk
1
+ν+−
.
-
неопределенных коэффициентов так, чтобы удовлетворялись одно
родные граничные условия
Рассмотрим задачу термоупругости для длинного полого цилин
дра в случае его плоской деформации, обусловленной плоским осе
симметричным температурным полем. Математическая постановка
задачи относительно искомой функции перемещения с переменными
по радиальной координате физическими свойствами среды в данном
случае имеет вид
d
dr
где
–
dU
Er
радиальное перемещение
dr
( ) ( )
+
(3.12), (
dE
1
dU
dr
dr
ν−
U
r
−
при
E
r
U
1
=
1
αν+−ν+ν−
; r −
).
d
( )
=
α
ET
r
dr
v
−
T
rr
1
==rr
2
радиальная координата
(3.18)
;
(3.19)
,011
-
-
-
;
−
модуль упругости
ния
; ν −
Согласно граничному условию
точках
коэффициент Пуассона
rr
и
rr
равны нулю
;
−
коэффициент линейного расшире
;
.
−
(3.19)
123
температура
радиальные напряжения в
.
-
При известных перемещениях радиальные и окружные напряже
r
σ
σ
2
1
+=Φ
2
1
2
1
n
1
2
)(r
Φ
1
2
()()(
)
2222212
=αν−−+ν+ν
−
(
)
2122112
−νν+−α−
=
1
2
-
ния определяются по формулам
где
=σ rTr
r
( )( )
)(
=σ
θ
)(
( )( )
–
радиальное напряжение
( ) ( )
211
ν−ν+
dUrE
211
ν−ν+
dr
dUrE
dr
U
r
U
( ) ( )
r
;
–
окружное напряжение
θ
αν+−ν+ν−
αν+−ν−+ν
rTr
;)()(11
(3.21)
,)()(11
(3.20)
.
Трудности получения точного аналитического решения задачи
(3.18) – (3.19)
связаны с её нелинейностью. Рассмотрим способ нахо
ждения её приближённого аналитического решения, согласно кото
рому решение задачи
A
где
)(
(3.18) – (3.19)
rAr
−
функция, удовлетворяющая неоднородным гра
принимается в виде
n
∑
k
ϕ+Φ=
2
=
kk
(3.22)
,)()()(
rqrrU
-
-
-
A
,AA
−
неизвестные коэффициенты
(3.19) (
);
,BB
−
A
и
A
Подставляя функцию
A
и
получаем следующую систему
ничным условиям
B
k
1)(
++=ϕ
21
(3.19);
k
rBrr
−
координатные функции, удовлетворяющие
однородным граничным условиям
мых, содержащих температуру
−
число приближений
.
Для определения постоянных
ные граничные условия
относительно постоянных
(3.19).
двух алгебраических линейных уравнений
( ) ( ) ( )
Из решения системы уравнений
(6)
находим
при равенстве нулю слагае
неизвестные постоянные
используются неоднород
в (3.19),
rTrrrAAA
1111212
rTrrrAAA
;0)()(1/1
(3.23)
.0)()(1/1
=αν−−+ν+ν−
;
;
-
( )
Для определения постоянных
граничные условия
(3.19).
;)(/1))()((
rrrTrTrrA
2121211
(3.24)
.)/())()(((1
rrrTrrTrA
−−ν+α=
B
и
B
используются однородные
Положив последний член соотношения
124
(3.19)
1
2
(
)
(
)
(
)
222
212
2
−
()(
)
(
)
2
1
2
1
ϕ
2−n
1
=
2
=
1
=
10
10
−
=
212
1
≤≤+
=
равным нулю, относительно неизвестных
B
и
B
получаем
следующую систему двух алгебраических линейных уравнений
1
1
12
νν
kk
rrBrBrkB
1122
;0/1
=+++−
(3.25)
−
( )
1
Из решения системы уравнений
B
−=
2
νν
(3.25)
После нахождения неизвестных постоянных
ношение
(3.19).
нения уравнения
(3.22)
будет точно удовлетворять граничным условиям
Неизвестные коэффициенты
(3.18).
Для этого составляется его невязка и требует
k
kk
находим
),2(
nkq
=
.0/1
=+++−
rrBrBrkB
−ν+α−ν−ν+α−ν=
))()(()()(()(
rTrTrTrTrrrr
−ν+−α+−
−ν+ν+−ν−
21212121
kkkk
)()1()1(
rrrrrkrrkr
12211221
,AA
,
.)
,BB
находятся из выпол
kkkk
rrrrrTrrrTrrB
12211122211
(3.26)
соот
;)()1)(()1)((
-
-
-
)(
ся ортогональность невязки ко всем координатным функциям
то есть
тельно неизвестных коэффициентов
r
2
dU
∫
dr
r
1
dU
Er
Подставляя
ν
dr
+
−
=
dE
ν1
dr
nj
(3.22) в (3.27),
ν1
E
−
r
),2(
+
−
−
d
( )
rU
ν1
dr
drrET
j
=ϕ
после определения интегралов относи
q
будем иметь систему
k
j
.0)(α
(3.27)
r
алгебраических линейных уравнений. После определения из решения
этой системы неизвестных коэффициентов
ное аналитическое решение задачи
(3.18) – (3.19)
=
k
находится из
приближен
(3.22).
),2(
nkq
В качестве конкретного примера найдём решение задачи термо
упругости при при следующих исходных данных
r
014,0
м;
r
039,0
м;
v
2,0
;
E
=
105,19 ⋅
9
кг/
:
м
2
;
6
⋅α
/К.
,
-
-
-
Распределение температуры по толщине слоя цилиндра прини
малось в виде линейной функции
125
)(,)(
rrrraarT
(3.28)
-
где
2
1
−==
σ
;
aa
.32008,144
Результаты расчетов представлены на рис
. 1, 2.
Их анализ
позволяет позволяет сделать заключение о том, что как для
радиальных
незначительное
приближений
,
так и для окружных напряжений
отличие
.
Следовательно
результатов
,
шестого
уже в девятом приближении
,
отмечается
и
девятого
полученное решение практически совпадает с точным. Оценка
невязки уравнения
подтверждают данное заключение (см. рис
невязка уравнения
(3.18)
(3.18) в
для шестого и девятого приближений
. 3).
Как видно из рис
. 3.3,
девятом приближении практически во
всем диапазоне изменения пространственной переменной близка к
нулю
.
σ
r
МПа
,
0
2−
4−
r
r1= 0,014
1
0,0223 0,0307 r , м
r, м r2
r2= 0
,039
Р и с. 3. 1. Изменение радиальных напряжений. (Расчет по формуле
(3.20)); – третье приближение; – шестое приближение; – де-
вятое приближение
2
Θ
,
МПа
1
0
−
1
(3.21));
2−
r
r1= 0,014
1
0,0223 0,0307 r , м
r, м r2
r2= 0
,039
Р и с. 3.2. Изменение окружных напряжений. (Расчет по формуле
– третье приближение; – шестое приближение; – де-
вятое приближение
126
44−×10
ε
2 104−×
0
2− 104−×
4− 104−×
r2= 0,039r , м
r, м r2
0
,
r
r1= 0,014
1
0,0203
0,0265
0328
Р и с. 3.3. Изменение невязки уравнения (3.18). – шестое при-
ближение; – девятое приближение
3.2. Точные аналитические решения задач термоупругости
для многослойных конструкций
В большинстве случаев теплообмена тела с окружающей средой
скорость изменения температуры значительно меньше скорости рас
пространения звука в материале. В связи с чем, температурное поле
практически не зависит от вызываемых им деформаций. В этом слу
чае можно не учитывать зависящий от деформации член механиче
ской связи во взаимосвязанном уравнении теплопроводности и инер
ционные члены в уравнениях равновесия. Постановки задач, в кото
рых не учитываются указанные составляющие термоупругости, назы
ваются квазистатическими. В квазистатических задачах термоупруго
сти время теряет смысл переменной и становится параметром, а на
пряжения определяются исходя из температурного поля в данный
конкретный момент времени без его связи с распределением темпера
туры в любые другие моменты времени. Отметим, что в случаях, ко
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
гда такая связь учитывается, задачи термоупругости называются ди
намическими. Математические постановки подобных задач включа
ют гиперболические (волновые) уравнения с соответствующими на
чальными и граничными условиями. Принципиальное их отличие от
127
-
-
-
квазистатических задач состоит в том, что искомая функция зависит
i
1
1
=
σ
r
=
σ
σ=σ
=
не только от пространственной переменной, но и от времени. В рабо
тах
[1 – 5]
приводятся аналитические решения динамических задач
термоупругости для полупространства и для бесконечной плиты при
различных условиях теплового напряжения, включая тепловой удар
Их анализ позволяет заключить о наличии скачка нормального на
пряжения, наблюдающегося в определенный момент времени в слу
чае теплового удара на поверхности
.
Исходная математическая постановка квазистатической задачи
термоупругости включает уравнения равновесия, совместности де
формаций, геометрические (соотношения между деформациями и ра
диальным перемещением) и физические (формулы закона Гука) урав
нения. В случаях, когда температура изменяется лишь в радиальном
направлении (плоская осесимметричная задача
),
краевую задачу тер
моупругости можно свести к задаче о плоском напряжённом состоя
-
.
-
-
-
-
-
-
-
нии (тонкий круглый диск) или к задаче о плоской деформации (бес
конечный цилиндр
). В
этих случаях исходная математическая поста
новка задачи приводится к одному уравнению относительно искомой
функции напряжения или перемещения с соответствующими гранич
ными условиями
.
Рассмотрим задачу термоупругости для многослойного длинного
полого цилиндра в случае его плоской деформации, обусловленной
плоским осесимметричным температурным полем
(
рис
. 1).
Матема
тическая постановка относительно искомой функции перемещения в
данном случае имеет вид
2
Ud
dr
dU
1
dr
r
U
r
1
ν+
22
1
ν−
dT
iiii
i
i
1
ii
+
(3.29)
dr
-
-
-
-
r
;0)(
(3.30)
(3.32)
( )
rr
;)()(
111 +++
ririri
(3.31)
r
1)1(
++ nnr
;0)(
rUrU
,)()(
111
+++
riri
(3.33)
128
где
ν
α
αν+
σ
σ
α
iiii
111
ν
α
222
ν
α
ν
α
α
α
i
i
i
−
=
i
коэффициент Пуассона
−
перемещение
),1( niU
i
i
го слоя
−
го слоя
−
; r −
;
радиальная координата
−
коэффициент линейного
i
;
расширения
слое
;
i
го слоя
−
;
−
радиальное напряжение в
),1( niri=σ
)(rT
−
i
распределение температуры в
i
ом слое
−
.
i
−
ом
Трудности получения точных аналитических решений задач тер
моупругости для многослойных конструкций связаны с необходимо
стью выполнения не только граничных условий
внешних поверхностях, но и условий сопряжения
(3.30), (3.31)
(3.32), (3.33) в
на
виде
равенства радиальных напряжений и перемещений в точках контакта
слоёв
где
.
Общий интеграл уравнения
C
rCU
1
ii
2
++=
ν−
CC21,
−
постоянные интегрирования
ii
)1(
)1(
rr
i
(3.29)
r
iii
∫
i
r
i
записывается в виде
Формулы для определения радиальных
[6 – 8]
1
ii
+
=≤≤
(3.34)
),1;(,)(
nirrrrdrrT
.
ri
)(r
и
окружных
iθ
-
-
)(r
напряжений в
)(
=σ
r
ri
0
i
ом слое имеют вид
−
ii
)21)(1(
ν−ν+
ii
r
1
−
E
ECEC
21
ii
−
ν+
r
E
r
2
E
ν−
r
(3.35)
;)(
∫
22
r
)1()1(
r
i
E
rdrrT
i
nnn
r
n
r
Р и с. 3.4. Схема многослойного полого длинного цилиндра
ECEC
=σ
r .)(
)(
θ
i
ii
+
ν−ν+
)21)(1(
ii
ii
21
ν+
r
)1(
129
−
E
ii
ν−
1
i
+
rT
)(
i
E
ν−
r
ii
∫
i
22
r
r
)1(
i
rdrrT
(3.36)
2
2
2
1
α
(
)
2
1
1
1
1
αν+
3
2
α
3212142
−−−
−
=+=
Для определения постоянных интегрирования
ются граничные условия
(3.31).
ных интегрирования
Подставляя
(3.34) во
(3.30), (3.31) и
все эти условия, относительно постоян
CC21,
ii
получаем систему из
),1( ni =
условия сопряжения
CC21,
ii
использу
(3.32),
2n
алгеб
раических линейных уравнений. Например, для контакта двух тел та
кая система имеет вид
2
=+
rDCDC
1212111
;0/
где
( )
r
B
=
1
ν−
E
2
11
2
)1(
r
( )
∫
r
1
;
2
2212111
=−+
DDCBC
5422321
BrdrrT
=
21
,0
E
2
BBCBrDCDC
13222
=−−++
rCrCDrCrC
2222213212211
;
B
)21)(1(
ν−ν+
22
=++++
;0/
(3.37)
;0//
E
=
3
2
)1(
ν+
;
2
r
-
-
-
-
r
2
11
∫
)1(
r
1
r
1
;)(
rdrrT
D
E
1
=
D
2
E
=
4
2
)1(
ν+
;
)1(
ν+
;
2
r
D
D
=
1
E
=
5
E
1
r
3
22
∫
)1(
ν−
r
r
32
2
;
D
)21)(1(
ν−ν+
.)(
rdrrT
2
1
=
3
ν−
После определения постоянных интегрирования из решения сис
темы уравнений
формулам
(3.35) – (3.36).
(3.37)
перемещения и напряжения находятся по
В качестве конкретного примера найдем решение задачи термо
упругости для двухслойного полого цилиндра при следующих исход
ных данных
E
:
16
МПа
16
EKK
2
1
r
мм
4
⋅=⋅=α⋅=α
МПа
r
мм
;105,19;1011;1015
r
====ν=ν⋅=
мм
(3.38)
Распределение температуры в двухслойном цилиндре дано на
-
-
-
.55;39;14;2,0;1013
рис
. 3.5.
Температурные кривые для каждого слоя аппроксимирова
лись функцией вида
-
)2,1(,)(
(3.39)
130
irbarT
iii
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]