Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
чением числа его членов, что в свою очередь, связано с выполнением
начального условия, так как само уравнение и граничные условия в
таком случае выполняются точно, при любом числе членов ряда, во
всем диапазоне изменения пространственной переменной.
И, чем меньше τ, тем для меньших x необходимо обеспечивать
выполнение начального условия. Ввиду физической невозможности
выполнения начального условия непосредственно в точке x = 0 при τ
= 0, то приближение к его выполнению при x → 0 и τ→0 возможно
лишь при использовании бесконечно большого числа членов ряда
решения. С уменьшением x и τ для обеспечения сходимости ряда (с
целью выполнению начального условия) число его членов будет неограниченно возрастать. При этом ряд будет открытым, то есть не
имеющим конечного числа его членов ввиду математической и физической невозможности согласования начального и граничного условий при x = 0 и τ = 0. К выполнению этих условий можно лишь приблизиться при x → 0 и τ→0 через использование бесконечно большого числа членов ряда решения. Применение каких – либо дополнительных граничных условий в данном случае не требуется.
В тех случаях, когда проинтегрировать основное дифференциальное уравнение краевой задачи не представляется возможным, используются приближенные методы исследования, такие как совместное использование методов Фурье и Бубнова – Галеркина, Фурье и Л.
В. Канторовича, интегральных преобразований Лапласа и вариационных методов и др.
Все эти методы объединяет то, что по неограниченной области
определения временнóй (параболической) переменной применяется
точный метод (Фурье, интегральных преобразований и др.), а по ограниченной области изменения пространственных (эллиптических)
координат – приближенный метод (вариационный, взвешенных невязок, коллокаций и др.). После процедуры разделения переменных
(или применения интегральных преобразований по временнóй координате) краевая задача относительно эллиптических координат решается одним из приближенных методов (Ритца, Бубнова – Галеркина и
11
др.). Решение в данном конкретном случае отыскивается в виде конечного ряда, который содержит некоторые неизвестные коэффициенты и так называемые координатные функции, выбор которых осущетсвляется таким образом, чтобы при любых значениях неизвестных коэффициентов граничные условия краевой задачи выполнялись
точно. Искомые коэффициенты решения будут определяться из выполнения обыкновенного дифференциального уравнения по пространственной переменной, которое получено после разделения переменных (или применения интегрального преобразования) в основном дифференциальном уравнении краевой задачи. Для этого составляется невязка обыкновенного дифференциального уравнения и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям
(решение краевой задачи Штурма-Лиувилля). В итоге получается
система алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов, матрица которой представляет собой заполненную квадратную матрицу с большим разбросом её членов по абсолютной величине. Такая матрица является плохо обусловленной, а
получаемые из них алгебраические полиномы дают значения собственных чисел низкой точности, причём точность их нахождения с
увеличением числа приближений может не улучшаться, а ухудшаться.
Следовательно, главный недостаток вышеперечисленных приближённых аналитических методов является плохая обусловленность
матриц систем алгебраических линейных уравнений, что затрудняет
получение высокоточных решений из – за принципиального ограничения по числу приближений.
В работах [17 – 25, 35 – 38] излагаются методы, основанные на
построении дополнительных граничных условий, которые являются
высосоэффективным средством в устранении вышеуказанного недостатка.
Решение задачи, которое принимается в виде алгебраического
(или тригонометрического) полинома заранее точно удовлетворяет
только граничным условиям задачи при отсутствии дополнительных
12
граничных условий. Удовлетворение уравнения и начального условия
реализуется посредством решения соответствующих систем алгебраических линейных уравнений, которые, как уже говорилось, имеют
плохо обусловленные матрицы.
Особенность использования дополнительных граничных условий
заключается в том, что разыскиваемое решение изначально точно
удовлетворяет основным граничным условиям, а также дифференциальному уравнению и производным от него различного порядка,
представляющим дополнительные граничные условия, в граничных
точках и на фронте температурного возмущения (для задач, в которых такой фронт вводится).
Основные и дополнительные граничные условия выполняются
посредством решения систем алгебраических линейных уравнений,
но тогда такая система является сильно разреженной (с большим количеством нулевых членов). Более того, в случае применения дополнительных граничных условий, которые представляют собой производные высокого порядка от искомой функции по пространственной
переменной, система уравнений имеет цепочный вид. В связи с чем,
неизвестные в большей части уравнений разделяются, и они легко
могут быть найдены для достаточно большого числа приближений на
точном аналитическом уровне. Поэтому проблема плохой обусловленности матриц в данном случае практически не возникает.
Следует отметить, сама математическая постановка задачи, не
включает в себя дополнительные граничные условия. Дополнительные граничные условия – математический прием, который применяется на конкретном этапе получения решения задачи. Их смысл заключается в том, что их выполнение искомым решением является
выполнением исходного дифференциального уравнения и производных от него различного порядка в граничных точках (и на фронте
температурного возмущения). Чем больше таких условий будет примененено, тем точнее будет выполняться исходное уравнение не
только на границах, но и внутри рассматриваемой области в течение
всего времени протекания процесса теплопроводности.
13
+λ=
λ
λ
0=x
1.1. Коэффициент теплопроводности – линейная функция
координаты
Точные аналитические решения краевых задач с переменными по
пространственным координатам физическими свойствами среды выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, содержащими функции Бесселя первого и второго рода.
Такие решения в области малых значений временной и пространственной координат плохо сходятся. Это связано с трудностями определения собственных чисел при большом числе приближений и,
как следствие, делает аналитическое решение малопригодным как
для инженерных приложений, так и для теоретических научных расчетов в тех случаях, когда необходима высокая точность результатов.
В настоящем разделе представлены методы решения, в основу
которых положено совместном использовании метода разделения переменных и ортогональных методов взвешенных невязок (Л.В. Канторовича, Бубнова – Галеркина). Отличительной особенностью такого метода решения заключается в том, что его релизация не накладывает какие – либо ограничения на вид дифференциального оператора
краевой задачи. Поэтому его применение допустимо к интегрированию уравнений, позволяющих получать решения классическими методами.
Реализация вышеизложенного метода в настоящей главе рассматривается на примере решения нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от пространственной координаты
, (1.1)
)1()(
0
mxx
где
– величина коэффициента теплопроводности при
0
; m –
коэффициент, который может быть положительным или отрицательным в зависимости от увеличения или уменьшения коэффициента теплопроводности с возрастанием величины х.
14
Предлагается два способа решения задачи, один из которых,
τ
∂
∂
τ
∂
;0(
>
τ
)
0
δ<<
x
=
=∂τ
∂
=τδ
δ=x; δ
−−=
Θ
δ
ξ
=
()(
)
0Fo>
1
0
<ξ<
1)0,(
=ξΘ
0/)Fo,0(
=ξ∂Θ∂
0)Fo,1
(
=
Θ
δ=ν
m
)()Fo()Fo,(
ξΨϕ=ξ
Θ
=µϕ+
ϕ
(
)
)Foexp(
)Fo(
µ−=
ϕ
A
предполагает решение напрямую, а другой – посредством осуществления замены переменной.
Математическая постановка задачи для пластины при симметричных граничных условиях первого рода в данном случае имеет вид
∂
xT
),(
;
x
; (1.4)
0),0(
xT
),(
(1.2)
TT
, (1.5)
т
с
xT
),(
ρ
c
=
τ∂
)0,( TxT
; (1.3)
0
∂
λ
x
)(
x
где c – теплоемкость; ρ – плотность; Т – температура; x – координата; τ – время;
при
– половина толщины пластины.
T
– начальная температура;
0
T
– температура стенки
тc
Безразмерные переменные:
)()(
TTTT
т0т cc
;
x
;
Foδτa=
2
.
После принятых обозначений задача (1.2) – (1.5) будет иметь вид
ξΘ∂ Fo,
Fo,
∂
=
∂
∂
FoFo
νξ+
)1(
; (1.7)
ξΘ∂
ξ∂
; (
; (1.8)
;
) (1.6)
. (1.9)
где
.
Примем решение задачи (1.6) – (1.9) в виде
. (1.10)
Подставив (1.10) в (1.6), определим
; (1.11)
dd
Ψ
ξ
d
ξ
d
d
)1( =ξΨµ+
ξ+
v
ξ∂
0)Fo(Fo)Fo(
, (1.12)
0)(
здесь µ – некоторая постоянная.
Решение уравнения (1.12) известно и имеет вид
, (1.13)
где А – неизвестный коэффициент.
Найдем решение уравнения (1.12). Граничные условия для него
согласно (1.8), (1.9) будут
15
=ξΨ
; (1.14)
0)1
(
=
Ψ
πξ=ξ
12−=i
r
0
=
ξ
)Fo,
(
ξ
Θ
1)0
(
==Ψ
const
dd
0)0(
. (1.15)
Задача Штурма – Лиувилля (1.12), (1.14), (1.15) разыскивается в
виде следующего ряда
n
∑
=
i
1
ξµ=ξµΨ
Na
)()(),(
, (1.16)
ii
где
(
– неизвестные коэффициенты,
i
=µ
;
),1()( nia
ni ,1=
) – координатные функции.
i
rN
)2/cos()(
Применяя соотношение вида (1.16) производится разложение искомой системы собственных функций краевой задачи Штурма – Лиувилля (1.12), (1.14), (1.16) в тригонометрический ряд по косинусам с
тем только отличием от существующих методов, что искомые коэф-
фициенты ряда (1.16)
µ
i
=
будут определяться из дополни-
),1()( nia
тельных граничных условий.
Их физический смысл состоит в выполнении уравнения (1.12) и
производных от него различного порядка в граничной точке
, то
есть там, где собственные функции (а также и искомая функция
) неизвестны и они определятся в процессе решения краевой
задачи. Расчеты показывают, что с увеличением числа членов ряда
(1.16) точность определения собственных чисел и собственных функций возрастает, и, следовательно, повышается точность выполнения
уравнений (1.6) и (1.12).
Достоинством представленного метода решения является возможность получать приближенные аналитические решения практически для любых дифференциальных операторов, которые допускаютразделение переменных, в том числе и для тех, которые другими методами не интегрируются.
Ограничиваясь, четырьмя членами ряда (1.16), будем иметь четыре неизвестных коэффициента
i
. В связи с чем, необхо-
)4,1( =ia
димо использовать дополнительные граничные условия. Первое из
них согласно соотношению (1.14) будет
. (1.17)
16
Для того чтобы определить другие дополнительные граничные
0
=
ξ
=
1
=
2
µ
3
µν
µ
µ
µ−νµν
µ−νµν
µ
µ−µν+µ
условия используется основное дифференциальное уравнение (1.12).
Продифференцировав его по переменной ξ в точке
, получаем
дополнительные граничные условия, которые имеют вид
II
V
VIII
µ−=Ψ )0(
624)0(
VII
;
III
23
νµ−µν=Ψ
;
VI
νµ=Ψ 2)0(
;
IV
6)0( µ+µν−=Ψ
36120)0( µ−νµ+µν−=Ψ
3325
12240720)0(
νµ+νµ−µν=Ψ
;
12018005040)0( µ+νµ−νµ+µν−=Ψ
22
;
3224
; (1.18)
423426
.
Подставим (1.16) в соотношения (1.14), (1.15) и (1.18) (основные
и дополнительные граничные условия), получаем систему десяти алгебраических линейных уравнений с десятью неизвестными
a
. Ре-
i
шая систему, получаем
a
1
;
0
a
;
0
−=a
2
;
=a
3
;
a
=
4
64
2
ν−
;
224
a
=
5
2
;
a
45
µ
=
6
µ
=
a
8
8
ν
−
6
µν
+
µν
5
+ν
−
−
+−=
a
9
1
224
+
µ
ν
−
+
µν
−
+
µ
8
5
6
+ν
µ
µν
−
−
µ
3601032
ν−
µν
;
a
νµ
+
50404214
−
4
νµ
+
Осуществляя подстановку найденных значений
22
µ
6037
;
µ
µν
=
7
µν
4
+ν
−
3224
;
22
µν
+ν
3224
µ
50404214
+
456432
+
−
µ
60373601032
22
.
a
i
(
9,0=i
) в
(1.16)
т. е
.
составляется интеграл взвешенной невязки уравнения
17
(1.304),
(
)
1
9=n
1
=
µ
2
⋅−=
µ
⋅=µ
4
=
µ
=
µ
2
µ
µ
µ
1
µ
4
µ
4
µ
2
µ
)2,1(=k
d
∫
ξ
d
0
)1(
νξ+
,
ξµΨ∂
ξ∂
( )
. (
0,
ξµΨµ+
=ξ
d
ni ,0=
;
) (1.19)
Определяя интегралы в
(1.19),
находим собственные чисела
µ из
решения алгебраического уравнения пятой степени. Собственные
числа имеют вид
4,12913949
3
;
1i34,962864+33,0583897
;
.194,653512
5
35,1005690
;
1i34,96286433,0583897
;
Корни
ла
), а
корень
нию
(1.12) (в
новке
(
обозначим
).
и
не
3
следует отбросить, как не удовлетворяющий уравне
5
имеют физического смысла (комплексные чис
этом можно убедиться при непосредственной подста
Таким образом, в дальнейшем используем корни
как
).
и
-
-
-
Осуществляя подстановку
собственных чисел получаются частные решения следующего вида
Таким образом, каждое частное решение точно удовлетворяет
граничным условиям
нению
(1.6), но ни
(1.8), (1.9) и
одно из них, а также и их сумма
2
∑
1
k
=
не удовлетворяют начальному условию
(1.13), (1.16) в (1.10),
9
∑
aA ξµµ−=ξΘ
ikkk
i
=
0
i
)()Foexp()Fo,(
.
k
приближенно удовлетворяет урав
9
k
( ) ( )
∑
aA ξµµ−=ξΘ
0
i
=
(1.7).
kik
Чтобы выполнить на
для каждого из
(1.20)
i
,Foexp)Fo,(
(1.21)
чальное условие составляется его невязка и требуется ортогональ
ность невязки к каждой собственной функции, т.е
1
∫
0
1
∫
0
9
∑
i
=
0
i
9
∑
i
=
0
i
i
i
9
∑
211
211
i
=
0
i
9
∑
i
=
0
i
i
2
i
2
9
∑
−ξµ+ξµ
=
0
i
9
∑
−ξµ+ξµ
=
0
i
.
i
daaAaA
1
i
i
daaAaA
2
i
=ξξµ
;0)(1)()(
(1.22)
=ξξµ
.0)(1)()(
-
-
-
Вычисляя интегралы в
(1.22), с
18
целью определения искомых ко
-
эффициентов
)2,1(=k
1
=
2
−
=
1
=
µ
2
=
µ
90,6596578
=
µ
4
=
µ
1,3156446
1
=
0,4893152
2
−
=
=
0,06234287
4
−
=
)0,1(
=
ν
02,0Fo004
,
0
≤
≤
A
k
необходимо решить систему двух алгеб
-
раических
1,30203186
A
(1.9)
находится из
линейных
;
A
(1.21).
уравнений
0,4854812
,
решение
.
После чего решение задачи
которой
дает
(1.6) –
Повысить точность решения возможно увеличивая число членов
ряда
(1.16).
Тогда для нахождения неизвестных коэффициентов этого
ряда необходимо привлекать дополнительные граничные условия
которые получаются посредством множественного дифференцирова
ния уравнения
При
n = 30 в
ряющие уравнению
Выполняя начальное условие
(1.12) по
соотношении
(1.12)
4,24521952
переменной
(1.16),
имеют вид
;
32,8925431
(1.7),
ξ.
собственные числа, удовлетво
;
3
5218,327724
.
для определения неизвестных
;
,
-
-
коэффициентов
A
k
)4,1( =k
будем иметь систему, состоящую из че
тырех алгебраических линейных уравнений, из решения которой на
ходим
сравнении с решением, полученным по методу, изложенному в п
книги, представлены на рис
что в диапазоне чисел Фурье
тов составляет не более
A
;
A
A
A
;
3
.
Результаты расчетов температур по формуле
3%.
. 1.1.
Отметим, что решение задачи
Их анализ позволяет сделать вывод
расхождение результа
28697373,0
(1.21)
;
в
. 2.1
(1.2) – (1.5)
интегральным методом теплового баланса выполняется в две стадии
При этом в рассмотрение вводится понятие фронта температурного
возмущения (толщины прогретого слоя
).
Использование этого метода
-
-
,
-
.
приводит к необходимости получения приближенных аналитических
решений для каждой стадии в отдельности. Однако к числу его важ
ных преимуществ относится возможность получения приближенных
аналитических решений для сверхмалых значений времени практиче
19
-
-
ски с заданной степенью точности
0=ν
∞<≤
Fo
025
,
0
∞<≤
Fo1,
0
1,0Fo025
,
0
≤
≤
0=ν
1,0
0,20,40,60,
8
1,0
1-
0
Θ
ξ
.
Если положить
, то
задача
(1.6) – (1.9)
приводится к задаче с
постоянными физическими свойствами среды, решение которой из
вестно
невязок уравнения
[26].
Результаты расчетов для этого случая в диапазоне
практически совпадают с точными (рис
(1.6) (см.
рис
. 1.3, 1.4)
позволяет заключить о
. 1.3).
Анализ
практическом выполнении этого уравнения в диапазоне чисел
.
превышает
Максимальная невязка в диапазоне
2 %.
не
Р и с. 1.1. Изменение темпера-
туры в пластине при линейной за-
висимости коэффициента тепло-
проводности от пространственной
0,8
0,6
0,4
2
0
0
,
0
=
o
F
8
0
0
,
1
0
0
,
0
5
2
5
0
,
0
4
0
,
0
-
0,2
переменной. − по формуле
(1.21) (четвертое приближение) ;
)
0.9
)
)
0.8
)
)
0.7
)
0.6
0.5
0.4
− по методу [37]
Р и с. 1.2. Изменение
0.3
температуры в пластине.
0.2
− по формуле (1.21)
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
(четвертое приближение);
− точное решение [26];
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]