Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
где
−
−
i
−
x
−
τ
−
−++
=
−
−
i
−
−
δ;=x
−
−
i
−−=
Θ
=
−
Θ
−
ξ
−
Fo
−
a
(
)
===≤≤
>
=
Θ
1
=∂Θ
∂
=
Θ
Θ=Θ
∂Θ∂=∂Θ∂
)3,2,1(=i
−
−=ϕ
=
ϕ
δ
T
δ
,
температура
i
δ
,
толщины слоев
321
го слоя
;
;
координата
δδδδ
суммарная толщина
321
;
время
;
трехслойной пластины
слоя
T
;
λ
коэффициент теплопроводности
i
начальная температура
0
;
a
коэффициент температуропроводности
i
T
;
Введем следующие безразмерные переменные
);/()(
ii
где
ордината
относительная избыточная температура
;
число Фурье
пературопроводности
Задача
(2.50) – (2.55) с
;0Fo
TTTT
стст
0
;
i
наименьший из коэффициентов тем
учетом
Θ∂
)Foξ,(
a
=
Fo
∂
−
a
3
ξξξ
ii
ξ
).3,2,1(=ia
(2.56)
2
Θ∂
∂
i
приводится к виду
iii
2
ξ
температура стенки при
CT
слоя
.
:
;δ/
x
ii
Fo2a=
;
τ/δ
безразмерная ко
(2.56)
,
)Foξ,(
;
1
ξ
ξ
;3,2,1;
;0
301
-
-
(2.57)
;1)0,ξ(
i
Решение задачи
(2.58)
ξ
λ
(
(2.57) – (2.62),
ξ
(
/)Fo,
()τ,
1
+
λξ
В. Канторовича, принимается в виде
n
∑
f ϕ=Θ
ki
1
k
=
где
)Fo(kf
неизвестные функции
ξ
;
;0ξ/)Fo,0(
(2.59)
);Fo,
iiii
(2.61)
ξ
(
11
++
iiiiii
3
.
ξ
/)Fo,
(2.62)
;0)Fo,1(
(2.60)
следуя ортогональному методу Л
ki
ki
,)ξ()Fo()Fo,ξ(
(2.63)
)3,2,1()ξ( i
координатные
функции, определяемые таким образом, чтобы заранее точно выпол
нялись граничные условия
(2.59), (2.60) и
условия сопряжения
(2.61),
(2.62).
Основным отличительным свойством применяемого здесь метода
является одинаковая система неизвестных функций времени
.
-
)Fo(kf
для каждого из контактирующих тел. Это дает возможность получать
простые координатные функции
ki
i
)3,2,1()ξ(
Так, например, в
первом приближении решения, полученные таким путем удовлетво
71
-
рительно согласуются с численными решениями (метод прогонки
1
2
2
2
λ
λ
1
2
1
2
1
2
132
λ
λ
λ
λ
).
Получаемые таким путем аналитические решения содержат в яв
ном виде все основные теплофизических параметры и граничные ус
ловия теплообмена, что несомненно можно отнести к еще одному
преимуществу данного подхода
.
Способ построения систем координатных функций заключается в
следующем, на первом этапе строится координатная функция для
третьего слоя, причем ее выбор осуществляется таким образом, чтобы
граничное условие
Для второго слоя координатная функция принимается в виде
здесь неизвестные коэффициенты
сопряжения
(2.61), (2.62)
(2.60)
k
выполнялось точно
2
k
3
),1(.1)(
nk
=ξ−=ξϕ
(2.64)
2
AA ξ+=ξϕ
A
и
,)(
212kk
(2.65)
A
определяются из условий
между вторым и третьим слоем. После их
-
-
определения соотношение
2kkk
(2.65)
3
−−=ξϕ
λ
принимает вид
2
−ξ
2
2
3
.)1(1)(
ξ
λ
),1(nk=
Для первого слоя координатная функция принимается в виде
2
,)(
211kk
(2.67)
.
B
и
B
находятся из усло
2
3
−ξ
2
2
kkk
3
.)1()(1)(
ξ
λ
B
где
Соотношение
функции соотношения
вию
(2.59).
вий сопряжения
и
B
неизвестные коэффициенты
(2.63)
при использовании в качестве координатной
(2.67)
Неизвестные коэффициенты
(2.61), (2.62)
их определения соотношение
3
λ
−
λ
1
k
−=ξϕ
2
1
BB ξ+=ξϕ
удовлетворяет точно граничному усло
между первым и вторым слоем. После
(2.67)
будет
−−ξ
λ
(2.66)
-
-
),1(nk=
(2.68)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что при ис
пользовании в качестве координатных функций соотношений
(2.66), (2.68),
соотношение
(2.63) в
72
любом приближении
-
(2.64),
),1(nk=
точно удовлетворяет граничным условиям
3
3
ξ
ξ
−
.
Fo
1
1
=ν+
1
2
µµ=
ν
3
3
3
3
(
)
ξ−+ξ−ξ+ξ=
µ
2
132
λ
λ
λ
1
λ
=
2
2
λ
2
λ
(2.59), (2.60) и
условиям
сопряжения
).Fo(kf
Найдем решение задачи
Для этого потребуем, чтобы соотношение
чимся одним членом ряда, удовлетворяло не уравнениям
(2.61), (2.62)
при любых значениях неизвестных функций
(2.57) – (2.62) в
нулевом приближении
(2.63), в
котором ограни
(2.57), а не-
которым осредненным уравнениям, то есть уравнениям, проинтегри
рованным в пределах толщины каждого слоя
2
a
a
∫
1
a
2
Dd
2
a
Подставляя
ξ
3
i
∑
∫
1
=
i
ξ
1
−
i
∂
ξΘ∂
Fo
(2.63) в (2.69),
ξ
1 2
∫
0
2
11
a
1
Df (2.70)
11
a
)Fo,(
−
находим
ξ
ξ
1
∫
0
ξΘ∂
iii
ξ∂
ξ
)Fo,(
d
2
(2.69)
.0
=ξ
2
32
2
∫
1
1
∫
ξ
2
1
,0))(Fo(2
=ξ+ξ+ξ+
dd
∫
ξ
2
2
)1()()()Fo(' ddDDdDDf
+
ξξ−+ξξ−+ξξ−
.
-
-
где
'1f
первая производная от функции
Определяя интегралы в
ции
уравнение
)Fo(1f
получаем следующее обыкновенное дифференциальное
где
D ξ
−=
;/
D
2
−
λ
1
D
1
2
1
(
D
11
3
λ
(2.70),
3
−−ξ
λ
)Fo(1f
по
переменной
относительно неизвестной функ
3
λ
,0)Fo(Fo/)Fo(
(2.71)
3
1
2
aaDaDa
3
D
;
1
)1()(
2
;/)1()(2
3231232112
−−=
λ
fddf
D
)()
122
2
2
3
3
kk
;)1()(1
=D
=D
1
3
.
λ
-
2
3
)1(
2
)1(1 ξ
k2
;
2
3
;
+ξ−−ξ−+ξ−ξ−ξ−ξ+ξ−ξ=µ
Интегрируя уравнение
(2.71),
находим
73
1
=
где
=ξϕ=ξ
Θ
ξ
[][][
]
1
µ
=
ξϕ=ξΘ
)3,2,1(=i
λ=λ=λ=λ
===
=
=
2
1
;м00261
,
0
=
1
⋅=λ
=
λ
2
;К)Вт/(м
2
⋅
=
⋅=λ
1
−
2
−
сс
−
С –
постоянная интегрирования
),
ν
Cf
Fo(exp)Fo(
(2.72)
.
Подставляя
Для определения постоянной интегрирования
ку начального условия
ны каждого слоя
Подставляя
ξ ξ
1 2
0
(2.72) в (2.63),
(2.58) и
3
∑
∫
1
=
i
ξ
−
i
(2.73) в (2.74),
2
1
ξ
получаем
проинтегрируем ее в пределах толщи
i
[ ]
i
1
находим
1
ν
Fo(exp)Fo,(
d
1
ii
(2.74)
.01)0,(
=ξ−ξΘ
iC
C
составим невяз
)3,2,1().()
(2.73)
2
32
1
∫∫ ∫
ξ
2
2
Определяя интегралы, относительно постоянной интегрирования
С
получаем алгебраическое линейное уравнение. Его решение
-
-
.01)1(1)(1)(
=−−+−−+−−
ξξξξξξ
dСdDDСdDDС
C
./1
После определения постоянной интегрирования решение задачи
(2.57) – (2.62) в
Если положить
пластина
), то
нулевом приближении принимает вид
1
ii
321
будет
).()
;
соотношение
ν
Fo(exp)Fo,(
(2.75)
(2.75)
aaaa
(
321
однослойная
2
).1)(Fo3exp(5,1)Fo,(
ξ−−=ξΘ
Последняя формула совпадает с решением в нулевом приближе
нии для однослойной пластины, приведенным в
Используя формулу
(2.75),
найдем решение конкретной задачи
[34, 27].
для трехслойной пластины при следующих исходных данных
;
00086,0 xx
м
Вт/(м
;
x
3
Вт/(м
1,1
3
00502,0
;К)
a
м
11
10624,3
⋅=
26
:
-
;К)
;/
см
26
;/
1002,1
a
⋅=
см
3
74
⋅=a
26
/
м1094,0
(2.76)
=
ϕ
3
3
ξ
ξ
111
=ν+
µµ=
ν
=
µ
4
=
µ
111
ν
=
−
1
ξϕν=ξ
Θ
)3,2,1(=i
1
=
ϕ
Результаты расчетов по формуле
численным методом прогонки даны на рис
заключить, что в диапазоне
составляет около
3%.
0,187 ≤ Fo < ∞
Для повышения точности найдем решение задачи
первом приближении. Для этого составим невязки уравнений
(2.76) в
. 2.3.
расхождение результатов
сравнении расчетом
Их анализ позволяет
(2.57) – (2.62) в
(2.57) и
потребуем ортогональности невязок к координатным функциям пер
)3,2,1(
2
a
−ξϕ
f
11
)Fo()(
a
1
ξ∂
)(
ξϕ∂
ii
2
1
d
i
.0)(
=ξξϕ
ξ
∫
ξ
1
2
3211
12
1
∫
ξ
2
2
)1()()()Fo(' ddDDdDDf
13
+
ξϕξ−+ξϕξ−+ξϕξ−
1
∂
1
i
Fo
i
)Fo(
i
вого приближения
ξ
3
i
∑
∫
1
=
i
ξ
1
−
i
∂
f
Последнее соотношение можно переписать в виде
ξ
1 2
∫
0
2
11
-
Определяя интегралы в
ции
вида
где
)Fo(1f
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
;/
341
3
Интегрируя уравнение
C
где
постоянная интегрирования
Подставляя
(2.79) в (2.63),
1
a
1
Df (2.77)
∫
11
a
11
0
Dd
2
(2.77),
2
a
2
∫
a
ξ
1
относительно неизвестной функ
fddf
;516004,0
(2.78),
Cf
находим
.042163,1
),Foexp()Fo(
(2.79)
1
.0))(Fo(2
=ξϕ+ξϕ+ξϕ+
dd
∫
1312
ξ
2
,0)Fo(Fo/)Fo(
(2.78)
-
.
получаем
C
).()Foexp()Fo,(
111
ii
(2.80)
Для определения постоянной интегрирования
ку начального условия
координатным функциям
(2.58) и
i
1
i
потребуем ортогональности невязки к
)3,2,1(
75
C
составим невяз
-
[][
]
ξ ξ
[
]
1
µ
=
1
λ=λ=λ=λ
===
ξ
ϕ
=ξϕ
−ϕϕ
ξ
ϕ
ξ
ϕ
ξ∫ξ
1 2
∫ ∫
0
2
11
1
С
∫
1
ξ
2
2
2
32111
ξ
1
(2.81)
.01)1(
=−−+
ξϕξ
d
13
1)(1)(
12
dDDСdDDС
+−−+−−
ξϕξξϕξ
Определяя интегралы в
C
C
получаем алгебраическое линейное уравнение. Его ре
./1
31
рирования
шение
После определения постоянной интегрирования
дачи
положить
то соотношение
(2.57) – (2.62) в
(2.80)
Формула
(2.82)
первом приближении находится из
321
приводится к виду
совпадает с решениями в первом приближении
для однослойной пластины, приведенными в
Результаты расчетов по формуле
(2.81),
;
относительно постоянной интег
aaaa
(
321
однослойная пластина
2
).1)(Fo5,2exp(25,1)Fo,(
ξ−−=ξΘ
(2.82)
[34, 27, 61].
(2.80)
даны на рис
Для повышения точности найдем решение задачи
во втором приближении. Составляя невязку уравнений
C
решение за
(2.80).
Если
. 2.14.
(2.57) – (2.62)
(2.57) и
требуя
-
-
-
),
ортогональности невязки к координатным функциям
2
где
i
i
ξ
3
i
∑
∫
1
=
i
ξ
1
−
i
21
переменной
Соотношение
1 2
∫
0
ξ
ii
1
∫
2
),3,2,1()(
находим
ff
","
вторые производные от функций
a
i
2211
ii
a
3
ϕ+ϕ−ϕ+ϕ
2211
ii
ξ.
(2.83)
можно переписать в виде
ξ
1
ξ
1
a
a
1
∫
0
3
dff
13232131
ji
jdff
)(
1
и
i
)''()''(
1222212111212111
+ξϕϕ+ϕ+ξϕϕ+ϕ
dffdff
)""()''(
dff
11122111
1
i
)2,1(,0)""(''
(2.83)
2
i
)(
и
)(
по
==ξϕ
−ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ+
76
3
2
ξ
ξ∫ξ
3
ξ
=++
+
=
1
=
2
=
=
4
=
1
=
2
=
=
4
2
1
=
=
−
rDA,,
=++
+
a
2
∫
a
ξ
1
1 2
∫
0
1
∫
ξ
2
dff
23232131
1
;0)""()""(
=ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ−
∫
ξ
2
)''()''(
ξ
1
dffdff
1323213112222121
+ξϕϕ+ϕ+ξϕϕ+ϕ
dffdff
2222212121212111
ξ
1
a
a
1
∫
0
3
)""()''(
21122111
−ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ+
dff
2
a
2
∫
a
ξ
1
1
=ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ−
∫
ξ
2
dffdff
2323213122222121
Определяя интегралы в последних соотношениях, относительно
неизвестных функций
(2.76)
циальных уравнений
получаем следующую систему двух обыкновенных дифферен
)Fo(1f
и
)Fo(2f
с
учетом исходных данных
;0''
(2.84)
,0''
1,042163;
2,238202.
b
1,553968;
где
0,516004;
b
0,516004;
l
= 0,709145;
b
l
3
0,599610;
1,309198;
fbfbfbfb
24132211
=+++
flflflfl
24132211
b
3
l
.0)""()""(
-
l
Частные решения системы уравнений
де
где
Подставляя
некоторые постоянные
(2.85) в (2.84),
находим
.
Система однородных алгебраических уравнений
(2.84)
разыскиваются в ви
),Foexp()Fo();Foexp()Fo(
rDfrAf
rDrA
rDrA
(2.85)
;0)553968,1599610,0()042163,1516004,0(
(2.86)
=+++
.0)238202,2709145,0()309198,1599610,0(
(2.86)
имеет не
тривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю
1,553968+ 0,5996101,042163+ 0,516004
rr
(2.87)
.0
=
2,238202+ 0,7091451,309198+ 0,599610
rr
Элементы матрицы
(2.87)
положительны и симметричны относи
77
-
-
-
тельно главной диагонали, следовательно, корни
1
−
=
25,932144.
2
−
=
1
=
+
1
=
=
−
=
1
2
2
2
−==
=
2Fo1
2Fo2Fo1
1
1
1
−
2
),
2=n
)3,2,1(=i
1
2
ξ
ϕ
ξ
ϕ
)3,2,1(=i
i
)2,1(=ir
характе
-
ристического уравнения, получаемого из определителя
ны быть действительными отрицательными числами. Из
чаем
r
чаем
Тогда
следующее
2
Подставляя величину корня
Для однородной системы
D
Аналогично
0,239355.
,
подставляя
(2.88)
характеристическое
.0582457,0315039,0523234,0
=++ rr
Его корни
r
в систему уравнений
DA
11
DA
11
;0 475086,0 0,113714
(2.88)
=+
.0 962233,0 0,230316
можно положить
r
в
(2.86),
r
(2.86),
(2.87),
(2.87)
уравнения
constA
находим
долж
полу
полу
-
-
;1,799304
-
.1
DA
.0,881653;1
С учетом найденных значений постоянных
соотношения
(2.85)
примут вид
Чтобы найти общее решение системы уравнений
частное решение, включающее корень
ную
С
, а
решение, включающее корень
ставляя полученные общие решения в
r
, на
,2r
(2.63) (
Fo
i
11
Fo
rr
22
i
(2.90)
Fo
rrrr
2121
eDeDfeAeAf +=+=
(2.84),
irDA
iii
.)Fo(;)Fo(
(2.89)
умножим
произвольную постоян
на постоянную
при
Fo
111
находим
С
.
Под
Fo
rr
2121
eDCeDCeACeAC ϕ++ϕ+=ξΘ
22
)3,2,1(,,
-
-
.)()()Fo,(
2
i
Для определения постоянных
чального условия
динатным функциям
(2.58) и
1
i
С
и
С
составляется невязка на
требуется ортогональность невязки к коор
)(
и
)(
2
i
78
-
-
2
ξ
)3,2,1(=j
1
2
ξ∫ξ
ξ
221122211
1
+=+
=
=++
642377
1
=
631466
2
−
=
1
2
2
1
λ=λ=λ
=
=
2
1
−
−
2
−
−
i
∑
=
i
[ ]
∫
1
ξ
1
−
i
2221112211
dDCDCACAC
jiii
.01)()(
=ξϕ−ϕ++ϕ+
(2.91)
Соотношение
(2.91)
относительно неизвестных
С
и
С
дится к следующей системе двух алгебраических линейных уравне
ний
1 2
∫
0
1
∫
ξ
2
13232131
ξ
1
;0)1(
=ξϕ−ϕ+ϕ+
dEE
)1()1( dEEdEE
1222212111212111
+ξϕ−ϕ+ϕ+ξϕ−ϕ+ϕ
1
∫ ∫
0
1
ξ
где
∫
2
23232131
Определяя интегралы, находим
2
)1()1( dEEdEE
ξ
1
=ξϕ−ϕ+ϕ+
dEE
;0)1(
.;
DCDCEACACE
2222212121212111
+ξϕ−ϕ+ϕ+ξϕ−ϕ+ϕ
приво
-
-
Из решения системы уравнений
С
,3
.
После определения постоянных
(2.62) во
приводится к виду
Соотношение
втором приближении находится из
;
aaa
(
однослойная пластина
Fo47,2
(2.93)
есть решение задачи
приближении, приведенном в
CC
21
CC
21
(2.92)
С
и
eAe
[34, 27, 61].
;0645874,0214339,0356267,0
(2.92)
=++
.0795890,0346957,04191102,0
находим
С
решение задачи
(2.90).
), то
соотношение
ee
4Fo52,25
).1)(9048,228,0(
ξ−+−
(2.93)
(2.50 – 2.55) во
С
,1
(2.57) –
Если положить
(2.90)
2Fo52,25Fo47,2
−ξ−+=ξΘ
)1)(3,355,1()Fo,(
втором
и
Ткой путь позволяет получить решение задачи
любом последующем приближении
.
79
(2.57) – (2.62) и в
Результаты расчетов по формуле
λ=λ=λ=λ
===
∞<≤
Fo
001
,
0
∞<≤
Fo01,
0
1
−=λ
2
−=λ
−=λ
4
−=λ
−=λ
−=λ
−=λ
−=λ
1
=
λ
2
=
λ
=
λ
4
=
λ
=
λ
=
λ
=
λ
=
λ
(
)
2
=
1
≤
≤
−
1
2
ξ=ξ
(2.63)
для случая когда
;
321
приближении в сравнении с точным решением
Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне числа
полученные по формуле
(2.63)
точных их величин не более чем на
aaaa
(
321
однослойная пластина) в восьмом
[36]
даны на рис
. 2.3.
значения температур отличаются от
2%, а
для чисел
они
практически совпадают с точными. При этом из решения характери
стического уравнения были получены следующие собственные числа
;4674011027,2
;6850275455,61
3
5
7
;477960523,200
6
;223264386,647
8
Точные значения собственных чисел
:
;2066099025,22
;903753244,120
;185335578,322
.85064772,2422
:
;724674011002,2
;2066099024,22
;859,199
5
6
3
;555,298
7
;685027506,61
;99,416
8
.16,555
В результате анализа полученных решений можно заключить, что
первое и второе собственные числа совпадают с их точными значе
ниями с точностью до девятого знака после запятой
Расчеты по формуле
приближение) представлены на рис
(2.63)
для трехслойной конструкции
. 2.4.
До момента времени, когда
.
(8 – ое
фронт температурного возмущения, достигает границы между вто
рым и третьим слоем
ξξ
, то
есть до момента, когда первый и
второй слои не участвуют в процессе теплообмена, точность можно
оценить сравнением значений температур на этом участке времени с
их точными значениями для однослойной пластины
[36].
Анализ по
лученных результатов позволяет заключить, что их расхождение в
;902653,120
-
-
-
пределах
FoFo001,0
(
пературного возмущения координаты
где
Fo
время достижения фронтом тем
) не
превышает
2%.
Что
бы получить решения относительно слоя на внешней стенке которого
задано граничное условие первого рода, можно воспользоваться ме
80
-
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]