Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
Результаты расчетов по формуле
3=n
5=r
∞<≤
Fo03,
0
,48/
1
=ξ∆
0
=
ξ
(
)
(
)
48/1
=ξ∆
0
=
ξ
∞<≤
Fo
005
,
0
(1.152)
при
и
даны
на рис
1%.
ло членов ряда
целью определения неизвестных коэффициентов
вать число точек по координате
уравнение
ным
неизвестных коэффициентов
уравнение добавляется в результате выполнения граничного условия
(1.144)).
B
i
. 1.8.
Для повышения точности решения необходимо увеличивать чис
48 (с
Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне числа
отличие полученного решения от точного не превышает
(1.145).
(1.141). И, в
шагом
После определения из решения этой системы неизвестных
39,1=i
дальнейший ход решения повторяется
Для получения дополнительных уравнений с
B
будем увеличи
i
ξ, в
частности, принимая число таких точек, рав
начиная от точки
B
получаем
i
которых следует выполнять
49
уравнений
.
),
относительно
(
еще одно
-
-
-
В таблице
членов ряда
ными их значениями. В этой же таблице приведены значения коэф
фициентов
вия
(1.136) в 17
выполнялось с шагом по координате
.
Результаты расчетов по формуле
1.16.
Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне числа
1.1
(1.145)
k
расхождение с точным решением не превышает
приведены полученные для данного количества
первые
17,1=kA
точках переменной
17
собственных чисел в сравнении с точ
,
найденные из выполнения начального усло
ξ. И, в
ξ
(1.152)
частности, условие
,
для
n = 17
(1.136)
начиная с точки
даны на рис
1,0 %.
-
-
-
.
51
Р и с. 1.15. Графики изменения темпе-
1,0
Θ
ξ
ратуры в пластине. – расчет по фор-
муле (1.152) (третье приближение); –
точное решение
По результатам выполненных исследований можно сделать за
ключение о том, что получение высокоточных значений первых
собственных чисел
до
16-го
знака после запятой совпадают с их точными значениями
(
первые четыре собственные числа с точностью
17-ти
оказалось возможным благодаря реализации в ходе решения точного
выполнения дифференциального уравнения краевой задачи Штурма
Лиувилля в количестве точек пространственной переменной, равном
числу определяемых собственных чисел
F
0,8
0,6
0,4
.
o
=
0
,
0
0
5
F
o
=
0
,
0
1
-
)
-
0,2
0,7
0,8 0,9
1,0
Р и с. 1.16. Графики изменения темпера-
туры в пластине – расчет по формуле
(1.152) (семнадцатое приближение);
– точ-
ное решение
52
1.5. Получение аналитических решений обратных задач теплопроводности
Имея аналитическое решение прямой задачи нестационарной теп
лопроводности и значения, полученные экспериментальным путем
реализуется возможность идентифицировать теплофизические свой
ства исследуемого материала
В области математического моделирования краевые задачи клас
сифицируют на прямые и обратные, положив в основу этой класси
фикации исследование причинно
математической модели
.
–
следственных связей в конкретной
К причинным характеристикам относят граничные условия и па
раметры их определяющие; коэффициенты, описывающие физиче
ские свойства тела; начальные условия, которые заключаются в зада
нии значений искомых функций в начальный момент времени; гео
метрические параметры, которые определяют пределы изменения не
зависимых переменных задачи
.
,
-
-
-
-
-
-
-
-
Под термином следственные характеристики понимают величины
определяемые при решении задачи (к ним можно отнести температу
ры, напряжения, скорости движения сред и т. д
.).
Отметим, что про
извольно заданные причинные характеристики не имеют зависимости
от следственных, но смена причинных характеристик однозначно из
менит следственные величины
Установление таких причинно
.
–
следственных зависимостей и
есть решение прямой задачи, где по известным причинным характе
ристикам определяются следственные величины, составляющие соб
ственно процесс
.
Таким образом, в случае необходимости идентификации отдель
ных причинных составляющих процесса по известным характеристи
кам, имеем обратную краевую задачу
.
Имея точное аналитическое решение прямой задачи и точные
-
-
-
-
-
-
-
значения искомой функции, полученные из эксперимента, решение
обратной задачи теплопроводности также будет точным. Но так как
53
,
в большинстве случаев эксперимент дает приближенное значение ис
4
1
≤
≤
1
2
4
=
1
=
2
=
=
4
-
комой функции, то, следовательно, и решение обратной задачи явля
ется приближеннным и точность его зависит лишь от точности само
го эксперимента
Все полученные выше соотношения для приближенных анали
тических решений ввиду их простоты
.
(не
содержат специальных
функций и бесконечных рядов удобно использовать для решения об
ратных задач теплопроводности. Рассмотрим последовательность
решения обратной задачи, используя решение прямой задачи вида
(1.151).
Предположим, известны экспериментальные значения темпера
туры в точке ξ
= 0,6 в
диапазоне времени
FoFoFo
.
Экспери
ментальная кривая, характеризующая изменение температуры пред
ставлена на рис
. 1.17.
-
-
-
-
-
-
-
Произведем аппроксимацию этой кривой следующей функцией
3
, (1.154)
FoFoFo);6,0( bbbbFo +++=Θ
4
Fo
здесь
b
,
,
b
b
,
3
–
b
тальных данных (рис
1
Θ
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Р и с. 1.17. Кривая изменения температуры
2
321
коэффициенты, определяемые из эксперимен
. 1.17)
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2
-
Соотношение
(1.154)
запишем для четырех кривой, принимая
что температуры в них соответствуют времени
Fo
3
0,15;
Fo
0,2 (
для
1 – ой, 2 – ой, 3 –й, 4 –й
54
Fo
0,05;
точек соответст
Fo
,
0,1;
-
венно
1
2
4
1
2
4
1
1
Θ
1
2
4
2
2
Θ
1
2
4
Θ
1
2
4
4
4
Θ
1
1
Θ
2
2
Θ
Θ
4
4
Θ
=
1
=
2
=
=
4
),6,0
(
Fo
Θ
).
Для нахождения искомых коэффициентов
b
b
,
,
b
b
,
3
имеем
систему
b
5
+0,05
алгебраических линейных уравнений
b
+0,0025
b
+0,000125
3
b
=
Fo
);6,0(
;
(1.155)
b
+0,15
b
+0,1
b
+0,0225
b
+0,01
b
b
+0,001
3
+0,0033
3
b
b
=
=
Fo
Fo
);6,0(
;
);6,0(
;
33
b
+0,2
b
+0,04
b
+0,008
3
b
=
Fo
);6,0(
.
Предположим, полученные из эксперимента температуры в со
ответствующих точках имеют следующие значения
);6,0(
0,7941;
Fo
= 0,62832;
Fo
);6,0(
= 0,53124;
33
:
0,46165.
Решая систему уравнений
b
1,0701;
Уравнение
b
(1.154)
– 6,89833;
после подстановки в него значений коэффици
(1.155),
b
3
получим
30,331;
b
–55,2523.
Fo
Fo
);6,0(
);6,0(
-
=
=
-
ентов
b
принимает вид
k
= 55,252Fo3 – 30,331Fo2 + 6,8983Fo – 1,0701. (1.156)
На рис
. 1.18
приведены результаты расчетов по формуле
(1.156).
Из графика можно сделать заключение о практическом совпадении
результатов. Следует отметить, что кубическая парабола вида
(1.154)
не допускает скачков температуры между точками, в которых она не
посредственно апроксимировалась
1
Θ
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
.
-
0.2
0.1
0
0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2
Fo
Р и с. 1.18. – экспериментальная кривая; – расчет по форму-
ле (1.156)
55
002
,
0
=
δ
36=λ
4
1
≤
≤
δτ=
1
1
δτ=
4
4
Допустим, что из решения обратной задачи с использованием со
отношений
температуропроводности
Подставляя
тегралы от полученного соотношения в пределах от
получаем
Положив
(1.151) и (1.156)
a,
м;
(1.156) в
левую часть решения
Fo
4
∫
Fo
1
4
Fo
∫
1
Fo
/
aFo
,
требуется восстановить коэффициент
при следующих исходных данных
Вт/(
м·К
); T0 = 100°C; Tст = 0°C.
(1.151) и
вычисляя ин
23
2
ξ−=
/
aFo
,
получим относительного ко
. (1.157)
dFo))(1)-2,5Foexp(25,1(
dFo
)1,0701 6,8983Fo + 30,331Fo (55,252Fo
=−−
FoFoFo
эффициента температуропроводности трансцендентное уравнение
-
,
,
решая которое находим
Таблица 1.2
Анализ полученных результатов позволяет заключить, что при
разных течениях процесса охлаждения в заданном температурном
интервале, получаются разные величины коэффициентов температу
ропроводности. Это можно объяснить разной скоростью охлаждения
которая оценивается искомыми коэффициентами температуропро
водности
.
,
-
Такой подход может быть использован для определения не толь
ко коэффициента температуропроводности но и любых других вели
чин, которые содержатся в полученных в диссертации аналитических
решениях
.
56
-
-
10Fo10
−
−
≤
≤
10
Fo−=
10
Fo−=
Глава 2
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК В
ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ОДНОСЛОЙНЫХ И
МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКИМИ
СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ
2.1. Аналитические решения задач теплопроводности
на основе определения фронта температурного возмущения
Известно, что решения задач теплопроводности, полученные с по
мощью классических аналитических методов, представляются в фор
ме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных
точек и при малых значениях временной координаты. Исследования
показывают, что сходимость точного аналитического решения неста
ционарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при
граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье
712
7
) до
наблюдается лишь при использовании от
пятисот тысяч
(
12
)
членов ряда
.
2000 (
Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариацион
ных методов (Ритца, Треффтца, Л.В. Канторовича и др
тодов взвешенных невязок
кина, метод моментов, коллокаций и др
(
ортогональный метод Бубнова
.).
Эти методы для получения
.), а
также ме
–
Галер
-
-
-
-
-
-
решений нестационарных задач теплопроводности при малых значе
ниях временной координаты практически неприменимы ввиду того
что при большом числе приближений относительно неизвестных ко
эффициентов искомого решения получаются большие системы алгеб
раических линейных уравнений. Матрицы коэффициентов таких сис
тем, являясь заполненными квадратными матрицами с большим раз
бросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило, плохо
обусловлены
.
В аналитической теории теплопроводности известны методы, в ко
торых используется понятие глубины термического слоя (интеграль
57
,
-
-
-
-
-
-
ные методы теплового баланса
) [1, 4, 5, 17 – 25, 34 − 38, 48].
При их
использовании процесс нагрева (охлаждения) тел формально разделя
ется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным про
движением фронта температурного возмущения от поверхности к
центру, а вторая
–
изменением температуры по всему объему тела
вплоть до наступления стационарного режима. Перемещение фронта
температурного возмущения учитывается введением новой функции
,
называемой глубиной проникания
)Fo(1q
слоя
).
Такая модель процесса теплопроводности используется в ряде
методов: интегральном методе теплового баланса
реднения функциональных поправок
Био М
. [1, 4],
Вейника А.И
. [4] и др.
[34];
(
глубиной термического
[1, 4, 5];
методах Швеца М.Е
методе ос
. [48],
Несомненным их преимуществом является возможность получения
простых по форме аналитических решений удовлетворительной точ
ности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопро
-
-
-
-
-
водности. Однако их серьезным недостатком является низкая точ
ность. Причина в том, что получаемое решение, точно удовлетворяя
начальному и граничным условиям, основному дифференциальному
уравнению удовлетворяет лишь в среднем. Это связано с тем, что в
основу метода положено построение так называемого интеграла теп
лового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифферен
циального уравнения в пределах глубины термического слоя. Следо
вательно, очевидным путем повышения точности интегральных ме
тодов является улучшение выполнения исходного дифференциально
го уравнения
.
С этой целью в настоящей работе избрано направление аппрокси
мации температурной функции полиномами более высоких степеней
Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов ос
новных граничных условий оказывается недостаточно. В связи с чем
-
-
-
-
-
-
.
,
возникает необходимость привлечения дополнительных граничных
условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения
58
с использованием основных граничных условий и условий, задавае
<Fo0
≤
−λ=
λ
λ
10;
0
≤ξ≤
>
Fo
;0)0;
(
=ξΘ
;1);1
(
=
Θ
Fo
Θ
∂
0
т
c
−
δ
τ
δ=ν
m
δ=ξ
/
x
δξ
−
ρ−=
ξ
1
-
мых на фронте температурного возмущения. Таким путем можно по
лучать аналитические решения ряда краевых задач практически с за
данной степенью точности во всем диапазоне времени нестационар
ного процесса
числа Фурье в области малых его значений
(
∞
)
без каких-либо ограничений на величину
.
Найдем решение нестационарной задачи теплопроводности для
неоднородной неограниченной пластины при экспоненциальной за
висимости коэффициента теплопроводности от пространственной ко
ординаты
где
т –
)exp()(
0
mxx
, (2.1)
коэффициент, характеризующий интенсивность изменения
коэффициента теплопроводности по пространственной координате
(т>0);
–
значение коэффициента теплопроводности при
0
х = 0.
-
-
-
-
-
Из формулы
личины
т
теплопроводность пластины с увеличением координаты
уменьшается
.
(2.1)
следует, что при фиксированном значении ве
Математическая постановка задачи при симметричных гранич
ных условиях первого рода в данном случае имеет вид
ξΘ∂
Fo
∂
Fo
=
∂
νξ−
e
ξ∂
(
ξΘ∂
Fo
ξ∂
)
),(),(
; (2.2)
Fo
),0(
, (2.3)
0
=
ξ∂
где
TT
0
−
;
TT
=Θ
Fo
=
a
0
2
;
;
-
-
;
λ=ξλ
)(
m
e
0
.
Разделяя процесс теплообмена на две стадии, после введения но
вой независимой переменной
матической постановке задачи для первой стадии процесса
,
приходим к следующей мате
59
-
-
1
1
≤ρ≤≤≤
;1),0
(
=
Θ
Fo
1
=
Θ
Θ
∂
(
)
(
)
1
ξ
dFo
1
=
1
1
=
1
=
=
∂
e
ρ∂
ρ−ν−
)1(
∂
ρΘ∂
Fo
Fo
(
Foq
;0),(
ρΘ∂
FoqFoFo
ρ∂
Fo
)(0;0
1
),(),(
; (2.4)
)
),(
Foq
. (2.5)
0
=
ρ∂
Решение задачи
( ) ( )
линома
Fo,
Для их определения используются граничные условия
ределения
qb
1
k
(2.4), (2.5)
n
∑
k
=
k
0
k
ξ=ρΘ
qb
1
(k = 0, 1, 2)
разыскивается в виде следующего по
,
где
qb
k
неизвестные коэффициенты
1
(2.5),
будем иметь систему трех алгебраиче
ских линейных уравнений. После определения коэффициентов
0, 1, 2)
ся к виду
решение задачи
(2.4) – (2.5) в
первом приближении приводит
−=ρΘ
2
)1(),(qFo
Интеграл теплового баланса для уравнения
qq
11
∂
ρΘ∂
Fo
Fo
∂
=ρ
∫∫
00
ed
ρ∂
ρ−ν−
)1(
. (2.6)
(2.4)
ρΘ∂
имеет вид
Fo
),(),(
ρ∂
. (2.7)
ρ
d
для оп
bk (k =
.
-
-
-
Подставляя
)(1Foq
получаем следующее обыкновенное дифференциальное урав
нение
Интегрируя уравнение
ходим
Положив
Соотношения
(2.6) в (2.7),
1
Foq
1)(
(
(2.6), (2.9)
относительно неизвестной функции
dq
q −−=
1
(2.8),
при
v = 1),
1
при начальном условии
=
получаем
)exp(6
v
. (2.8)
. (2.9)
vvFoFoq exp/exp32)(
Fo
представляют решение задачи
q
22652,0
.
0)0(
на-
(2.4), (2.5)
в первом приближении. Результаты расчетов безразмерной темпера
туры по формуле
Для нахождения решения задачи
(2.6)
приведены на рис
(2.4) − (2.5) во
. 2.1.
втором прибли
-
-
-
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]