Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
Fo
)Fo,0(
∂
Θ
∂
dFo
Fo
Θ
∂
9
9
378
1008
dFo
dFo
()()(
)
+−+−=
(
)
()(
)
=
η
(
)
0
=
; (4.22)
dq
)Fo,1(
=
(4.24)
Fo
)Fo,1(
, (4.23)
0
=
∂
Θ∂
∂
ξ∂
∂
Соотношения
(4.22) – (4.24) с
учётом уравнения
(4.10) и
тия возникающих неопределённостей по правилу Лопиталя
водятся к следующим дополнительным граничным условиям
2
ξΘ∂
ξ∂
−
2
)Fo,()Fo,(
ξΘ∂
0
=
; (4.25)
ξ∂
2
Θ∂
2
ξ∂
dq
1)Fo,1(
=
dFo
2
3
Θ∂
)Fo,1(
0
=
3
ξ∂
; (4.26)
. (4.27)
Для получения решения во втором приближении подставим
(
ограничиваясь шестью членами ряда) в соотношения
(4.25) – (4.27).
=
)
будем иметь цепочную систему шести алгебраических линей
5,0
Для определения неизвестных коэффициентов
ных уравнений. После их определения соотношение
вид
( )
ξ
+
3
1
( )
1Fo,
9
1
ξ
+
3
42
13
4
dq
432
ξ+ξ+ξ−
.
dFo
5432
( )
(4.12) – (4.14),
(4.15)
q11655601020
+−ξ−ξ+ξ−ξ+ξ−=ξΘ
принимает
(4.28)
раскры
[17]
при
(4.15)
bk(q), (k
-
-
-
Подставляя
(4.28) в
неизвестной функции
уравнение
где
/
q
=
dq
13
q
2
=
;
//
q
Интегрируя уравнение
где
C
,
C
–
1
Подставляя
1
постоянные интегрирования
2
(4.30) в (4.28),
интеграл теплового баланса
q(Fo)
173
qd
.
2
получаем следующее дифференциальное
///
q
(4.29),
20
находим
21
20
q
0
=−++
. (4.29)
.
получаем
Fo
11
Fo
2
432
ξ−ξ+ξ−ξ+ξ
91655601020
;
2
1
(4.17),
относительно
,1Fo682,29expCFo8051,5expCFoq
(4.30)
Fo
112
+ξ=η
ν+νη−++η−=ξΘ
ξ
42
2
3
Fo
ν−ν−ν−ν−
2121
eСeС1eСeС1Fo,
22
13
−ξ−
, (4.31)
3
ξ
4
4
ξ+
3/
151
8051,5
=
ν
=
ν
ξ
η
(
)
ξ
η
(
)
=
−
=
=
0
=
ξ
1
=
ξ
1
0
<ξ<
1
;
2
682,29
Для определения постоянных интегрирования С
невязку начального условия
вязок к собственным функциям
1
∫
0
Соотношение
( ) ( )( )
(4.32)
относительно
(4.11) и
1
С
потребуем ортогональности не
)(
и
2
0СССС1
=
ην+νη−+η−
i22112211
1
и С
2
,
представляет систему двух
и
С
1
2,1i
(4.32)
составим
2
-
алгебраических линейных уравнений, из решения которой находим
С
1
тегрирования
5709654,1
;
С
Соотношение
С
1
7258078,0
2
(4.31) с
и
С
представляет решение задачи
2
учётом найденных значений постоянных ин
(4.10) – (4.13) во
втором приближении. Оно точно удовлетворяет граничным условиям
(4.12), (4.13),
виям
в точке
(4.25) – (4.27).
соотношениям
Выполнение дополнительного граничного условия
(
условие
(4.25))
(4.14) и
дополнительным граничным усло
означает выполнение в этой точке уравне
-
-
-
ния
(4.10) в
частей
).
выполнение в этой точке уравнения
прямом смысле
–
Выполнение условий
через равенство нулю его правой и левой
(4.26), (4.27) в
(4.10), но
чения правой и левой частей. Уравнение
также начальное условие
женно (во втором приближении
Результаты расчетов по формуле
методу
[20]
приведены на рис
таточной сходимости результатов
(4.9) в
).
. 4.3. Их
данном случае выполняются прибли
(4.31) в
анализ позволят заключить о дос
.
точке
уже не через нулевые зна
(4.10)
внутри области
также означает
)
сравнении с решением по
,
-
-
152
∞<<Fo0
Рис
. 4.3
Распределение температуры в
цилиндре
(4.31), – по
– по
методу
[20]
формуле
Таким образом, на основе интегрального метода теплового ба
ланса получены приближенные аналитические решения задач тепло
проводности для процесса нагрева
линдра при граничных условиях
стационарного процесса
(
охлаждения) бесконечного ци
1 – го
.
рода в диапазоне времени не
4.2. Аналитические решения задач теплопроводности для пла-
стины с переменными физическими свойствами среды
Процесс получения аналитического решения краевых задач со
гласно методу, изложенному в п
. 4.1.,
сводится к интегрированию
обыкновенного дифференциального уравнения. Преимуществом дан
-
-
-
-
-
-
ного подхода является возможность его применения для решения за
дач со сложными дифференциальными операторами в уравнениях
например, нелинейных, с переменными физическими свойствами, а
также для задач с переменным начальным условием, переменными во
времени граничными условиями, с источниками теплоты и др
.
В качестве конкретного примера применения изложенного мето
да к решению более сложных задач рассмотрим задачу теплопровод
ности для бесконечной пластины с переменными физическими свой
ствами среды
функция координаты) в следующей математической постановке
(
коэффициент теплопроводности
153
–
экспоненциальная
,
-
-
-
∂∂∂
∂
xT
)δ0;0τ(
<<>
x
=
(
)
=∂∂
=
−
=
0=x
)
1ξ0;0Fo(
<<>
0)0,(
=ξΘ
∂
1)Fo,1
(
=
Θ
∆−=
/
δ
ξ
x
=
a
−=∆
δ=x
δνm
=
c
ρ
∂
=
τ
)τ,(
x
)(
λ
x
xT
)τ,(
;
∂
x
(4.33)
где
c –
теплоёмкость
)0,( TxT
;
0
; ρ –
τ
,0
плотность
фициент теплопроводности при
В безразмерном виде задача
∂
∂
∂
)Fo,ξ(Θ
=
∂
ξFo
∂
−
νξ
e
∂
ξ
; (4.36)
TTT
Θ
где
ная координата
–
коэффициент температуропроводности
/)(
−
0
;
Fo a=
безразмерная температура
2
−
τ/δ
число Фурье
xT
;0/
;
; m –
коэффициент
(4.33) – (4.34)
)Fo,ξ(Θ
;
Θ
∂
, (4.38)
; τ –
; δ –
)τ,δ( TT
0
mxx
примет вид
)Fo,0(
; (4.37)
0
=
ξ
;
время
; x –
толщина пластины
, (4.34)
ст
)exp(λ)(λ
;
λ
−
коэф
0
.
(4.35)
−
безразмер
координата
-
-
;
;
TTT
;
0ст
при
;
Как и в п
функцию вида
Решение задачи
виде
k
ξ
где
)ξ( =ϕ
k
T
−
0
.
. 4.1.,
ξ
начальная температура
введём в рассмотрение дополнительную искомую
(4.35) – (4.38), с
n
ϕ=
∑
=k
),0(
nk =
–
qb
kk
0
алгебраические координатные функции. От
,
ξ
)()()Fo,Θ(
учётом
T
;
)Fo,0(Θ)Fо( =q
(4.39)
−
ст
температура стенки
(4.39),
),0(
nk =
разыскивается в
(4.40)
метим, что применение алгебраических функций связано с тем, что
ввиду сложности применительно к данной задаче дополнительных
граничных условий (см. ниже условия
(4.47) – (4.49))
они не могут
-
быть выполнены заранее путем применения тригонометрических
функций. Алгебраические координатные функции в данном случае
более предпочтительны, так как они приводят к цепочным системам
154
алгебраических линейных уравнений относительно неизвестных ко
)2,1,0(=k
0
)νexp(
))Fo(1(
3
=−−−′
q
q
Fo/)Fo(ddq
q
=
′
1
−
−
1
1
−
−
)
(
ξ
ψ
1
−
=
1
-
эффициентов
для любого числа приближений
Для получения решения задачи
(
ограничиваясь тремя членами ряда) в
для определения неизвестных коэффициентов
)(qb
,
k
что позволяет находить их решения практически
.
(4.35) – (4.38)
(4.39), (4.37), (4.38).
k
подставим
)(qb
(4.40)
Отсюда
,
будем
иметь три алгебраических линейных уравнения. После нахождения
)(qb
соотношение
k
Интеграл теплового баланса для уравнения
виде
1
0
∂
Θ
∂
(4.40)
ξ
Fo),ξ(
Fo
принимает вид
1
∂
ξ
=
∫∫
ξ
∂
0
νξ
−
∂
2
ξ
Θ
∂
))Fo(1()Fo()Fo,Θ(
. (4.41)
ξ
(4.35)
)Fo,ξ(
ξ
ded
записывается в
. (4.42)
qq −+=
Подставляя
где
Интегрируя уравнение
где
–
C
постоянная интегрирования
Подставляя
где
ψ
1)ξ(
(4.41) в (4.42),
.
(4.44) в (4.41),
ξ
2
ξ
−=
.
находим
(4.43),
1)Fo(
+= eCq
находим
1)Fo,Θ(
+= eC
получаем
.
)νexp(Fo3
, (4.43)
)νexp(Fo3
, (4.44)
)ξ(
ψ
, (4.45)
Для определения постоянной интегрирования составим невязку
начального условия
функции
,
являющейся, по сути, собственной функцией
(4.36) и
1
[ ]
∫
0
1
потребуем ортогональности невязки к
)1(1
dC
22
)
ξ
1(
ξ
0
ξ
=−−+
. (4.46)
Определяя интеграл в
Соотношение
интегрирования
(4.46),
(4.45), с
,
представляет решение задачи
C
учётом найденного значения постоянной
находим
155
C
.
2/3
(4.35) – (4.38) в
первом приближении. Оно точно удовлетворяет граничным условиям
)5,,2,1,0
(
=
k
)5,,2,1,0
(
=
k
1
−ν=
2
ν−ν+=
−ν=
4
−ν=
=
)3(
15
ν−ν+=
)Fo(
q
(4.37) – (4.38),
первом приближении
интегралу теплового баланса
) –
уравнению
(4.35) и
(4.42) и
приближенно (в
начальному условию
(4.36).
Для повышения точности решения необходимо увеличивать чис
ло членов ряда
находить из основных граничных условий
(4.39) и
некоторых дополнительных граничных условий, определяе
(4.40),
неизвестные коэффициенты которого будем
(4.37), (4.38),
соотношения
мых согласно рассмотренному выше методу. И, в частности, для по
лучения решения задачи
условия имеют вид
ν2
(4.35) – (4.38) во
−
3
∂
)Fo,0(Θ
=
2
∂
ξ
∂
2
∂
)Fo,0(Θ
2
2
ξ
∂
∂
dq
d
ξ
Fo
втором приближении эти
)Fo,0(Θ
; (4.47)
0
3
=
Fo)(
(4.48)
-
-
-
2
∂
ξ
∂
)Fo,1(Θ
2
−
∂
ν
∂
)Fo,1(Θ
. (4.49)
0
=
ξ
Подставляя (4.40) (ограничиваясь шестью членами ряда) в соотношения (4.37) – (4.39), (4.47) – (4.49), относительно )(qb
K
будем иметь цепочную систему шести алгебраиче-
k
ских линейных уравнений. Соотношение (4.40) после определения
)(qb
,
k
где
µ
5
Подставляя
K
′
+=
;
)4(30µ
.
(4.50) в
принимает вид
+
′
5
qq′+−+
54
3
; )8(6
µ
)419(54µ
+−+
)2/µ/(ξ)µ)1(µ(
, (4.50)
3
32
интеграл теплового баланса
′
21
(4.42),
;
4
+
µ/ξ)µ)1(µ(3/ξν2/ξ)Fo,Θ(ξ qqqqq
3
)3(12µ
после оп
-
,
;
ределения интегралов относительно неизвестной функции
по-
лучаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение вто
рого порядка
156
-
2
1
=−+′+′′
=
′
1
2
ν
ν
221
1
++=
1
2
2
2Fo1
1
=
ν
=
µµ−µ=
µµ−µ=
)2,1(=k
1
ξ
ψ
2
ξ
ψ
1
2
)2,1(=j
−
)2,1(=k
1
2
0=ν
−
−
−
−
qqrqr
, (4.51)
01
где
eer
Интегрируя уравнение
′′
;
Fo)Fo( ddqq
−ν−−ν−=
60/)92182(
.
(4.51),
получаем
22
Fo)Fo( dqdq =
;
где
Подставляя
где
Подставляя
zR
,1 kk
2
222,1
(4.52) в (4.50),
ξ
;
2/
(4.53) в
1)Fo,Θ(
С
,1
,2
zR
kk
начальное условие
;
)2/()4(
rrrrz −±−=
11
находим
2
zR
kk
,
C
)(
ξψ
e
,2
;
3/
/)(2
C
–
постоянные интегрирования
С
++=
3
;
345,4
4
,3
нальности полученной невязки к функциям
, (4.52)
)Foexp()Foexp(1)Fo(
zCzCq
Fo
zz
21
)(
ξψ
e
, (4.53)
5
,1)(ξψ
ξ−ξ+ξ+ξ+=
RRRR
,4
kkkkk
zR
kk
.
(4.36) и
)(
и
2
+ν−ν=νer
3600/)666(
;
/)(
312,3
требуя ортого
,
относи
)(
;
.
-
-
тельно констант интегрирования
гебраических линейных уравнений
1
∫
0
2211
Из решения системы уравнений
aza
21
)( azz
где
C
=
k
k
−
3
Если положить
виду
, то
соотношения
и
C
j
(4.54)
,
321
получаем систему двух ал
C
0ξ)ξ(ψ)]ξ(ψ)ξ(ψ1[(
=++
dCC
.
находим
(4.54)
-
(4.55)
17925088304157848618084 ν+ν−ν−ν+=a
10920178200446404254480 ν+ν−ν−=a
(4.52), (4.53)
432
;
32
;
432
ν+ν−ν−ν+=a
приводятся к
42/)8869121548515664740920830501684(
.
4061,02572,11)Fo(
+−= eeq
ξ−ξ+ξ−+ e
Fo0745,22Fo47097,2
; (4.56)
)9941,40703,94823,440612,0(
Fo0745,22542
. (4.57)
Отметим, что коэффициенты под знаком экспонент в соотноше
157
)055767,035183,0,553312572,1(1Fo),( e
Fo47097,2542
+ξ+ξ−ξ+−+=ξΘ
-
ниях
1
=
2
=
)2,1(=k
1
=
2
=
0ν=
∞<≤
Fo1,
0
%
1
−
Θ
ξ
01,0
ν
=
(4.56), (4.57)
незначительно отличаются от точных значений
собственных чисел краевой задачи Штурма
вид
z
4674,2
понентами соотношения
;
.
z
2066,22
(4.56)
Коэффициенты
незначительно отличаются от коэф
–
Лиувилля, имеющих
kC ,
перед экс
фициентов классического точного аналитического решения, полу
чаемых из выполнения начального условия краевой задачи, точные
значения которых имеют вид
Анализ результатов расчётов при
C
2732,1
;
C
по
4241,0
формуле
.
(4.57) в
срав
нении с классическим точным аналитическим решением задачи
(4.35) – (4.38)
расхождение не превышает
позволяет заключить, что в диапазоне
.
их
Аналогично могут быть найдены решения и для других прибли
жений. При их получении не возникают какие
ные трудности
–
возрастает лишь объем вычислительной работы, что
–
либо принципиаль
-
-
-
-
-
-
связано со сложностью решаемой задачи, являющейся, по сути, нели
нейной (нелинейность второго рода, связанная с зависимостью физи
ческих свойств от пространственной переменной
).
1,0
1
0,8
0,6
0,4
0,2
2, 3, 4
1
0 1,00,2
5
5
2, 3, 4
5
2, 3, 4
5
3, 4
0,4
2
5
0,6 0,8
3
4
5
-
-
Р и с. 4.4. Распределение температуры в пластине при
:
1 – по формуле по формуле (3.278) из [43]; 2, 3, 4 – по форму-
ле (47) соответственно во втором, третьем и четвертом приближении; 5 – численное решение
158
01,0
ν
=
∞<≤
Fo05,
0
∞<≤
Fo01,
0
Результаты расчётов температуры по формуле
(4.53)
при
в сравнении с результатами первого приближения, полученного в ра
боте
рис
совпадают с расчетом численным методом (метод прогонки
4.4
ле
Из их анализа видно, что при увеличении числа членов ряда
[43], а
. 4.4.
также с расчетом по методу конечных разностей, даны на
Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне
результаты расчетов по формуле
(4.53)
практически
). На
представлены также результаты расчетов температуры по форму
(4.40) в
третьем
и
четвертом приближениях
)8,0( =k
(4.40) и
рис
)11,0( =k
привлечении дополнительных граничных условий, определяемых со
гласно рассмотренному выше методу, точность получаемых решений
существенно возрастает, что свидетельствует о сходимости метода
.
-
.
.
-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.
Применительно к задаче теплопроводности с переменными фи
зическими свойствами среды получено наиболее простое по форме
численно-аналитическое решение путем совместного использования
метода Фурье и ортогонального метода Бубнова
−
Галеркина, а также
дополнительных граничных условий. Этот метод наиболее эффекти
вен во второй стадии процесса теплообмена, и, в частности, в диапа
зоне числа Фурье
решения практически совпадают с точными
2.
Разработаны теоретические основы метода получения числен
получаемые численно-аналитические
.
-
-
-
-
но-аналитических решений нестационарных задач теплопроводности
для многослойных конструкций (в том числе и с переменными в пре
делах каждого слоя физическими свойствами среды
).
Получение та
ких решений оказалось возможным благодаря использованию гло
бальной системы неизвестных функций времени (одинаковой для ка
159
-
-
-
-
ждого контактирующего тела
),
что позволяет представлять много
-
слойную конструкцию в виде однослойной с переменными (кусочно
неоднородными) свойствами среды
3.
Для решения задач теплопроводности для многослойных кон
.
струкций разработан рекуррентный метод построения систем коор
динатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и
условиям сопряжения. Отличительной особенностью метода является
возможность последовательного построения координатных функций
для каждого слоя, начиная с последнего, при использовании метода
неопределенных коэффициентов
4.
Разработан метод нахождения аналитических решений краевых
.
задач теплопроводности для многослойных тел, основанный на со
вместном применении интегрального метода и теории обобщённых
функций, позволяющий благодаря использованию функции Хевисай
да представлять многослойное тело в виде однослойного с перемен
-
-
-
-
-
-
ными свойствами
5.
Разработан метод позволяющий построить модель, практиче
.
ски эквивалентную образцу в смысле оказываемого ею сопротивле
ния процессу переноса теплоты во всем диапазоне времени нестацио
нарного процесса. В данном случае построение однослойной модели
основывается либо на изменении толщины слоев, либо, при неизмен
ных толщинах, на изменении их теплофизических коэффициентов
Существенное отличие лишь в том, что как толщина модели, так и ее
теплофизические свойства должны быть переменными во времени
величинами
6.
Предложен метод решения краевых задач теплопроводности
.
для многослойных тел, в котором используется глобальная система
неизвестных функций времени и локальные для каждого слоя коор
динатные функции, в каждом приближении удовлетворяющие гра
ничным условиям и условиям сопряжения. Такой путь получения
-
-
-
.
-
-
решения позволяет свести многослойную конструкцию к однослой
ной с переменными (разрывными) физическими свойствами
Разработаны новые математические модели термоупругости
7.
.
для многослойных тел, основанные на представлении многослойной
160
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]