Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
а)
)(x
h
λ
=
)(xfh
=
dxdhh
x
∂
∂
∂
∂
τλτ
∂∂=∂∂
τλτ
б)
Р и с. 1.3. Изменение невязки ε уравнения (1.6) во времени (четвер-
тое приближение): а) ξ = 0,2; б) ξ = 0,007
а)
Р и с. 1.4. Изменение невязки ε уравнения (1.6) во времени (четвер-
тое приближение): а) Fo = 0,1; б) Fo = 0,025
Рассмотрим еще один подход применительно к решению такого
б)
типа задач на примере решения задачи
(1.2) – (1.5).
Для удобства вводим новую независимую переменную
x
Дифференцируя
Так как
(1.23),
, то
x
)(
λ
находим
Последнее соотношение с учетом
Из соотношения
по переменной
С учетом
(1.24), (1.25)
h
(1.25)
следует, что производная от температуры
является мерой теплового потока
задача
=
∫
0
xT
),(
=
(1.6) – (1.9) в
xdxxh
)]([)(
λ
)(1)( xdxxdh
. (1.24)
x
)(
(1.24)
. (1.23)
hT
),(
приводится к виду
xxTxhhT
),()(),(
. (1.25)
.
переменной
[26]
.
h
прини
-
мает вид
21
∂
∂
τλττ
≤≤>
τ
=
=∂∂
τ
=
τ
где
+
δ
+
+
=
λ
λ
−−=
Θ
ρλ=
()(
)
ξξξ
Θ
∂
Θ
∂
0>Fo
10≤Θ≤
1
0
≤ξ≤
1)0,(
=ξΘ
Θ
∂
0),1(
=
Θ
Fo
)()(),(
ξΨϕ=ξ
Θ
Fo
Fo
=µϕ+
ϕ
(
)
=
)
exp(
)(FoAFo
µ−=
ϕ
=ξΨ
0)1
(
=
Ψ
с
hT
ρ
1),(
=
∂
2
)(
h
∂
hh
0),0(
)0,( ThT
; (1.27)
0
hT
; (1.28)
),(
hT
; (1.26)
2
h
)0;0(
n
),( ThT
n
, (1.29)
ст
x
xh
)(
=
∫
0
dx
=
mx
+
0
)1(
mx
)1ln(
;
m
λλ
0
hh
n
.
Введем следующие обозначения
где
ca
.
0
);()(
TTTT
ст0ст
С учетом принятых обозначений задача
Fo
1,
=
1
∂
(
+
;
hmFo
n
Fo
; (1.31)
ξ∂
2
),0(
)(
δ
==
ξ
,
2
ξ
∂
;
; (1.32)
0
=
m
)1ln(
m
λ
0
h
;
=
h
n
Foτ=
(11) – (14)
;
a
h
будет
2
n
0
,
Fo
; (1.30)
)
)1()(
mhh
. (1.33)
Решение задачи
Подставляя
где
hmv
; µ –
n
Решение уравнения
где
А –
неизвестный коэффициент
(1.30) – (1.33)
(1.34) в (1.30),
1
1
ξ+ v
находим
2
ξΨ∂
2
ξ∂
некоторая постоянная
(1.35)
известно и имеет вид
Найдем решение уравнения Штурма
условия для него согласно
dd
0)0(
; (1.38)
(1.32), (1.33)
принимается в виде
. (1.34)
FodFoFod
0)()(
; (1.35)
0)(
=ξΨµ+
, (1.36)
.
, (1.37)
.
–
Лиувилля
будут
(1.36).
. (1.39)
Граничные
22
Решение задачи
i
0
1)0
(
==Ψ
const
0
=
ξ
1
=
ξ
=
ξ
()()(
)
0
=
ξ
0
=
ξ
(1.36), (1.38), (1.39)
разыскивается в виде следую
-
щего ряда
где
i
Если ограничится десятью членами ряда
неизвестных коэффициентов
два
(1.38) и (1.39). В
=
n
),(
∑
=
),0( nia
–
неизвестные коэффициенты
i
i
ξ=ξµΨ
a
, (1.40)
i
.
(1.40)
)9,0( =ia
, а
граничных условий только
будем иметь десять
связи с чем, необходимо добавить еще восемь
дополнительные граничных условий. Первое из них согласно соот
ношению
(1.31)
будет
. (1.41)
Для нахождения других дополнительных граничных условий бу
дем использовать дифференциальное уравнение
уравнение применительно к точкам
и
дующие два дополнительных граничные условия
II
; (1.42)
µ−=Ψ )0(
II
(1.36).
,
Записывая это
будем иметь сле
. (1.43)
0)1( =Ψ
-
-
-
Продифференцируем уравнение
полученное соотношение к точке
−
Учитывая
1
( )
1
ξ+
vv
(1.38) и (1.42), из (1.44)
тельное граничное условие
Дифференцируя уравнение
2
d
2
ξΨ
2
ξ∂
1
+
1
III
(1.36)
меняя полученное соотношение к точке
дополнительное граничное условие
IV
ξ+
v
)0( µ=Ψ
(21) по
3
3
ξ∂
переменной
0
ξΨ
dd
µ+
ξ и
применим
ξΨ
ξ∂
0
=ξ
. (1.44)
0
=
получаем еще одно дополни
. (1.45)
v
µ−=Ψ )0(
дважды по переменной
,
получаем следующее
ξ и
2
. (1.46)
Посредством многократного дифференцирования уравнения
и последующего применения получаемых выражений к точке
-
при
-
(1.36)
можно найти любое количество дополнительных граничных условий
Например, следующие четыре условия имеют вид
23
.
V 2
=
1
=
2
µ−=
µ−=
4
180
720
560
29823240
6720
272453720
2880
(
)
µ
−
−
1
=
µ
15,194384
2
=
µ
365983
=
µ
46808
4
=
µ
4)0( µ=ψ
; (1.47)
v
VI
4)0( µ−µ=ψ v
322
; (1.48)
Найдем коэффициенты
двух основных
(1.45) – (1.49)
(1.38), (1.39) и
граничных условий. Подставляя
VII 3
i
восьми дополнительных
)9,0( =ia
9)0( µ−=ψ
ряда
ные условия, относительно неизвестных коэффициентов
; (1.49)
v
(1.40)
при использовании
(1.41) – (1.43),
(1.40) во
все гранич
i
будем иметь систему десяти алгебраических линейных уравнений. Её
решение
a
Подставляя найденные значения коэффициентов
;
2
30/
µ=a
)9,0( =ia
в
+
67
2
µ=a
23
µ
+
;
24/
5
µ
−
.
i
0
a
1
0
;
µ
−=a
6
;
+
µ
a
23
;
9
2/
a
;
3
3
µ
−=a
7
11
µ
=a
;
143
−
6/
;
47
µ
=a
8
23
µ
−
µ
−
-
)9,0( =ia
;
(1.40),
находим
0055,0(033,001,016,05,01)(
32
. (1.50)
)0038,019,02,2
µ−µ+µ−
26524232
−µξ+ξµ+ξµ+µξ−µξ−=ξΨ
Для определения собственных чисел найдем интеграл взвешенной
невязки уравнения Штурма
1
1
∫
Подставляя
( )
0
(1.50) в (1.51),
ξ+
1
v
лучаем характеристическое уравнение вида
Уравнение
1,895949
(1.52)
;
имеет следующие действительные корни
–
Лиувилля
2
d
ξΨ
2
ξ
d
относительно собственных чисел
(1.36)
( )
ξΨµ+
d
. (1.51)
=ξ
0
23244
. (1.52)
0546,2609,1147,0exp388,0exp264,0
=−µ+µ−µ+µ−
;
3
,53
;
,94
9328733
5,3()5,40069,027,087,2(0017,0)0013,0
по-
i
.
−ξ+−µ+µ−µξ+ξµ−µ−
Собственные функции для каждого собственного числа находятся
из
(1.50).
Подставляя
будем иметь частные решения вида
(1.37) и (1.50) в (1.34),
24
для каждого собственного числа
i
∑
0
i
k
0
1
)4,3,2,1(=k
1
=
0,4495
2
−
=
=
4
−
=
)0,1(
=
ν
0=m
)0,1(
=
ν
∞<≤
Fo1,
0
=
9
aFoAFo ξµµ−=ξΘ
ikkk
i
)()exp(),(
.
k
)4,1( =k
(1.53)
Каждое частное решение вида
ным условиям
ма
(1.32), (1.33), но ни
n
не удовлетворяют начальному условию
(1.53)
точно удовлетворяет гранич
одно из них, в том числе и их сум
9
aFoAFo ξµµ−=ξΘ
∑∑
kk
i
==
(1.31).
i
)()exp(),(
,
k
)4,1( =n
(1.54)
Для выполнения на
чального условия составляется его невязка и требуется ортогональ
ность невязки к каждой собственной функции, т.е
1
4
∑ ∑
∫
k
0
Определяя интегралы в
циентов
A
k
9
1
ik
0
i
i
k
(1.55),
получаем систему четырех алгебраических
9
−ξµ
∑
0
== =
i
j
i
)4,1( == kj
относительно неизвестных коэффи
линейных уравнений, из решения которой находим
.
i
daaA
0)(1)(
=ξξµ
. (1.55)
A
1,3185
-
-
-
-
-
A
A
,
3
1434,0
A
,
После определения коэффициентов
(1.30) – (1.33)
формуле
(1.54)
Если положить
находится из
даны на рис
(1.54).
7893,0
.
A
)4,1( =k
k
решение задачи
Результаты расчетов температур по
. 1.
, то
задача
(1.30) – (1.33)
приводится
к задаче с постоянными физическими свойствами среды, точное ре
шение которой известно
диапазоне чисел
[25].
Результаты расчетов для этого случая в
практически совпадают с точными
.
-
25
1,0
9,0=Fo
ξ
Θ
4=n
02,0=Fo
≤ξ≤
0
=
ξ
9,0
=
ξ
05,0≥Fo
ε
ξ
5,0=Fo
Fo
ε
1,0
=
ξ
0,8
0,6
0,4
0,2
0,1
0,3
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8
Р и с. 1.5. Изменение температуры в
пластине при линейной зависимости
коэффициента теплопроводности от
пространственной координаты (1.54)
На графиках рис
(1.30)
диапазоне
при
. 1.6, 1.7
.
Из анализа графика следует, что при
0,5
уравнение
дано изменение невязки
(1.30)
удовлетворяется точно. Мак
симальная невязка имеет место вблизи точки
(1.30) в
нулю
.
точке
для
становится практически равной
1,0
ε
уравнения
1
.
Невязка уравнения
Незначительные величины невязок свидетельствуют о достаточно
высокой точности получаемых решений
.
в
-
Р и с. 1.6. Изменение не-
вязки уравнения (1.30)
(
)
Р и с. 1.7. Изменение не-
вязки уравнения (1.30)
(
26
)
1.2. Коэффициент теплопроводности – экспоненциальная
−λ=
λ
λ
0=x; 0>m
)
(
x
λ
τ
∂
∂
τ
∂
0
(
>
τ
)
0
δ<<
x
=
=τδ
=∂τ
∂
δ=x
−−=
Θ
δ=ξ
1)0;0Fo
(
<<>
x
1)0,(
=ξΘ
0)Fo,1
(
=
Θ
=ξ∂Θ∂
δ=ν
m
функция координаты
Найдем решение нестационарной задачи теплопроводности для
бесконечной пластины при экспоненциальной зависисмости коэффи
циента теплопроводности от пространственной координаты, исполь
зуя изложенный выше метод
где
–
величина коэффициента теплопроводности при
0
–
коэффициент, характеризующий интенсивность изменения
При конкретном значении величины
, (1.56)
)exp()(
0
mxx
m
коэффициент теплопро
.
водности пластины при увеличении координаты уменьшается, это
следует из соотношения
(1.56).
Математическая постановка задачи при симметричных гранич
ных условий первого рода в данном случае имеет вид
∂
xT
),(
;
x
xT
),(
ρ
c
=
τ∂
∂
λ
x
)(
x
;
(1.57)
-
-
-
-
где
та
; τ –
при
c –
)0,( TxT
теплоемкость
время
;
T
.
; (1.58)
0
–
начальная температура
0
Безразмерные переменные
Задача
(1.57) – (1.60) с
ξΘ∂
∂
Fo
; (1.63)
где
Решение задачи
.
(1.62) – (1.65)
; ρ –
∂
)Fo,(
=
),( TT
плотность
)()(
TTTT
;
cт0cт
учетом
e
ξ∂
(1.61)
νξ−
0),0(
; (1.59)
ст
; Т –
температура
T
;
x
;
примет вид
ξΘ∂
)Fo,(
;
ξ∂
; (1.64)
–
cт
Fo δτ= a
температура стенки
xT
; х –
2
, (1.60)
координа
. (1.61)
0)Fo,0(
(1.62)
, (1.65)
отыскивается в виде произведения
-
двух функций
27
)()Fo()Fo,(
ξΨϕ=ξ
Θ
. (1.66)
=µϕ+
ϕ
)Foexp(
)Fo(
µ−=
ϕ
A
0)1
(
=
Ψ
=ξΨ
πξ=ξ
12−=i
r
ξ
1
const
)0(
==Ψ
1
1
=
Подставляя
где
µ –
некоторая постоянная
Решение уравнения
(1.66) в (1.62),
d
e
ξ
d
d
νξ−
(1.67)
находим
dd
ξΨ
ξ
d
0)Fo(Fo)Fo(
; (1.67)
0)()(=ξΨµ+
.
известно и имеет вид
, (1.68)
, (1.69)
где
А –
неизвестный коэффициент
.
Найдем приближенное аналитическое решение задачи
Граничные условия для нее согласно
;
Решение задачи
дующего ряда
(1.68), (1.69), (1.70)
(1.64), (1.65)
разыскивается в виде сле
будут
dd
(1.68).
0)0(
. (1.70)
-
n
∑
=
i
где
i
=
;
ni ,1=
–
неизвестные коэффициенты
),1( nia
) –
координатные функции
Принятая система координатных функций
ношению
(1.70).
(1.70),
Задавая
a
та
(1.71)
точно удовлетворить граничным условиям
Для получения решения в первом приближении, исходя из
введем следующее дополнительное граничное условие
n = 1
подставляем
соотношение
(1.71) в (1.72)
cos
a
1
(1.71),
π
ξ
2
ξ=ξµΨ
Na
1
)(),(
, (1.71)
ii
;
i
rN
.
N
)(
i
позволила соот
(1.68),
. (1.72)
для определения коэффициен
.
1
=
0
=ξ
)2/cos()(
(
-
-
Получаем
Выражение
образом
(1.71) в
.
первом приближении выглядит следующим
1
a
28
(
)
2/cos)(
πξ=ξ
Ψ
0
=
ξ
1
=
ξ
=
µ
1
0
=
ξ
1
2
(
)
1
(
)
2
0
=
ξ
1
=
ξ
1
=
µ
2
=
µ
µ−ξµΨ=ξ
Θ
. (1.73)
Для того чтобы определить первое собственное число составля
ется интеграл невязки уравнения
е
.
1
−
∫
0
2
Отсюда находим
πξπ
sin
2
0,908.
−
4
ee
(1.68) в
2
ξξ
πξπ
cos
2
пределах от
πξ
µ+
cos
2
d
до
. (1.74)
0
=ξ
, т.
Чтобы получить решения во втором приближении необходимо
привлечь ещё одно дополнительное граничное условие, которое по
лучается из уравнения
Задавая
условия
n = 2 в (1.71) и
(1.72), (1.75),
(1.68) в
точке
II
µ−=Ψ )0(
. (1.75)
осуществляя подстановку в граничные
неизвестные коэффициенты
a
и
a
находятся
-
-
из системы двух алгебраических линейных уравнений. Решение сис
темы имеет вид
Подставляя
Подставляя выражение, представленное выше в
интегралы в пределах от
8/49 πµ−π=a
(1.76) в (1.71),
22
;
находим
до
22
8/4 ππ−µ=a
. (1.76)
2222
πξππ−µ+πξπµ−π=ξΨ
(1.68) и
,
относительно первых двух
)23cos()8(4)2cos(])8/(49[)(
вычисляя
.
собственных чисел получаем следующее характеристическое уравне
ние
Корни уравнения
(1.77),
венных числа уравнения
2
представляют собой два первых собст
(1.68),
которые имеют следующие значения
086664,0850297239,043067520,0
=−µ+µ−
. (1.77)
-
-
-
Подставляя
1,064
(1.69), (1.71) в (1.66),
;
будем иметь частные решения вида
18,96
.
для каждого собственного числа
AFo
29
)Foexp(),(),(
. (1.78)
iiiii
Каждое частное решение вида
1
=
2
−
=
6=n
(1.78)
точно удовлетворяет основ
-
ным граничным условиям
сти от числа членов ряда
нако ни одно из них, в том числе и их сумма
не удовлетворяют начальному условию
ношение
(1.79)
удовлетворяло начальному условию
(1.68), (1.70) и
(1.71))
n
∑
1
i
=
удовлетворяет уравнению
A µ−ξµΨ=ξΘ
in
приближённо (в зависимо
(1.62).
)Foexp(),()Fo,(
iii
(1.63).
, (1.79)
Для того чтобы соот
(1.63),
составля
Од
ется его невязка и требуется ортогональность невязки ко всем коор
динатным функциям, т. е
1
n
∑
∫
1
=
i
0
Вычисляя интегралы в
.
iii
(1.80),
−ξµΨ
dNA
j
0)(1),(
=ξξ
. (
nj ,1=
) (1.80)
для нахождения коэффициентов
A
получим систему алгебраических линейных уравнений, число кото
-
-
-
-
-
i
-
рых равно
чисел
).
Соотношение
n, т. е.
1
[ ]
∫
0
1
[ ]
∫
0
количеству приближений (количеству собственных
(1.80)
для двух приближений примет вид
=ξξ−ξµΨ+ξµΨ
dNAA
222111
1
;0)(1),(),(
(1.81)
=ξξ−ξµΨ+ξµΨ
dNAA
222111
2
.0)(1),(),(
Подставляя соответствующие каждому собственному числу соб
ственные функции в соотношения
алгебраических линейных уравнений находим
A
(1.81), из
21,25122290
;
A
решения системы двух
60,40239648
.
Для получения решения, например, в шестом приближении
(
) к
граничным условиям
(1.68), (1.70), (1.72), (1.75)
вводятся
-
следующие дополнительные граничные условия
22
VI
VIII
30
VIVIII
µν−νµ+νµ−µ=Ψ
:
;0)0(;3)0(;0)0(
=Ψµν−µ=Ψ=Ψ
4223
;523)0(
µν−νµ+µ−=Ψ
642234
IX
;720186)0(
VII
0)0( =Ψ
;0)0( =Ψ
; (1.82)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]