Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
тодами, изложенными в
===
Р и с. 2.3. Распределение температуры в трехслойной пластине.
[27, 41].
– расчет по формуле (2.90) (восьмое приближение);
– метод прогонки
1,0
0,6
0,4
0,8
0
,
0
0
,
0
1
Θ
0
,
0
5
0
,
1
8
7
0
,
5
0
,
9
3
0,03
8
7
0
5
0
,
0
0
0
,
0
0
1
0
1
8
7
0,2
F
o
=
1
,
8
7
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Р и с. 2.4. Распределение температуры в трехслойной пластине, при-
веденной к однослойной (λ1 = λ2 = λ3 = λ;
81
ξ
aaaa
321
); – по
формуле (2.63) (восьмое приближение); – точное решение [5]
1
τ≤τ
≤
(
)
∞<τ≤τ
1
10Fo10
−
−
≤
≤
2.4. Обобщенные функции в задачах
теплопроводности для многослойных конструкций
В настоящем разделе реализуется последовательность получения
решения задачи теплопрововдности для многослойной пластины при
совместном использовании интегрального метода теплового баланса
и ортогонального метода Л.В. Канторовича. Этот метод дает возмож
ность оценить температурное состояние конструкции практически во
всем диапазоне времени нестационарнго процесса
.
Процесс теплообмена разделен на две стадии по времени. Первая
стадия включает диапазон времени
,0
при котором фронт
температурного возмущения достигает противоположной стенки
многослойной пластины. Краевая задача для данного временного
диапазона решается интегральным методом теплового баланса при
использовании теории обобщенных функций и дополнительных гра
ничных условий. Для решения задачи во второй стадии
-
-
используется ортогональный метод Л. В. Канторовича. Полученные
таким путем аналитические решения позволяют выполнять исследо
вания температурного состояния многослойных конструкций во всем
диапазоне времени нестационарного процесса
, (в
том числе и для
сверхмалых его значений) с точностью, достаточной для инженерных
приложений
.
Известно, что решения задач теплопроводности, полученные с
помощью классических аналитических методов, представляются в
форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях гранич
ных точек и при малых значениях временноVй координаты. Исследо
вания показывают, что сходимость точного аналитического решения
нестационарной задачи теплопроводности для бесконечной пластины
при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье
512
наблюдается лишь при использовании от
2000 (
-
-
-
82
5
10
Fo−=
10
Fo−=
) до
пятисот тысяч
(
12
)
членов ряда
.
Эта проблема еще в большей степени характерна и для вариаци
онных методов (Ритца, Треффтца, Л. В. Канторовича и др
методов взвешенных невязок
др
.).
Использование этих методов при большом числе приближений
(
Бубнова
–
Галеркина, коллокаций и
.), а
также
приводит к системам алгебраических линейных уравнений, матрицы
которых, являясь заполненными квадратными матрицами с большим
разбросом коэффициентов по абсолютной величине, как правило
плохо обусловлены
.
Получение точных аналитических решений нестационарных за
дач теплопроводности для многослойных конструкций ввиду необхо
димости выполнения условий сопряжения связано с решением харак
теристической системы в виде цепочного трансцендентного уравне
ния относительно собственных чисел краевой задачи, нахождение
точного решения которого возможно лишь численными методами
-
,
-
-
-
-
.
При решении таких задач весьма эффективным оказывается метод
сведения задач теплопроводности для многослойных конструкций к
однослойным с кусочно
–
однородными физическими свойствами
среды путем использования асимметричной единичной функции
(
функции Хевисайда
).
Условия сопряжения в данном случае заранее
выполняются точно благодаря особой конструкции полученного с
помощью единичной функции дифференциального уравнения крае
вой задачи
[21, 25, 26, 28].
К методам, позволяющим избежать трудности получения реше
ний при малых значениях временнóй переменной, относятся инте
гральные методы теплового баланса
[28, 10, 5, 30, 50].
Основной про
блемой при их использовании является недостаточная точность полу
чаемых результатов. В работах
[28, 30, 50]
применены дополнитель
ные граничные условия, позволяющие получать приближенные ана
-
-
-
-
-
-
-
литические решения практически с заданной степенью точности. Рас
смотрим использование этого метода к решению нестационарной за
дачи теплопроводности для многослойной пластины при симметрич
83
-
-
-
ных граничных условиях первого рода в следующей математической
(
)
(
)
τ
∂
∂τ∂τ
∂
0>τ
≤
≤
(
)
1
τ
Θ
∂τ∂
−
−
0
=
x
δ
(
)
λ
()()(
)
ρ
=
(
)
(
)
ρ
(
)
λ
(
)
−
−
(
)
−
постановке (рис
( )
xС
Θ
где
–
координата
температура
–
коэффициент теплопроводности
емкость
А
Θ
λ
1
a
1
;
xc
. 2.16)
x,
=
0,0Θ=x
; (2.95)
T
;
; τ –
λ λ
2
a
2
–
ст
время
–
теплоемкость
( )
λ
∂
x
)(/)(
TTTT=
–
0ст0
температура стенки при
; n–
x
относительная избыточная температура
число слоев
;
n
a
n
ΘΘ
x,
∂
)(0, =
x
; (2.96)
С
;
x
–
; (
;
–
толщина
i
плотность
.
Θ
;
xxcx
xx
) (2.94)
n
T
–
0
i– го
слоя
объемная тепло
( =xx
0
n
;
–
0)/,
, (2.97)
; x
начальная
x
;
-
δ
δ
1
2
δ
n
δ
q(τ)
Е
В
D
x
1
0
x
2
x
n-1
С
x
x
n
Р и с. 2.5. Расчетная схема
теплообмена
Теплофизические характеристики
x
и
С
x
многослойного те
ла, представленного в виде одного слоя, с помощью асимметричной
единичной функции описываются следующими зависимостями
n
1
( ) ( ) ( )
∑
i
=
1
λλλλ
+
ii
11
; (2.98)
xxHx −−+=
i
-
где
xxH
i
n
1
( ) ( ) ( )
–
асимметричная единичная функция, определяемая
∑
i
=
1
84
+
11
ii
, (2.99)
xxHCCCxC −−+=
i
формулой
<
(
)
=
(
)
111
δ
−
δ
−
−
2121
i
λδ=/R
С целью упрощения уравнения
переменную
xzz
по
( )
xz
соотношению
x
=
∫
x
1
где
( )
xλ
по
аналогии с
(2.98)
=
λ
Подставляя
(2.102) в (2.101),
( )
λ
( ) ( )
xz
=
;
xx
i
(2.100)
.
xx
i
( )
xxH
i
0
=−
1
(2.94)
при
при
≥
введем новую независимую
1
,
dx
( )
x
λ
i
ni
,0=
(2.101)
определяется следующим образом
n
−
1
+
∑
i
=
1
λ
−
+
11
получаем
+
x
n
−
1
∑
∫
i
=
1
x
i
x
dx
∫
λ
x
0
λ
λ
1111
( )
xxHx−
. (2.102)
ii
i
11
−
λ
+
11
ii
−
i
. (2.103)
dxxxH
Определяя интегралы в
xx
( ) ( ) ( )
xz −−
Из соотношения
=
z
n
−
=
λ
(2.104)
−
n
λ
xx
n
0
+
i
n
0
+
i
(2.103),
−
1
∑
λ
=
1
находим
−
+
11
11
λ
следует, что
−
1
∑
λ
=
1
+
11
−
λ
11
ii
( )
ii
. (2.104)
xxHxx
ii
n
−
xx
−
λ
ii
i
∑
=−
xx
in
=
i
n
δ
1
=
i
∑
i
.
λ
=
11
i
(2.105)
Из
(2.105)
будем иметь
xx
01
=
z
1
=
λ
λ
;
xx
01
=
z
2
+
λ
xx
λ
=
2
i
∑
i
; (2.106)
λ
=
1
Отсюда можно заключить, что новая независимая переменная по
физическому смыслу представляет термическое сопротивление
соответствующего участка стенки
.
Для того чтобы записать задачу
(2.94) – (2.97) в
мой переменной, продифференцируем соотношение
менной
x
85
новой независи
(2.102) по
пере
-
-
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
τ
∂
τ
∂
τ
∂
τ
∂
(
)
(
)
x
zz,∂
τ
∂
∂
τ
∂
()()(
)
z
(
)
(
)
z
0>τ
≤
≤
(
)
1
τ
Θ
∂τ∂
1
≤
≤
∞<τ≤τ
1
(
)
(
)
≤≤τ
(
)
τ
=
λ
1
(2.107)
.
( )
xdх
xdz
Так как переменная
дующие соотношения
(2.108)
Из
(2.107)
ной
z
является мерой теплового потока
С учетом
части уравнения
( )
x
λ
(2.107), (2.109)
∂
( )
x
λ
x λ
∂
x,
x
∂
следует, что производная от температуры по перемен
(2.94)
x,
∂
x
∂
z
λ
будет
=
является функцией
dz
( )
x=
z,
dx
z
∂
( )
x
λ=
x,
( )
x=
λ
дифференциальный оператор правой
z,
∂
∂
z
∂
z
∂
dz
=
dx
x, то
ΘΘΘ
(2.109)
2
∂
∂
справедливы сле
z,
z,
2
1
=
( )
xz
λ∂
1τΘτΘτΘ
(2.110)
.
( )
z
Θ
z
∂
z,
-
.
-
Отсюда математическая постановка задачи (2.94) – (2.97) в пере-
менной z принимает вид
2
Θ1Θ
z,
( )
zС
0,0Θ=z
; (2.112)
Очевидно, что уравнение (2.111) является более простым для его
интегрирования по сравнению с уравнением (2.94).
Для решения задачи (2.111) – (2.114) используем интегральный
метод теплового баланса с привлечением дополнительных граничных
условий [28, 30, 50]. Следуя этому методу, процесс нагрева разделим
на две стадии по времени:
движущуюся во времени границу (фронт температурного возмуще-
τ∂
=
( )
z
λτ∂
0
z,
τ∂
2
∂
)(0, =
; (2.113)
ττ
; (
и
;
0
Θ
( =zz
zz
) (2.111)
n
0)/,
n
. Для этого введем
. (2.114)
ния), разделяющую исходную область
и
τ≤≤ qz0
движение границы раздела во времени (рис. 2.5). При этом в области,
zzq
n
, где
q
– функция, определяющая про-
86
zz ≤≤0
на две подобласти
n
расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется
=
1
τ=τ
≤
≤
(
)
τ
(
)
∂τ∂
τ≤≤
(
)
τ
≤≤τ
(
)
τ
начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при
достижении движущейся границей координаты
. Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела
На этой стадии процесса понятие фронта температурного возмуще-
ния теряет смысл и задача решается ортогональным методом Л. В.
Канторовича, применение которого уже во втором приближении позволяет получить высокоточные результаты практически во всем
диапазоне регулярного режима [10].
Математическая постановка задачи для первой стадии процесса
включает уравнение (2.111) с граничным условием (2.113), а также
следующие граничные условия, выполняющиеся на фронте температурного возмущения
0
;0,Θ=q
(2.115)
zz
(стадия регулярного режима теплообмена).
n
Θ
=zq
zz
, то есть, когда
n
0/,
, (2.116)
)(0
(
где соотношения (2.115), (2.116) представляют условия сопряжения
прогретой и непрогретой зон. Соотношение (2.115) устанавливает ра-
венство температуры тела в точке
ре. Согласно условию (2.116) тепловой поток не распространяется за
пределы фронта температурного возмущения (условие адиабатной
стенки). Математическое доказательство необходимости введения
граничных условий вида (2.115), (2.116) на фронте температурного
возмущения дано в [19].
Обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии
процесса задача (2.111), (2.113), (2.115), (2.116) за пределами фронта
температурного возмущения, то есть на отрезке
не определена. В связи с чем, здесь нет необходимости выполнения
qz
)
q=z
его начальной температу-
)(
zzq
, вообще
n
начального условия вида (2.112) по всей толщине пластины. В данном случае вполне достаточным является выполнение граничного ус-
q=z
ловия (2.115), согласно которому для всех
87
температура тела
равна начальной температуре. Кроме того, в данной задаче отсутст-
(
)
→
τ
0→τ
≤≤τ
вует также граничное условие вида (2.114), так как оно не влияет на
процесс теплообмена в первой его стадии.
При использовании классического аналитического решения для
однослойной конструкции, представленного в виде бесконечного ряда, наибольшие проблемы возникают в случае нахождения темпера-
туры для малых значений времени
комое решение в данном случае должно описывать две практически
прямые линии изменения температуры АЕ и DC (см. рис. 2.5), связанные между собой незначительным криволинейным участком ED и
находящиеся почти под прямым углом друг к другу. Причем, на одной из этих прямых (линия DС) температура неизменна, а на другой
при незначительно изменяющейся координате z температура изменяется практически от нуля до единицы. Удовлетворить всем этим
столь неоднородным и, к тому же, изменяющимся во времени усло-
виям в одном аналитическом выражении (при
при использовании в нем бесконечно большого числа членов ряда, о
чем уже упоминалось выше.
Простота предлагаемого здесь метода в том, что получаемое ре-
0
. Это связано с тем, что ис-
) можно лишь
шение в данном случае не связано с необходимостью аппроксимации
температуры на участках DC, BC и др., то есть за фронтом температурного возмущения
стадии процесса задача (2.111), (2.113), (2.115), (2.116) вообще не определена.
Отметим, что задача (2.111), (2.113), (2.115), (2.116) не относится
к классу задач, в которых учитывается конечная скорость продвижения тепловой волны. Получение таких решений сводится к интегрированию гиперболического (волнового) уравнения теплопроводности.
Введенный в задаче ((2.111), (2.113), (2.115), (2.116) фронт температурного возмущения по физическому смыслу является аналогом движущейся изотермы (но не тепловой волны). Ввиду того что на фронте
температурного возмущения в процессе его движения по координате
zq z)(
, так как в этой области на первой
n
88
z
поддерживается начальная температура
τ
1
τ
(
)
τ
≤
≤
∞→n
1
→
τ
10
−
12
10
−
=
k
0
()(
)
z
∂
0)(Θ =q,
, то, следова-
тельно, он является аналогом нулевой изотермы (изотерма начального условия). В работах [28] показано, что с увеличением числа при-
ближений время
q
на отрезке
0
. То есть скорость движения фронта температурного возмуще-
продвижения фронта температурного возмущения
0
zz
уменьшается и в пределе при
nn
ния с увеличением числа приближений устремляется к бесконечной
величине. Данный результат полностью согласуется с гипотезой о
бесконечной скорости распространения теплового возмущения, положенной в основу вывода параболического уравнения теплопроводности вида (2.94). Отметим, что с увеличением числа приближений
существенно возрастает точность получаемых решений. Выполненные в [27] исследования показали, что температура в центре бесконечной пластины во втором, четвертом, седьмом и четырнадцатом
приближениях отличается от точного решения соответственно на
0,31%, 0,0028%, 0,26·
5
% и 0,28·
%.
Решение задачи (2.111), (2.113), (2.115), (2.116) разыскивается в
виде следующего полинома
где
n
τΘ
)(qb
− неизвестные коэффициенты, определяемые из граничных
k
∑
k
k
, (2.117)
zqb=,z )()(
условий (2.113), (2.115), (2.116). После их определения соотношение
(2.117) принимает вид
Для нахождения неизвестной функции
2
(2.118)
./1,
qzz −=τΘ
)(τq
составляется невязка
уравнения (2.111) и определяется интеграл от нее в пределах глубины
термического слоя (что равнозначно построению интеграла теплового
баланса)
2
( ) ( )
λ
0
z
τ∂
),Θ(
zCz
τ∂
qq
=dz
∫∫
0
Θ
z
τ∂
),(
. (2.119)
2
dz
Определяя интеграл в правой части соотношения (2.119), с уче-
89
том (2.116) и (2.118) находим
z
λ
−
(
)
=
−
=
1
τ=τ
(
)
τ
2
q
∫
0
q
τ∂
2
∂
dz
=
q
τ∂
τ∂
−
∂
∂
2),0Θ(),Θ(),Θ(
=
. (2.120)
qzz
Для произведения
)()( zCz
левой части соотношения (2.119) по
аналогии с (2.98), (2.119) можно записать
n
1
∑
)()(
( ) ( )
i
=
1
++
1111
iiii
Подставляя (2.118), (2.120), (2.121) в (2.119), получаем
q
∂
∫
τ∂
0
2
q
−
n
z
1
∑
2
( ) ( )
=
i
1
q
1
∫
z
i
q
+−+
z
1
2
z
q
++
11
2
z
+−
2
q
iiii
−λ−λ
+λ
dzC
11
dzzzHCC
i
Определяя интегралы в (2.122), будем иметь
dq
d
τ
1
−
n
∑
( ) ( )
1
=
i
1111
++ i
qCCCq
iiii
z
q
23
z
+−λ−λ+λ
q
. (2.121)
zzHCCCzCz −λ−λ+λ=λ
i
22
=
32
ii
. (2.122)
q
.
6
−
=
zqH
Интегрируя последнее уравнение, при начальном условии
q
00
находим
1
2
zq
q
22
i
z
n
∑
( )
=
1
i
3
z
i
+−−× 1234ln6
i
q
++
1111
2
CCCq
( )
×λ−λ+λ
iiii
zqHz
ii
τ=−
Например, для двухслойного тела
2
( ) ( )
112211
2
Положив
дии процесса
zq
, из (2.123) находим время окончания первой ста-
n
.
Соотношение (2.124) относительно
3
q
2
zqCCCq
1
z
1
z
1
+−−λ−λ+λ 1234ln6
q
q
представляет нелиней-
2
1
zqHz
1
(2.123)
.
τ=−
(2.124)
ное уравнение, решение которого может быть найдено лишь числен-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]