Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
жении используем следующие дополнительные граничные условия
1
1
1
dFo
Θ
ξ
1
=
2
Θ∂ Fo
ρ∂
),0(
;
0
2
=
После определения неизвестных коэффициентов
2
Θ∂ Foq
1
ρ∂
),(
;
0
2
=
3
Θ∂ Foq
1
ρ∂
),(
3
=
bk
шение задачи во втором приближении приводится к виду
5
Подставляя
(2.11) в
Fo
1);(
интеграл теплового баланса
тельно неизвестной функции
ρ
−=ρΘ
+
2
q
1
венное дифференциальное уравнение
dq
q −=
1
1
Отметим, что уравнения для функции
3
ρ
−
3
)(1Foq
получаем следующее обыкно
4
ρ
55
+
4
)exp(10
v
. (2.12)
5
3
ρ
. (2.11)
4
2
qqq
(2.7),
)(1Foq
в
первом и втором
. (2.10)
0
относи
)5,0( =k
ре-
-
-
приближениях отличаются лишь величиной коэффициента перед экс
понентой
.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
Р и с. 2.1. Распределение температуры в пластине при экспо-
ненциальной зависимости коэффициента теплопроводности от
0
Fo=0,001
0,01
0,05
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,1
0,135
0,6
0,7
-
пространственной координаты. – первое приближение
Интегрируя уравнение
получаем
– второе приближение.
(2.12),
1
при начальном условии
=
61
q
. (2.13)
vvFoFoq exp/exp52)(
0)0(
Положив в
1
1
=
1
=
(2.13)
Foq
1)(
,
находим время окончания первой
стадии процесса во втором приближении
Соотношения
(2.4) − (2.5) во
таты расчетов температуры по формуле
(2.11), (2.13)
представляют решение задачи
втором приближении первой стадии процесса. Резуль
(2.11)
Fo
13592,0
.
даны на рис
. 2.1.
2.2. Использование ортогонального метода Л.В. Канторовича в
задачах теплопроводности с переменными физическими
свойствами среды
Важное преимущество ортогональных методов (Л.В. Канторови
ча, Бубнова-Галеркина, коллокаций и др
.)
перед классическими ана
литическими методами (разделения переменных, интегральных пре
образований, функции Грина и др
зовании практически не накладывается каких
.)
состоит в том, что при их исполь
–
либо ограничений на
-
-
-
-
-
вид дифференциального оператора краевой задачи. В связи с чем, они
могут быть применены к интегрированию уравнений, не допускаю
щих получение решения классическими методами. При этом отсут
ствуют какие-либо ограничения на и на вид их зависимости теплофи
зических свойств от пространственных координат. Это связано с тем
что в ортогональных методах по безграничной области определения
параболической (временной) переменной применяется точный метод
а по ограниченной области изменения эллиптических
венных) координат
–
один из приближенных методов, среди которых
(
пространст
обычно используется метод, основанный на выполнении требования
ортогональности невязки основного дифференциального уравнения
ко всем базисным
(
координатным) функциям. При использовании
этих методов предполагается, что искомое решение благодаря особой
конструкции координатных функций заранее точно удовлетворяет
-
-
,
,
-
граничным условиям и условиям сопряжения (для контактных задач
краевой задачи. Решение разыскивается в виде простых степенных
или тригонометрических полиномов по координатам текущей точки с
62
)
коэффициентами, экспоненциально стабилизирующимися во време
(
)
∂
∂
∂
(
)
δ≤≤>τ
(
)
=
(
)
=∂τ
∂
(
)
1
=τδ
(
)
λ
(
)
(
)
γ
1
;
δ
=
x
,
const
γ=c
(
)
−λ=
λ
0<m
=
λ
0=x
x
,
δ
=
x
1
0
−
δ
τ
δ
-
ни. В результате для многих сложных линейных и нелинейных задач
оказывается возможным получение простых по виду аналитических
выражений, явно содержащих все основные физические свойства
среды
задач с переменными физическими свойствами среды рассмотрим на
примере решения краевой задачи для бесконечной пластины при
симметричных граничных условиях первого рода
где
теплопроводности
.
Реализацию ортогональных методов применительно к решению
T –
( ) ( )
γ
xxc
;0,
TxT
(2.15)
0
температура
xT
τ
∂
;
τ,
=
; x–
xc
λ
∂
x
координата
–
теплоемкость
( )
x
∂
T
x
xT
;
0;/0,
(2.16)
; τ –
;
время
x
–
x0;0
x
;
плотность
–
(2.14)
,,
TT
(2.17)
коэффициент
T
;
– на-
0
чальная температура
на толщины пластины
Найдем решение задачи
дение
ненциальной функцией координаты
где
ния коэффициента теплопроводности от координаты
коэффициент теплопроводности пластины при
величины
стины
Из формулы
уменьшается, достигая минимума при
–
m
.
а коэффициент теплопроводности
коэффициент, характеризующий интенсивность измене
(2.18)
теплопроводность пластины с увеличением координаты
T
;
–
температура стенки при
.
(2.14) – (2.17)
x.
следует, что для любого конкретного значения
для случая, когда произве
,exp0mx
(2.18)
λ
.
то есть в центре пла
δ –
является экспо
x;
0
полови
const
-
-
-
-
−
-
С целью упрощения процесса получения решения задачи
(2.17)
введем следующие безразмерные переменные и параметры
a
1
=Θ
;
TTTT−
=
0
;Fo
2
a =
63
λ
0
0
;
γ
c
=ξ
(2.14) –
x
,
(2.19)
где
Fo
0=x
()(
)
(
)
≤ξ≤
>
(
)
=ξΘ
(
)
=ξ∂Θ∂
(
)
=
Θ
δ−=νm
(
)
(
)
ξ
ϕ
(
)
(
)
(
)
1
)
1=n
,0.
δ≤≤
x
()(
)
(
)
a
0
Θ –
–
относительная избыточная температура
коэффициент теплопроводности материала пластины при
;
−
число Фурье
;
;
ξ безразмерная координата
С учетом обозначений
Fo,
ξΘ∂
Fo
∂
;10,
(2.21)
где
Решение задачи
Л.В. Канторовича
Fo
где
функции
f
k
Принимаются следующие координатные функции
.
.
−
неизвестные функции времени
∂
=
ξ∂
(2.20) – (2.23),
[16],
.
(2.19)
νξ−
e
принимается в виде
( ) ( ) ( )
задача
Fo,
ξΘ∂
ξ∂
n
∑
f
1
=
k
(2.14) – (2.17)
;
0;/Fo 0,
(2.22)
следуя ортогональному методу
ξϕ=ξΘ
k
k
;
принимает вид
10;0Fo
(2.20)
,0Fo,1
(2.23)
(2.24)
,FoFo,
−
k
координатные
k
2
k
Соотношение
функций
(2.23).
левом приближении требуется, чтобы соотношение
удовлетворяло не уравнению
уравнению в пределах толщины пластины
Подставляя
ходим
(2.25)
Чтобы определить неизвестную функцию времени
(2.24) из – за
точно удовлетворяет граничным условиям
(2.20), а
1
0
(2.24) в (2.26),
df
1
Fo
d
∂
Fo
ξΘ∂
Fo
1
∫
0
Fo,
1
=ξ
∫∫
0
2
принятой системы координатных
∂
-
νξ
e
ξ∂
ограничиваясь одним членом ряда на
1
-
νξ
∫
0
( )
nk
1,,1
=ξ−=ξϕ
некоторому осредненному
ξΘ∂
ξ∂
(2.25)
Fo,
dd
.d1e2d1
ξνξ−−=ξξ−
(2.20),
Fo
f
(2.25) (
то
(2.26)
.
ξ
(2.27)
при
в ну-
-
Вычисляя интегралы в
времени приходим к следующему обыкновенному дифференциаль
ному уравнению
(2.27),
относительно неизвестной функции
64
-
()(
)
1
1
ν
−
−=
(
)
(
)
1
ν
−
(
)
()(
)
ν
−
0
=
ξ
1
=
ξ
(
)
[
]
1,5
=
C
(
)
()(
)
ν
−
(
)
1
(
)
()(
)
(
)
(
)
1
1
νξ
−
fddf
.Foe3Fo/Fo
(2.28)
Разделяя переменные в уравнении
где
C −
начальное условие
в пределах от
вязки начального условия
рования получаем алгебраическое линейное уравнение, из которого
постоянная интегрирования
Подставляя
Для определения постоянной интегрирования подставим
Определяя интеграл в
(2.29) в (2.24),
(2.21) и
до
1
∫
0
находим
C
проинтегрируем полученное соотношение
, то
есть найдем интеграл взвешенной не
2
(2.31),
(2.86) и
−= Cf
.
0.11
=ξ−ξ−
dС
относительно постоянной интегри
интегрируя, получаем
,Foe3expFo
(2.29)
1Foe3expFo, ξ−−=ξΘ
(2.31)
2
. (2.30)
(2.25) в
-
-
находим
Формула
жении принимает вид
Результаты расчетов по формуле
первом приближении, приведены в
чить, что различие составляет около
Чтобы повысить точность найдем решение задачи
первом приближении. Для этого, ограничиваясь одним членом ряда
(2.24),
ности невязки к координатной функции
составляется невязка уравнения
Fo
df
1
Fo
d
.
(2.30)
∫
0
для определения температуры в нулевом прибли
(2.32) в
[27].
5%.
22
∫
0
2
1Fo3e-exp5,1Fo, ξ−=ξΘ
Их анализ позволяет заклю
(2.20) и
νξ−
( )
. (2.32)
сравнение с решением в
(2.20) – (2.23) в
требуется ортогональ
1 ξ−=ξϕ
2
2
(2.33)
.11e211
ξξ−νξ−−=ξξ−ξ−
dd
-
-
-
Вычисляя интегралы в
альное уравнение
(2.33)
получаем следующее дифференци
−= Cddf
65
.)Foe5,2exp(Fo/Fo
(2.34)
-
Интегрируя
(
)
(
)
[
]
{
}
1
1
ν
−
1
(
)
(
)
[
]
1
(
)
1
(
)
[
]
(
)
1
=
0=ν
[
]
0
ν
−
→
ν
0
→
ν
1
C
где
(2.34),
Cf
−
постоянная интегрирования
находим
32
,Fo/e5,01115expFo
νν+ν+−−=
(2.35)
.
Подставляя
( )
Для определения постоянной интегрирования
ку начального условия
координатной функции
Определяя интегралы в
В соотношении
числяя предел по правилу Лопиталя от соотношения в квадратных
скобках из
(2.36),
(2.35) в (2.24),
expCFo,
1
получаем
−=ξΘ
(2.21) и
1
∫
1
0
(2.36)
2
(2.37),
при
получаем
потребуем ортогональности невязки к
2
ξ−=ξϕ
находим
2
3
ν
,1
что есть
2
получаем неопределенность. Вы
=ξξ−−ξ−
dC
C
ν−ν+ν+−
(2.37)
.0111
Foexp5,01115
( )
C
составим невяз
.1,25
2
ξ−
.1
(2.36)
-
-
32
lim
Следовательно
lim
Формула
первом приближении в
Решение задачи
значения найденной величины
(2.36)
приближении, полученном в
ния интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода
Бубнова
полностью совпадает с решением аналогичной задачи в первом
–
Далее повышение точности обусловелено увеличением числа
(2.38)
Галеркина
,
совпадает с решениями задачи
[27, 34, 36].
(2.20) – (2.23) в
C
[27]
.
посредством совместного прмене
e
2
первом приближении, с учетом
имеет вид
=νν+ν+−=
(2.36) .
.6/1/)5,01(1
−ξ−=ξΘ=νξΘ
(2.20) – (2.23) в
.)Fo5,2exp()1(25,1)0Fo,,()Fo,,(
(2.38)
Соотношение
-
приближений. Отметим, что трудности перехода от изображения ис
комой функции к ее оригиналу в случае совместного использования
66
-
интегральных преобразований Лапласа и ортогонального метода
(
)
ξ
ϕ
1
(
)
ξ
ϕ
2
()(
)
(
)
1
(
)
2
()(
)
−′′
2
1
(
)
1
(
)
2
Fo
−ϕ′′ϕ′′
(
)
ξ
ϕ
(
)
ξ
ϕ
[
]
−ϕ′′ϕ′′
2
1
(
)
ξ
ϕ
1
(
)
ξ
ϕ
2
0=ν
=++′′+′
Бубнова-Галеркина существенно усложняют применение этого мето
да при большом числе приближений. Ортогональный метод Л.В. Кан
торовича, как будет показано ниже, позволяет существенно увели
чить число приближений получаемого решения
Рассмотрим последовательность получения решения задачи во
втором приближении. Ограничиваясь двумя членам ряда
ставляется невязку уравнения
невязки к координатным функциям
1
∫
0
Вычисляя интегралы
функций времени
ных дифференциальных уравнений
∂
ξΘ∂
Fo
Fo,
∂
−
f
e
ξ∂
(2.24) в (2.38),
Fo
и
(2.20) и
νξ−
Fo
f
потребуем ортогональности
Fo,
ξΘ∂
ξ∂
получаем систему двух обыкновен
и
( ) ( )
i
относительно неизвестных
.
(2.24) со-
==ξξϕ
i
.2,1,0d
(2.39)
-
-
-
-
1
′
∫
0
где
размерному времени
ции
где
менной
, ff
Систему уравнений
1
∫
0
1
[ ]
∫
0
,
+ϕ
i1
′
′
ξ.
′
−ϕ
первые производные от функции
и
′
+ϕ
′
+ϕ
вторые производные от функций
по
i2
−ϕ
−ϕ
∂
ξ∂
;
где
переменной
(2.40)
′′
( ) ( )
′′
( ) ( )
′′
+ϕ
перепишем в виде
∂
,
ξ.
−ϕ′ν−ϕ
−ϕ′ν−ϕ
νξ−νξ−
′′
ϕ
ξ∂
ii 21
22112211
вторые производные от функ
νξ−νξ−
νξ−νξ−
iii
Fo
f
′′
′′
2221112211
2221112211
и
1
2
и
( )
==ξϕ
idffff
Fo
f
=ξϕϕ′ν−ϕ
dffff
=ξϕϕ′ν−ϕ
dffff
по
;0ee
,0ee
по
(2.40)
.2,1.0ee
без
(2.41)
пере
-
-
-
Вычисляя интегралы в
Частные решения системы уравнений
(2.41),
′
+
положив
′′
67
fbfbfbfb
24132211
=++
flflflfl
24132211
(2.42)
,
находим
;0
(2.42)
,0
разыскиваются в ви
-
де
(
)
1
=
(
)
2
=
−
rDA,,
1716453258105
1
−
=
2
−
=
1
(
)
=
(
)
2Fo1
1
(
)
2Fo1
2
1
1
−
2
2
(
)
()(
)
1
2
где
)Foexp(Fo
rAf
некоторые постоянные
;
.
)Foexp(Fo
rDf
, (2.43)
Подставляя
Система однородных алгебраических уравнений
(2.43) в (2.42),
15
105
8
64
+
+
4
3
8
5
находим
64
105
32
45
8
5
16
17
=
++
rDrA
++
rDrA
=
;0
(2.44)
.0
(2.44)
имеет не
тривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю
8
15
4
3
64
105
8
++
rr
15
(2.45)
.0
=
64
++
rr
Элементы матрицы (2.45) положительны и симметричны относительно главной диагонали, следовательно, корни
i
)2,1(=ir
характе-
-
ристического уравнения, получаемого из определителя (2.45), должны быть действительными отрицательными числами. Получены сле-
дующие их значения
r
Подставляя величину корня
дим неизвестные коэффициенты
С учетом найденных значений постоянных
;4674,2
r
r
в систему уравнений (2.44), нахо-
iDA
ii
.533,25
2,1,
.
A
D
,
i
,
i
i
соотношения (2.43) примут вид
Fo
rr
21
eAeAf +=
;
Fo
Fo
rr
21
eDeDf +=
. (2.46)
Fo
Чтобы найти общее решение системы уравнений (2.42), умножим
частное решение, включающее корень
ную
С
, а решение, включающее корень
r
, на производную постоян-
r
на постоянную
С
. Под-
ставляя полученные общие решения в (2.24) при (n = 2), находим
)2,1(=ir
Fo, ϕ++ϕ+=ξΘ . (2.47)
i
Fo
11
Для определения постоянных
rr
Fo
68
i
С
и
С
22
Fo
111
составляется невязка на
rr
Fo
2121
eDCeDCeACeAC
22
i
2
-
чального условия
(
)
ξ
ϕ
(
)
ξ
ϕ
[
)2,1(=i
1
2
1
2
0=ν
(
)
(
)
−
−
(
)
−
−
(2.21) и
требуется ортогональность невязки к коор
-
динатным функциям
1
∫
0
После определения интегралов соотношение
следующей системе двух алгебраических линейных уравнений отно
сительно неизвестных
После определения постоянных
(2.23) во
торое при
Соотношение
втором приближении находится из соотношения
принимает вид
i
С
(2.49)
и
i1
С
и
совпадает с решением аналитической задачи
.
ee
.
i2
2221112211
С
и
]
iii
(2.48)
С
решение задачи
ee
425,52Fo2,467Fo
)1(904,228,0
ξ−−−
. (2.49)
.01)()(
=ξϕ−ϕ++ϕ+ dDCDCACAC
приводится к
2Fo52,25Fo467,2
(2.48)
(2.20) –
(2.47), ко-
−ξ−−=ξΘ
)1(302,3552,1Fo,
-
во втором приближении, приведенном в
2.3. Многослойная пластина с переменными
в пределах каждого слоя физическими свойствами среды
Многослойные композиционные материалы получают широкое
распространение в технике. Установить необходимое сочетание
свойств многослойных тел удается лишь при помощи вычислитель
ного эксперимента на ЭВМ. С этой целью применяют аналитические
решения, но их использование в применении к задачам теплопровод
ности для многослойных конструкций существенно сдерживается
Трудности получения аналитических решений подобных задач
связаны с необходимостью выполнения условий сопряжения в виде
равенства температур и тепловых потоков в точках контакта слоев
[36, 27].
.
-
-
.
Выполнение этих условий в случае применения точных аналитиче
ских методов приводит к необходимости решения характеристиче
ской системы в виде цепочного трансцендентного уравнения относи
тельно собственных чисел краевой задачи, решения которого могут
69
-
-
-
быть получены лишь численными методами
x
∂
(
)
===≤≤
>
=
1
=∂∂
=
=
∂∂=∂∂
[5].
К числу приближенных аналитических методов, используемых
для решения указанных задач, относятся ортогональные методы
взвешенных невязок (Л. В. Канторовича, Бубнова
локаций наименьших квадратов и др
.).
Однако их эффективное при
–
Галеркина, кол
менение к расчетам многослойных конструкций существенно сдер
живается необходимостью построения используемых в этих методах
системах координатных функций, точно удовлетворяющих гранич
ным условиям и условиям сопряжения. В настоящей работе развива
ется направление исследований, связанное с построением указанных
систем координатных функций, основанное в работах
[34, 27].
В качестве конкретного примера найдем решение задачи тепло
проводности для трехслойной пластины в следующей математиче
ской постановке (рис
. 2.2)
T
-
-
-
-
-
-
-
T
1
λ
1
а
1
δ
1
x
1
0
T
2
λ
2
а
2
δ
2
x
2
x
3
T
3
λ
3
а
3
δ
3
T
CT
x
Р и с. 2.2. Расчетная схема трехслойной пластины
i
τ
∂
τ
−
=
ii
)τ,(
xT
∂
2
∂
a
i
i
)τ,(
xT
; (2.50)
2
;0;3,2,1;;0
xxixxx
δ
301
;)0,(
TxT
(2.51)
i
0
);
τ
,()τ,(
xTxT
1
+
iiii
(2.54)
λ
xT
70
;0/)τ,0(
(2.52)
/)τ,(
λ
;)τ,δ(
TT
(2.53)
3
11
iiiiii
++
ст
,/)τ,(
xxTxxT
(2.55)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]