Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
ρ−=ρΘ
584,14032,1)(
1
ρ−=ρΘ
2
−ρ=ρΦ
4
2
1
ρ
Θ
2
ρ
Θ
1
ρ
Φ
2
ρ
Φ
2
ρ
Φ
4
2
ρ
Φ
2
2
α
µ
м
1
2
1
ρ
Φ
1
ρ
Φ
2
ρ
Φ
1
2
;
34375,053375,0)(
. (3.57)
Решение задачи
где
)(
эффициенты которых
лись неоднородные граничные условия
условие сопряжения
функции, неизвестные коэффициенты
(3.49) – (3.53)
2
ρ+ρ+=ρΦ FFF
,
3211
i
(3.52) и
BBB ρ+ρ+=ϕ
k
kkkk
3211
,
однородное условие сопряжения
принимается в виде
∑
q
2
=nk
∑
q
2
=nk
)( F
)4,1( =iF
определяются так, чтобы выполня
)()()(
ρϕ+ρΦ=ρϑ
111
; (3.58)
kk
)()()(
ρϕ+ρΦ=ρϑ
222
kk
, (3.59)
функции, неизвестные ко
(3.50) и (3.51),
1
B ρ+=ϕ
k
kk
42
ik
находятся из однородных граничных условий
[36]
неоднородное
−= ),2( nk
координатные
==
),2;4,1( nkiB
которых
(3.50), (3.51) и
-
-
(3.53);
одно
-
родных условий сопряжения
лю всех членов, находящихся в произведении с
−= ),2( nk
неизвестные коэффициенты
слоя
),
определяемые из выполнения дифференциальных уравнений
(3.52), (3.53), то
(
одинаковые для каждого
есть при равенстве ну
(3.59).
Рассмотрим последовательность определения функций
)(
.
Сначала находится функция
ент
граничное условие
F
которой определяется так, чтобы выполнялось неоднородное
(3.51).
F
Неизвестные коэффициенты
Подставляя
=
4
aU
Trc
3122
м
)(
ν+
F
F
,
)(
,
неизвестный коэффици
)(
в (3.51),
. (3.60)
)(
ρΘ
12
F
,
функции
3
)(
и
находим
)(
)(
q
;
k
)(
и
находятся
-
-
так, чтобы выполнялось неоднородное граничное условие
однородное условие сопряжения
жения
сительно коэффициентов
(3.54).
Подставляя
F
)(
и
F
,
(3.42) и
)(
F
,
получаем следующую систему
3
141
однородное условие сопря
в (3.50), (3.52), (3.53),
(3.50), не-
отно
-
-
трех алгебраических линейных уравнений
222
1
ρΦ−ρΦ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
+νν−=
ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
1
ρ
Θ
2
ρ
Θ
d
a
1
εη
a
εη=
ρΦ
1
ρ
d
d
111
d
d
a
222
d
1
ρ
Φ
ρ
ν+
1
ρΦ
ν+
1
2
ν+
2
Неизвестный коэффициент
1
Φ
ρ
ρ
)()(
ρΦ
−
ρΦ
)()(
1
ρ
2
−
B
k
4
αµ
Trc
3111
м
Θ
U
м
αµ
Trc
3111
−
U
αµ
3122
U
м
)()(
координатных функций
м
м
Trc
м
. (3.63)
находится из однородного граничного условия
)(
k
в (3.41),
2
положив последний член равным нулю, получаем
)()(
d
a
2
ρϕ
2
ρ
d
ν+
2
ρϕ
kk
ρ
.
0
=
1
=ρ
2
1
=
ρ=ρ
1
ρΘ
)(
1
)(
ρΘ
2
(3.41).
; (3.61)
0
=
ρ=ρ
2
; (3.62)
ρ=ρ
2
2
Подставляя
),2( nk =
(3.64)
)(
k
Из решения алгебраического уравнения
)/(
kaB
k
Неизвестные коэффициенты
ций
)(
1
k
находятся из однородного граничного условия
однородных условий сопряжения
)(
2
ведении с
коэффициентов
в (3.50), (3.52), (3.53),
k
)(
и
B
1
,
k
B
)(
,
равными нулю, относительно неизвестных
B
,
k
2
3
2224
B
(3.52), (3.53).
положив члены, находящиеся в произ
получаем следующую систему трех ал
k
гебраических линейных уравнений
d
a
1
εη
ρϕ
1
ρ
d
d
a
111
ν+
1
ρϕ
1
ρ
d
)()(
ρϕ
kk
−
ρ
ν+
kk
1
ρ
.
,
k
1
ρϕ
)()(
−
B
αµ
U
k
2
31111
м
(3.64)
B
,
k
3
Trc
м
αµ
Trc
31111
U
м
находим
),2( nk =
(3.65)
координатных функ
(3.50) и
Подставляя
)(
1
k
; (3.66)
0)(
ρΘ
1
м
1
=
ρ=ρ
1
ρΘ
)(
=
ρ=ρ
2
-
и
-
-
142
[
]
=ρϕ−ρ
ϕ
ρ
ϕ
ρ
ϕ
1
=
2
=
=
2
1
=
=
1
=
σ
2
1
2
=
−
d
εη=
a
222
ρϕ
2
ρ
d
ν+
2
)()(
ρϕ
kk
−
ρ
21
kk
U
αµ
Trc
31222
м
м
0)()(
ρ=ρ
2
. (3.68)
)(
ρΘ
2
; (3.67)
ρ=ρ
2
После
ik
неизвестных коэффициентов
граничным условиям
(3.53).
ставим невязки уравнений
нахождения
),2;4,1(
nkiB
==
соотношения
коэффициентов
(3.58), (3.59)
=
k
(3.50), (3.51) и
Для определения неизвестных коэффициентов
(3.54) и
потребуем ортогональности невя
зок ко всем координатным функциям
2
ρ
+
2
∫
ρ
1
ϑ
d
1
∫
ρ
1
+
2
ρ
d
2
ϑ
d
2
2
ρ
d
ϑ
1
d
d
1
2
+
ϑ
11
−
ρρ
ϑ
d
ρρ
d
−
2
ρ
ϑ
22
−
−
2
ρ
T
αµβ
r
3111
U
αµβ
i
при любых значениях
),2(
nkq
будут точно удовлетворять
условиям сопряжения
T
)(
и
1
k
Θ
d
ρ
d
м
м
1
(
j
Θ
d
2
ρ
d
м
м
r
3122
U
2
ρρ
)(
k
+ϕ
ρ
d
(
ρρ
d
j
iF
)4,1( =
и
(3.52),
=
k
со-
),2(
nkq
-
),2( nk =
, то
есть
(3.69)
=ϕ
ρ
.0
),2( nkj ==
После определения интегралов относительно неизвестных коэф
фициентов
нейных уравнений
q
k
),2( nk =
будем иметь систему
n − 2
алгебраических ли
.
Исходные данные для решения задачи были следующие
014,0
м
ºС;
U
м;
1107,0
м
=
r
10
;
3
039,0
м.
м;
1013⋅=E
r
3
9
кг/м2;
/К;
2,0
;
055,0
м;
vv
6
1015−⋅=α
кг/м
T
м
r
2
;
100
Результаты расчетов безразмерных радиальных и окружных на
пряжений по формулам
рис
. 4.9.
Отметим, что соотношения
(3.58), (3.59) во
(3.58), (3.59) в
втором приближении даны на
данном случае точно
[36]:
1011−⋅=α
105,19 ⋅=E
6
9
/К;
-
-
-
удовлетворяют граничным условиям и условиям сопряжения
(3.51),
точность выполнения уравнений
143
(3.59)
зависит от числа при
(3.50) –
-
ближений (от числа членов рядов
r
1
=ρρ=ρ
2
ρ=ρ
(3.58), (3.59)).
*
Результаты расчетов напряжений
3.17.
пряжения
Их анализ позволяет сделать вывод о том, что радиальные на
*
σ
имеют отрицательный знак
σ
ri
и
(
пряжения на внешних поверхностях стенок
следует из граничных условий
*
напряжения
а в пределах второго
та слоёв
σ
в
пределах первого слоя имеют отрицательный знак
Θ
–
положительный (растяжение
)(
ввиду различия числовых значений модулей упру
(3.50), (3.51),
*
σ
i
Θ
сжатие
(
даны на рис
).
Радиальные на
и
1)
. 3.16,
,
как это
равны нулю. Окружные
). В
точке контак
гости и коэффициентов линейного расширения, а также вследствие
непрерывности перемещений, наблюдается скачок окружных напря
жений
.
-
-
,
-
-
-
Р и с. 3.17 – Изменение радиальных напряжений
(второе приближение)
Р и с. 3.18 Изменение окружных напряжений
(второе приближение)
144
Глава 4
∞<<Fo0
1Θ0≤≤
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА
ОСНОВЕ ВВЕДЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ И
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В ИНТЕГРАЛЬНОМ
МЕТОДЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
Применение дополнительной искомой функции, представляющей
изменение во времени температуры в центре тела (пластина, цинидр
),
основывается на описываемой параболическим уравнением тепло
проводности бесконечной скорости распространения теплоты, со
гласно которой температура в центре тела начинает изменяться тот
час же после приложения граничных условий первого рода на его по
верхности. Следовательно, диапазон её временного и температурного
изменения включает весь диапазон времени нестационарного процес
са
и
весь диапазон изменения температуры
.
Допол
нительные граничные условия определяются в таком виде, чтобы их
выполнение искомым решением в граничных точках было эквива
лентно выполнению в этих точках исходного дифференциального
уравнения в частных производных. Показано, что выполнение урав
нения лишь в граничных точках приводит к его выполнению и внутри
рассматриваемой области. Реализация требования выполнения инте
-
-
-
-
-
-
-
-
-
грала теплового баланса
(
осреднённого по пространственной пере
менной исходного дифференциального уравнения) позволяет свести
решение уравнения в частных производных к интегрированию обык
новенного дифференциального уравнения относительно дополни
тельной искомой функции, зависящей лишь от времени. Отсутствие
необходимости интегрирования уравнения в частных производных по
пространственной координате, ограничиваясь выполнением интегра
ла теплового баланса, позволяет использовать данный метод для ре
шения краевых задач, не допускающих разделения переменных (на
пример, нелинейных
), а
также для многих других сложных задач (с
переменными физическими свойствами, с переменным начальным
условием, с переменными во времени граничными условиями и др
.),
решения которых затруднительно получить с помощью классических
аналитических методов
.
145
-
-
-
-
-
-
В теории теплопроводности известны методы, в которых исполь
∞→n
-
зуется понятие фронта температурного возмущения
мического
Био М
(
прогретого) слоя. К ним относятся методы Гудмена Т
.,
Вейника А.И
.,
Швеца М.Е
.,
Постольника Ю.С
–
глубины тер
.,
интегральный
.,
метод теплового баланса. Процесс теплопроводности при использо
вании этих методов разделяется на две стадии по времени. Первая из
них характеризуется постепенным перемещением фронта темпера
турного возмущения от поверхности тела к его центру, а второй
– из-
менением температуры происходит во всём диапазоне пространст
венной переменной. Отметим, что рассмотрение в первой стадии дви
гающегося по пространственной переменной во времени фронта тем
пературного возмущения эквивалентно принятию допущения о ко
нечной скорости распространения теплоты, несмотря на то что, реша
ется параболическое уравнение теплопроводности, в котором зало
жена бесконечная скорость передачи теплового импульса. В этой свя
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
зи необходимо отметить, что выполненные в работах
[17, 23]
иссле
дования позволили заключить об увеличении скорости перемещения
фронта температурного возмущения с увеличением числа приближе
ний
n
первой стадии процесса. И, в пределе, при
скорость пе
ремещения фронта температурного возмущения устремляется к бес
конечному значению, что эквивалентно бесконечной скорости рас
пространения теплоты. Таким образом, с увеличением числа прибли
жений первой стадии процесса, что связано с получением как можно
более точного решения, происходит уменьшение диапазона времени
первой стадии процесса и увеличение второй. Следовательно, наибо
лее точные значения температур применительно к первой стадии
процесса можно получить лишь для малых и сверхмалых значений
времени и пространственной переменной. При этом пространствен
ный и временнóй диапазоны второй стадии процесса будут возрас
-
-
-
-
-
-
-
-
-
тать. Исходя из полученных в работах
щей работе рассматривается метод решения, позволяющий избежать
рассмотрения первой стадии процесса, используя при этом свойство
параболического уравнения теплопроводности, связанное с беско
нечной скорости распространения теплоты. При получении решения
146
[17, 23]
результатов, в настоя
-
-
для малых и сверхмалых значений времени в качестве дополнитель
0>τ
R
r
≤≤0
=
=∂τ
=
τ
-
ной искомой функции в рассмотрение вводится понятие фронта тем
пературного возмущения
–
глубины термического (прогретого) слоя
и, следовательно, используется допущение о конечной скорости рас
пространения теплоты. Сочетание этих двух противоположных до
пущений (бесконечной и конечной скорости распространения тепло
ты) позволяет получать высокоточные аналитические решения в виде
простого вида математических выражений (исключающих бесконеч
ные ряды) во всём диапазоне времени нестационарного процесса
.
4.1. Аналитические решения задач теплопроводности для цилиндра при граничных условиях первого рода
Математическая постановка задачи имеет вид
2
τ∂
rT
τ∂
=
a
τ∂
rT
+
2
∂
r
∂
r
),(1),(),(
τ∂
rT
(
;
r
;
) (4.1)
-
-
-
-
-
)0,(
TrT
; (4.2)
0
где
с;
T –
T
температура
–
начальная температура
0
, К; r –
безразмерная координата
К;
коэффициент температуропроводности, м2/с
Введение граничных точек в область определения уравнения
связана с тем, что для решения задачи
0),0(
rT
T
–
ст
; (4.3)
),(
TRT
ст
, м; τ –
температура стенки
, R –
(4.1) – (4.4)
радиус
далее будет ис
.
; (4.4)
время
, К; a –
(4.1)
пользован интегральный метод теплового баланса. Согласно этому
методу определяется интеграл взвешенной невязки уравнения
(4.1),
нижним и верхним пределами которого являются координаты гра
ничных точек. Отметим, что граничные точки включаются в область
определения уравнения в случаях, когда для решения краевой задачи
используются методы, связанные с нахождением интеграла невязки
уравнения или требуется выполнение ортогональности невязки ко
всем координатным функциям. К их числу относятся вариационные
,
-
-
методы взвешенных невязок (Бубнова
ча и др
.). К
тому же, в основе применяемого в настоящей работе ме
–
Галеркина, Л. В. Канторови
тода лежит реализация требования выполнения искомым решением
147
-
-
дифференциального уравнения краевой задачи в граничных точках
−−=
Θ
R
r
/
=
ρ
/Foδτ=
a
Fo
0Fo>
1
0
≤ρ≤
0)0,(
=ρΘ
=ρ∂
Θ
1),1(
=
Θ
Fo
ξ−=
ρ
1
Θ
0Fo>
1
0
<ξ≤
0)0,(
=ξΘ
1)Fo,0
(
=
Θ
Θ
∂
)Fo,1()Fo(q
Θ
=
области
.
Введём следующие безразмерные переменные
ст
0
где
та
Θ –
;
безразмерная температура
–
число Фурье (безразмерное время
С учётом принятых обозначений
иметь вид
)Fo,(
ρΘ∂
Fo
∂
; (4.7)
2
=
ρΘ∂
ρ∂
+
ρ
Fo
;
0
, К; ρ –
ρΘ∂
ρ∂
0),0(
;
безразмерная координа
).
(4.5)
)Fo,(1)Fo,(
;
задача
(
; (4.8)
)/()(
TTTT
Для упрощения процесса получения решения задачи
сделаем замену переменной
тельно переменной
ξ
примет вид (рис
.
Задача
(4.6) – (4.9)
. 4.1)
:
2
; (4.5)
(4.1) – (4.4)
;
будет
) (4.6)
. (4.9)
(4.6) – (4.9)
относи
-
-
ξ
2
ξΘ∂ )Fo,(
)Fo,(
=
∂
Fo
ξΘ∂
2
ξ∂
1)Fo,(
−
ξ−
1
; (4.11)
Р и с
теплообмена
. 4.1.
ξΘ∂
; (
ξ∂
; (4.12)
Расчетная схема
;
)Fo,1(
0
=
, (4.13)
ξ∂
) (4.10)
, (4.14)
характеризующую изменение во времени температуры в центре ци
линдра. Отметить, что ввиду бесконечной скорости распространения
теплоты, описываемой параболическим уравнением теплопроводно
сти
(4.10),
же после приложения граничного условия первого рода
температура в центре цилиндра будет изменяться тотчас
(4.1) на
148
его
-
-
поверхности. Следовательно, температурный и временной диапазоны
10≤Θ≤
∞<≤Fo0
(
)
(
)
()()(
)
ξξ−−−=ξ
Θ
dFo
(
)
[
]
1
1
−−−
=
−ξ−ξ+=ξ
Θ
)2(
ξ−ξ
изменения функции
температуры
цесса
.
Решение задачи
где
)(qb
,
k
nk ,0=
натные функции
Для получения решения задачи
подставим
(4.15) (
Относительно неизвестных коэффициентов
q(Fo)
и
(4.10) – (4.13)
–
неизвестные коэффициенты
будут включать весь диапазон изменения
весь диапазон времени нестационарного про
принимается в виде
n
k
∑
=
( ) ( )
qbFo0),(
k
=ξΘ
ξϕ
, (4.15)
k
;
k
.
(4.10) – (4.13) в
первом приближении
ограничиваясь тремя членами ряда) в
)(qb
, (k = 0,1,2)
k
k
ξ=ξϕ
–
коорди
(4.12) – (4.14).
-
будем
иметь систему трёх алгебраических линейных уравнения, после опре
деления которых соотношение
(4.15)
принимает вид
211Fo, q
. (4.16)
-
-
Потребуем, чтобы соотношение
(4.10), а
баланса
Подставляя
некоторому осреднённому уравнению
1
ξΘ∂
)Fo,(
∂
0
Fo
1
∫
0
(4.16) в (4.17),
( )
1d
(4.16)
2
ξ−=∫ξ
удовлетворяло не уравнению
–
интегралу теплового
ξΘ∂
2
ξ∂
1)Fo,(
−
ξ−
1
ξΘ∂
)Fo,(
ξ∂
после определения функции
. (4.17)
ξ
d
q(Fo)
чаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение
Интегрируя уравнение
где
С1 –
Подставляя
постоянная интегрирования
(4.19) в (4.16)
dq
(4.18),
получаем
( )
q16
−=
. (4.18)
находим
6exp1)Fo( FoFoСq
.
. (4.19)
полу
-
С
1)Fo,(
1
Для определения постоянной интегрирования
)Fo6exp()2(
. (4.20)
С1
составим невязку
начального условия и потребуем ортогональности невязки к координат
ной функции
,
находящейся в произведении с экспонентой в со
149
-
-
отношении
−
=
(4.20) и
являющейся по сути собственной функцией
1
[ ]
∫
0
1
ξξ−ξ−
. (4.21)
0)2()2(С1
=ξ−
Соотношение
неизвестной С
которого находим
Соотношение
тегрирования
(4.21)
,
представляет алгебраическое уравнение, из решения
1
С
1
(4.20) с
С
представляет решение задачи
1
после определения интегралов относительно
5,1
.
учётом найденного значения постоянной ин
(4.10) – (4.13) в
приближении. Оно точно удовлетворяет граничным условиям
(4.13), и
Результаты расчётов по формуле
ченным по методу
ключить, что расхождение результатов не превышает
приближенно
[20]
7
0
.
0
.1
0
–
уравнению
(4.10) и
(4.20) в
приведены на рис
начальному условию
сравнении с решением, полу
. 4.2.
Их анализ позволяет за
5 % .
-
первом
(4.12),
(4.11).
-
-
Рис
. 4.2
линдре
Распределение температуры в ци
–
– по
методу
по формуле
[20]
(4.20),
Повышение точности решения связано с увеличением числа членов
ряда
(4.15),
новных граничных условий
неизвестные коэффициенты которого будем находить из ос
(4.12), (4.13),
соотношения
(4.15) и
некото
рых дополнительных граничных условий, определяемых таким образом
чтобы их выполнение исходным уравнением было эквивалентно вы
полнению уравнения
получения продифференцируем соотношения
менной
Fo
(4.10) в
граничных точках
(4.12) – (4.14) по
150
ξ = 0 и ξ = 1.
Для их
пере
-
-
,
-
-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]