Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
2
2
=Θ+∂Θ
∂
x
δη=
λαδ=
−−=
Θ
2,1=i
λ
2,1=i
2
1
δ+δ=δ
Ψϕ=
Θ
a
µ−=
ϕ
121
1
Ψ=Ψ
12211
1
2
2
2,1=i
0)Fo,1(Bi)Fo,1(
, (1.109)
где
Bi
избыточная температура
ратуропроводности
чальная температура
двухслойной пластины
x
) –
–
безразмерная координата
–
число Био
2
,
, a –
a
(
i
наименьший из коэффициентов темпе
); α –
;
ср
коэффициент теплоотдачи
коэффициенты теплопроводности
;
–
t
ср
; τ –
температура среды
время
.
Fo δτ= a
ttttx
0
ср
iii
1-го и 2-го
;
Согласно методу разделения переменных, решение зада
чи
(1.104) – (1.109)
Подставляя
венных дифференциальных уравнения
отыскивается в виде
(1.110) в (1.104),
)()Fo()Fo,( xx
. (1.110)
iii
получаем следующие два обыкно
2
–
число Фурье
–
относительная
)()()Fo,(
слоя
;
–
толщина
-
;
t
– на-
0
(
i
-
,
-
A
.
a
II
i
i
)Foexp()Fo(
nnni
, (1.113)
I
i
где
2
v=µ
.
Решение уравнения
A
где
–
неизвестные коэффициенты
n
; (1.111)
i
0)Fo()Fo( =µϕ+ϕ
(1.62)
известно и имеет вид
Граничные условия и условия сопряжения для уравнения
будут
I
0)0(1=Ψ
; (1.114)
II
Ψλ=Ψλ
Решение уравнения
)()(
xx
; (1.116)
(1.112)
принимается в виде
I
, (1.112)
i
0)()( =Ψµ+Ψ xx
(1.112)
)()(
xx
; (1.115)
0)1(Bi)1(
=Ψ+Ψ
. (1.117)
где
n
∑
=Ψ
k
C
–
неизвестные коэффициенты
ki
kini
0
=
41
ki
;
)()(
xNCx
, (
ki
)(xN
–
) (1.118)
координатные функ
-
ции
...,6,4,2,0
=
k
...,5,3,1,0
=
k
2,1=i
0=x
1=x
1
1
==Ψ
0=x
121
1
221
1=x
1=x
.
Координатные функции для первого и второго слоев имеют вид
k
Коэффициенты
условий
(1.114) – (1.117).
; (
k
1
2kk
C
(
ki
xxN =)(
(
.)(
xxN =
nk ,0=
;
)
определяются из граничных
Число коэффициентов
) (1.119)
) (1.120)
C
может быть
ki
сколь угодно большим, а граничных условий и условий сопряжения
только четыре, следовательно необходимо ввести дополнительные
граничные условия. Эти условия можно получить посредством запи
си уравнения
и
вид
(1.112) и
.
Таким образом, первое дополнительное условие имеет
производных от него разного порядка в точках
)0(
const
, (1.121)
-
Оно получается из граничного условия
тельные граничные условия (в точке
)0( aaIIµ−=Ψ
;
III
(1.114).
)
будут иметь вид
0)0(1=Ψ
;
Остальные дополни
IV
)0( aa
Чтобы получить дополнительное граничное условие в точке
дифференцируем уравнение
Продифференцируем уравнение
шем полученное соотношение для точки
Соотношение
(1.122)
(1.109) по
2
Fo
∂∂Θ∂x
2
Θ∂
2
x
∂∂
)Fo,1(
+
Fo
переменной
Θ∂
Bi
22
∂
Fo
(1.104) по
)Fo,1(
=
Θ∂
i
3
a
a
Fo
)Fo,1(
. (1.122)
0
=
переменной
2
x
∂
)Fo,1(
3
. (1.123)
перепишем с учетом уравнения
µ=Ψ
x и
(1.104
.
запи
-
-
Сравнивая
2
Θ∂
2
∂∂
Fo
x
(1.123) и (1.124),
)Fo,1(
a
−=
Bi
a
получаем
42
2
Θ∂
i
2
∂
x
)Fo,1(
2
. (1.124)
∂
∂Θ∂x
x
Из
2
2
1
=
11
=
1
=
1
1
=
2
=
1
−
2
−
1
=
λ
2
=
λ
2Bi=
2
=
(1.125)
Bi
2
Θ∂
2
)Fo,1(
0
=
2
. (1.125)
3
2
)Fo,1(
3
+
имеем следующее дополнительное граничное условие
Для определения коэффициентов
IIIII
С
0)1(Bi)1(
=Ψ+Ψ
. (1.126)
подставим
ki
(1.118)
во все
основные и дополнительные граничные условия. При этом в соотно
шении
для второго слоя
ских линейных уравнений
граничных условий) с девятью неизвестными
=
k
(1.118)
3,0
).
для первого слоя ограничимся пятью членами ряда, а
–
четырьмя. В результате будем иметь
(по
числу основных и дополнительных
C
1k
(
9
алгебраиче
) и
C
2k
4,0
=
k
Проанализировав эту систему уравнений можно заключить, что
в
5
уравнений, кторые содержат неизвестные
ному неизвестному (уравнения разделяются
a
C
01
;
C
0
;
C µ−=
21
2
;
21a
C
,
входят лишь по од
1k
).
Эти неизвестные будут
1
C
31
0
;
C µ=
41
24
a
2
2
a
-
-
(
-
.
Чтобы определить коэффициенты
C
(
k
2k
=
3,0
)
требуется
ре-
шать четыре алгебраических линейных уравнения, которые состав
ляются из граничных условий
Найдем решение задачи
ных данных
a /106
⋅=
aa
.
[12]:
26
c
м
;
Определив коэффициенты
вязки уравнения
(1.112)
x
1
a
1
∫
a
0
4
∑
=
k k
(1.115) – (1.117), (1.126).
(1.104) – (1.109)
м002,0
;
24,45
Вт/(м⋅К
C
k
1
0
C
∂
);
составим интеграл взвешенной не
ki
2
N
k
1
2
∂
x
µ+
м006,0
∑
при следующих исход
;
a /105,12
24,16
4
=
0
⋅=
Вт/(м⋅К
+
dxNC
kk
11
);
м
-
26
c
;
;
-
-
43
+
−
−
044343
1
=
µ
2
=
µ
=
µ
µ−µΨ=
Θ
2,1=i
2,1=i
µ
Ψ
=µΨ
×
3,2,1=j
3,2,1=j
1
∫
x
1
3
a
2
∑
C
a
0
=
k k
2
∂
N
2
2
k
k
2
∂
x
3
∑
µ+
0
=
dxNC
22
kk
(1.127)
.0
=
Определяя интегралы в соотношении
метра
µ
получаем характеристическое уравнение вида
Его корни
,1
;
3322
316056,22
(1.127),
;
3
относительно пара
=µ⋅+−µ⋅⋅+µ⋅⋅−
816549,43
. (1.129)
Собственные функции, соответствующие каждому собственному
числу, находятся из
Соотношение
венного числа будет
Каждое частное решение вида
ничным условиям
(1.118).
(1.110) с
учетом
(1.113), (1.118)
xAx
kkkikki
(1.106), (1.109) и
для каждого собст
)Foexp(),()Fo,(
. (
(1.130)
k
точно удовлетворяет гра
=
3,1
;
условиям сопряжения
) (1.130)
025019,121949,11019421,11002234,8
. (1.128)
(1.107),
-
-
-
(1.108) и
чества найденных из полинома
творяет уравнению
том числе и их сумма
не удовлетворяют начальному условию
ношение
приближенно (в зависимости от числа приближений
(1.104).
(1.128)
Но ни одно из этих частных решений, в
собственных чисел) удовле
3
(1.131)
∑
=
1
k
xAx
удовлетворяло начальному условию, составляется
µ−µΨ=Θ
kkkiki
(1.105).
)Foexp(),()Fo,(
, (
) (1.131)
Для того чтобы соот
–
коли
его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собствен
),(
ной функции
x
3
1
∑
∫
=
1
k
0
x
kkk
, т.е.
−µΨ
2
1
3
∑
∫
=
1
k
x
1
. (
dxx
ij
0),(
) (1.132)
xAdxxxA
21
kkkjj
×
−µΨ+µΨ
1),(),(1),(
ki
1
-
-
-
-
Определяя интегралы в
фициентов
A
(
k
(1.132),
)
получим систему трех алгебраических ли
относительно неизвестных коэф
44
-
-
нейных уравнений. Из решения этой системы находим
119281
1
=
2
−
=
=
Θ
−
1
=
x
0
=
x
A
,1
;
A
500714,0
;
A
3
404640,0
.
)1(
Fo
Р и с. 1.14. Распределение температуры в двухслойной пластине. –––
– метод прогонки; o – по данным [20]; × – по формуле (1.131) (третье
приближение); ∆ – по формуле (1.126) (шестое приближение) [25]; □ – по
формуле (1.124) (шестое приближение) [25]
После определения
том виде находится из
ле
(1.131) в
ных разностей
сравнении с данными
(
метод прогонки
шестом приближении
ванием локальных систем координат
рис
. 1.14.
A
решение задачи
k
(1.131).
[25], а
(1.104) – (1.109) в
Результаты расчетов по форму
[20], с
), с
расчетом по формуле
расчетом по методу конеч
(1.131) в
также с расчетом по методу с использо
[25],
представлены на графиках
1.4. Аналитические решения краевых задач
Штурма – Лиувилля
Выше было представлено множество примеров использования
замкну
-
-
-
-
методов решения нестационарных задач теплопроводности, которые
основываются на использовании дополнительных граничных усло
вий. Смысл таких условий
–
выполнение дифференциального урав
45
-
-
нения краевой задачи Штурма-Лиувилля, которое получается после
()(
)
(
)
δ<<>τ
(
)
=
(
)
=∂τ
∂
(
)
=τδ
−−=
Θ
δ=ξ
процедуры разделения переменных в исходном дифференциальном
уравнении, и производных от него различного порядка в граничных
точках пространственной переменной. Решение задачи Штурма
Лиувилля отыскивается при этом в виде бесконечного ряда при ис
пользовании алгебраических или тригонометрических координатных
функций. Выполнение дополнительных граничных условий приводит
к удовлетворению дифференциального уравнения внутри области с
точностью, которая зависит от числа приближений (числа членов ря
да решения
практически для любых дифференциальных операторов, в тех случа
ях, когда разделение переменных возможно
Ниже изложен другой способ к решению указанных задач, не
связанный с применением дополнительных граничных условий. Реа
лизация метода рассмотрена на примере решения краевой задачи теп
Этот подход позволяет решать нестационарные задачи
.
-
-
-
-
-
-
лопроводности для бесконечной пластины при симметричных гра
ничных условиях первого рода
Математическая постановка задачи
a
;
0
; x –
2
∂
координата
xt
τ∂
=
τ∂
0, txt
где
t –
пература
проводности
Безразмерные переменные
где
Θ −
температура
t
;
−
ст
относительная избыточная температура
температура стенки
; δ −
половина толщины пластины
.
,,
xt
τ∂
;
2
x
0,0
tttt
ст0ст
)()(
;
xt
; τ −
; а –
;
время
коэффициент температуро
x
;
.
x0;0
, tt
t
;
−
0
Fo δτ= a
; ξ −
(1.133)
, (1.134)
ст
начальная тем
2
,
безразмерная
-
-
-
координата
После принятых обозначений задача
; Fo –
число Фурье
.
46
(1.133), (1.134)
имеет вид
()(
)
∂
(
)
<ξ<
>
(
)
=ξΘ
(
)
Θ
∂
(
)
=
Θ
()()(
)
ξψϕ=ξ
Θ
()(
)
=νϕ+∂ϕ
()(
)
()(
)
ν−=
ϕ
(
)
=ξψ
(
)
=
ψ
(
)
==ψ
.75,0;5,0;25,0;
0
=
ξ
75,0;5,0;25,0;0
=
ξ
ξΘ∂
Fo
Fo,
2
=
Fo,
ξΘ∂
2
ξ∂
;
10;0Fo
(1.135)
10,
; (1.136)
Следуя методу разделения переменных, решение задачи
(1.138),
Подставляя
d
где
ν −
Решение уравнения
где
А –
Подставляя
разыскивается в виде произведения двух функций
(1.139) в (1.135),
0FoFoFo
; (1.140)
некоторая постоянная
(1.141)
неизвестный коэффициент
(1.139) в (1.137), (1.138),
dd
00
; (1.143)
Fo,0
ξ∂
находим
.
известно и имеет вид
A
.
; (1.137)
0
=
FoFo,
FoexpFo
получаем
. (1.139)
, (1.142)
01
. (1.144)
0Fo,1
. (1.138)
(1.135) –
022=ξνψ+ξ∂ξψd
, (1.141)
Решение краевой задачи Штурма-Лиувилля
(1.144)
где
шение
ное условие
му условию
Подставляя
принимается в виде
( )
(1.96)
Соотношение
Подставив
Потребуем чтобы соотношение
–
неизвестные коэффициенты. Отметим, что соотно
),1( riBi=
удовлетворяет граничному условию
(1.143)
(1.145) в (1.146),
(1.144) и
(1.141),
ограничиваясь пятью членами ряда, в соотноше
дает возможность ввести еще одно гранич
определяем
уравнению
r
∑
ξ+=ξψ
0
const
(1.141) в
BB
i
1
=
i
10
. (1.146)
(1.145)
i
(1.141), (1.143),
1
+
,
(1.145)
(1.143).
B
= 1.
0
удовлетворяло гранично
точках
-
-
-
-
ние
(1.144)
и уравнение
относительно
(1.141),
47
применительно к точкам
неизвестных коэффициентов
(
)
1
ν−=
(
)
1
2
(
)
(
)
1
4
(
)
1
2
(
)
ν
−−−
−
−
467312
1
=
ν
896613
2
=
ν
857583
=
ν
467401
1
=
ν
206609
2
=
ν
685028
=
ν
получаем систему пяти алгебраических линейных уравне
i
5,1=iB
-
ний. Из решения этой системы находим
B
3
5
c
2
;
234
23
ν+ν−ν= 204805126
;
234
234
234
Найдем интеграл взвешенной невязки уравнения
1
∫
0
Вычисляя интегралы в
2
∂
2
ξ∂
r
∑
i
1
=
i
1
+
i
ξ+
(1.147), с
r
∑
1
=
i
учетом найденных значений ко
49152002370560162080359425 cB +ν−ν+ν−ν=
270336001294592084728018134105 cB +ν−ν+ν−ν−=
1179648056524803717127632402 cB +ν−ν+ν−ν=
157286407536640494848976048 сB +ν−ν+ν−ν−=
23
ν+ν−ν=c
;
;
2
;
;
2
.307207689
(1.141)
1
+
i
ξ+ν+
i
dBB
. (1.147)
011
=ξ
-
эффициентов
ем алгебраическое уравнение пятой степени
Решая уравнение
из которых
ствительные
,21
i
относительно собственных чисел
5,0=iB
100253,1108109,1100173,117901
1212
(1.148)
–
комплексные самосопряженные. Принимая только дей
собственные
;
3
,60
получаем пять собственных чисел, два
числа
,
.
0104401,3106365,1
=⋅−ν⋅+
. (1.148)
получаем
21139475
Точные значения первых трех собственных чисел
,2
;
,22
;
3
,61
.
Для того чтобы уточнить собственные числа составляется невяз
ку уравнения
(1.141) и
требуется ортогональность невязки к собст
получа
k
+ν⋅−ν⋅+ν⋅−ν
,2
[26]
-
;
-
-
венной функции
1
∫
0
2
∂
2
ξ∂
(1.145)
r
∑
i
1
=
i
Вычисляя интегралы в
1
+
i
ξ+
r
∑
ξ+ν+
i
1
=
i
(1.149),
48
1
+
i
получаем следующее алгебраиче
r
∑
i
1
=
i
1
+
i
ξ+
dBBB
. (1.149)
0111
=ξ
-
ское уравнение
57915
810810
540540
360360
81081
81081
27027
231
429
3003
127
+
6789
ν⋅
151661
−
ν⋅
63091980041
ν⋅
70854041
+
0484218473506
−
ν⋅
788626739
−
ν⋅
+
ν⋅
+
345
53609860930625
ν⋅
−
−
17603881393586
2
ν⋅
+
76001920739573
ν⋅
−
Таблица 1.1
Расчетные значения собственных чисел в сравнении
с точными
40001114007142
.
(1.150)
49
Из
2,467401
1
=
ν
215176
2
=
ν
929695
=
ν
)5;3,2,1(
=
=
r
j
27798
1
=
4337
2
−
=
265008
=
(1.150)
находим девять собственных чисел, шесть из которых
комплексные. Действительные собственные числа имеют вид
;
,22
;
3
,61
.
Анализ результатов
позволяет сделать вывод, что требование ортогональности невязки
уравнения
(1.150) к
собственной функции
(1.145)
значительно уточ
няет собственные числа, но при этом объем вычислительной работы в
существенно возрастает, так как растет степень алгебраического
уравнения относительно собственных чисел
Подставляя
(1.142), (1.145) в (1.139),
числа будем иметь частное решение вида
( ) ( ) ( )
1FoexpFo,
Каждое частное решение из
ным условиям
(1.137), (1.138) и
(1.151)
приближенно (в третьем приближе
.
для каждого собственного
r
∑
BA
=
i
1
kikkk
+
i
1
ξν+ν−=ξΘ
. (1.151)
точно удовлетворяет гранич
-
-
-
нии
) –
уравнению
в том числе и их сумма
( ) ( ) ( )
не удовлетворяют начальному условию
(1.135).
Однако, ни одно из этих частных решений
n
∑
=
k
1 1
r
∑
1FoexpFo,
=
i
(1.136).
BA
ξν+ν−=ξΘ
kikk
, (1.152)
+
i
1
Для выполнения на
чального условия составляется его невязка и требуется ортогональ
ность невязки к каждой собственной функции, т.е
1
3
∑
∫
1, 1
=
ki
0
r
∑
( )
=
i
kik
1
+
k
ξν
−
.
. (1.153)
0),(1
=ξξνψ
dBA
jj
Определяя интегралы в
(1.153),
для нахождения
k
)3,1( =kA
по-
лучается система трех алгебраических линейных уравнений. Ее ре
шение
,
-
-
-
A
,1
;
A
,0
;
Точные значения первых трех коэффициентов
табл
. 1.1.
50
A
3
,0
A
.
приведены в
k
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]