Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
2
1
)1,....,.4,3,2
(
−
=
n
k
2
1
2
1
2
1
i
k
i
n
2
∑
=
∑
∑
i
1
+
)(
2
)(
xTbxTa
111
1
2
+=
;
CхC
211
1
)(
2
222
−−−+
)()()(
xTaaxTbxTa
2122
2
2
12
+=−−
;)()(
CхCxTbb
2212
i
∑
=
2
−−−+
)()()(
+
13
1
xTааxTbxTa
ii
i
1
)(
2
333
2
2
+
1
1
ii
i
+=−−
;)()(
CхCxTbb
231
.......................
−
1
1
)(
2
2
−
1
+
1
=
1
2
ii
k
−−−+
)()()(
∑
i
−
1
=
1
xTааxTbxTa
iikkkk
i
+=−−
;)()(
CхCxTbb
21
кi
.......................
(2.204)
−
2
1
)(
2
111
2
−
2
+
1
=
1
2
ii
n
∑
+−−−−
11
=
1
i
iinnnn
−−−+
)()()(
xTааxTbxTa
i
+=−−
.)()(
CхCxTbb
−
ni
211
Из первого уравнения системы (2.204) находим
2
a
b
1
1
)(
xT
1
a
b
2
1
2
b
1
Оставшиеся неизвестные
+−+−= CxC
1
)(
xT
находятся по следующей рекур-
k
)(
211
рентной формуле
2
a
)(
xT
k
1
−
к
1
∑
b
=
i
k
1
+
1
k
b
k
2
ii
a
k
2
b
k
2
)()(
xTbb
i
b
k
111
b
2
−
1
k
∑
=
1
i
k
+−−+
к
2/1
. (2.205)
−−+−=
+
1
ii
2/1
+
)()(
xTaa
i
(2.206)
CxC
21
.)(
Подставляя (2.205) и (2.206) в (2.202), находим общее решение
1
2
1
2
=
=
1
=
2
=
=
1
2
1
=
=
001
2
1
=
=
2
2
=
1
дифференциального уравнения (2.185). Постоянные интегрирования
и
C
определяются из граничных условий (2.186), (2.187). Для их
C
нахождения будем иметь следующую систему двух алгебраических
нелинейных уравнений
2
2
1
++−=
2
b
1
n
n
1
2
2
2
b
2
ii
;
C
2
−
2
n
∑
=
1
i
n
−++−=
+
1
ii
+
)()(
xTaa
i
2
)()(
xTbb
i
b
n
+−−+
CxC
n
21
T
T
a
1
1
с
2
с
b
1
b
1
a
n
b
n
−
1
n
∑
=
1
i
n
a
b
a
b
+
1
Определяя из системы (2.207) постоянные интегрирования
C
и подставляя их в (2.202), получаем искомое решение нелинейной
(2.207)
2/1
.)(
C
и
задачи теплопроводности для многослойной стенки.
Соотношение (2.202) для двухслойной стенки примет вид
2
х
a
)(
2
х
b
)(
2
+
хх
)()(
i
2/1
]
(2.208)
,)(
х
.
1
+−−−+
−−−+−= T
СхС
21
Haa
х
b
)(
2
)()(
Тхх
112
i
b
12
2
)(
х
где
х
a
xT
)(
)(
х
b
)(
1
Hbb
)(
х
b
Т
– температура в точке контакта слоев, т. е. при х =
1
Найдем решение конкретной задачи при следующих исходных
данных:
мх
Т
100
а
°С;
a
1
с
;
Т
2
с
Константа интегрирования
0
°С;
bb
,0
C
находится из первого уравнения
5,0
;
. (2.209)
1
мх
;
0
х
0
;
системы (2.207)
интегрирования
C
C
, определяемое из второго соотношения системы
(2.207), будет иметь вид
)5,100(
. Уравнение для нахождения константы
112
T
1
−
=
1
1
=
1
2
1
=
1
2
1
=
2
a
2
с
b
2
a
2
b
2
2
2
b
2
2
)(
−++−= CxC
Taa
1
)(
Tbb
112
b
2
112
2
2
b
2
+−−+
2/1
.
)(
221
(2.210)
Из (2.210) находим
C
5,100
.
Температура в точке контакта слоев, определяемая из соотношения (2.205), будет
Т
Ввиду малых значений коэффициентов
линейной. Точное решение линейной задачи составляет
но если уменьшить величины
чаемая по формуле (2.205) температура будет
,49
°С.
b
и
b
b
до значения 0,0001, то полу-
и
Т
b
задача близка к
50
Т
2,50
°С, т. е. задача
°С.,
становится практически линейной.
Применив асимметричную единичную функцию, можно получать
простые и удобные для практического использовая аналитические
решения стационарных нелинейных задач теплопроводности для
многослойных конструкций.
2.6. Метод сведения задач теплопроводности
для многослойных конструкций к однослойным
Для получения решений задач теплопроводности для многослойных конструкций актуальной является идея сведения задач теплопроводности для многослойных конструкций к однослойным. Однако
проблема заключается в том, чтобы построить однослойную модель
полностью эквивалентную образцу по оказываемому ею сопротивлению процессу переноса теплоты.
Метод сведения задач теплопроводности для многослойных конструкций к однослойным использовался многими авторами, среди
них В.Н. Пехович, А.С. Беликов, С.А. Коздоба и многие другие. Согласно этим работам, для того чтобы привести задачу для многослойной конструкции к однослойной, теплофизические свойства всех слоев принимаются одинаковыми, равными теплофизическим свойствам
113
в каком – либо одном слое многослойной системы. Толщины всех
δ
λ
δ
δ
δ
δ
λ
δ=λ
δλδ
δ
δ
слоев изменяют таким образом, чтобы произведение теплового и теплоемкостного сопротивлений каждого слоя образца и модели было
одинаковым, т.е.
O
O
RR ⋅
=
c
t
ii
M
t
M
RR ⋅
(2.211)
c
ii
где
R
O
t
i
=
i
λ
O
R
;
i
=
c
i
ii
– тепловое и теплоемкостное сопротивления i
a
i
– того слоя, индексы «О» и «М» относятся соответственно к образцу
и модели;
– толщина i – того слоя;
i
a,
– коэффициенты тепло-
ii
проводности и температуропроводности i – того слоя.
Однако соотношение (2.211) не гарантирует равенства тепловых и
теплоемкостных сопротивлений образца и модели в отдельности, т. е.
O
t
М
RR ⋅=
t
ii
;
O
с
М
RR ⋅=
(2.212)
с
ii
Если принять теплофизические свойства модели равными теплофизическим свойствам первого слоя (допустим, что рассматривается
двухслойная система), то толщина первого слоя модели будет равна
толщине первого слоя образца. В этом случае неизвестной величиной
будет лишь эквивалентная толщина второго слоя модели
. Для ее
э2
определения из (2.212) будем иметь следующую систему из двух алгебраических уравнений:
12
ээ
(2.213)
aa
1
, т.е. имеем переопреде-
э2
λ
=
2
;
1
2
2
22
2
Эти уравнения содержат одно неизвестное
ленную систему уравнений, которая может иметь лишь приближен-
ное решение. Таким образом, путем изменения толщин слоев создание модели, тепловое и теплоемкостное сопротивление которой равны этим же сопротивлениям образца, на точном аналитическом уровне при таком подходе не представляется возможным.
Рассмотрим данный метод относительно условия (2.211)
2
c
γδ
i
ii
RR
=⋅
ct
ii
λ
i
=
idem
.
Отсюда из равенства
114
22
cc
λ
γδ
iii
=
i
λ
γδ
iiiэ
(2.214)
i
для толщины эквивалентного приведенного слоя будем иметь формулу
a
1
δ=δ
iiэ
(2.215)
a
i
Для тела, состоящего из m слоев, эквивалентная толщина
a
1
э
21
a
a
3
...δ+δ+δ+δ=δ
a
ii
a
11
m
(2.216)
a
m
Пользуясь графиком (рис. 2.12) можно говорить о том, что при
таком подходе к решению задач по методу Канторовича и методу конечных разностей удовлетворительное совпадение результатов расчета наблюдается лишь на каких – то отдельных отрезках временного
интервала, а точность решения на других отрезках времени недостаточна.
115
Р и
с. 2.12 Графики распределения
метод приведения многослойной
конечных разностей;
В связи с этим возникает
модели (или ее теплофизических
коррекцию решения в сторону
следований был получен
ю и
примере решения конкретной
слойной пластины, на одной
вует, а на другой задано
Модель строится на
и массопереноса
Математическая постановка
--
ого решения Лыкова
--
----
Основную иде
«Теория тепло –
--∆---- – метод Канторовича --
для однослойной пластины.
--°-- – метод
точное решение
с-
х-
т-
116
()(
)
2
(
)
=
=
(
)
∂
x
(
)
()(
)
=
()(
)
∂∂=∂∂
λ
λ
===≤≤
2,0=Fo
5,2=Fo
−
τ
τ
δ
∂
FoxT
a
∂
=
∂
Fo
a
,,
FoxT
iii
2
x
∂
(2.217)
,
i
1
0
,0
FoT
∂
3
1+
−
ii
Данная задача имеет решение:
( ) ( ) ( ) ( )
−+= ixFo
01
constTFoxT
0
=
(2.219)
TFoT=,1
(2.220)
с
,,
iiii
++
11
TTBTFoxT
(2.218)
FoxTFoxT
(2.221)
N
N
xFoxTxFoxT
(2.222)
η
)1;0;3,2,1;(
301
(2.223)
3,2,1exp,
1
icci
=
xxixxx
2
1
,,
iiiiii
(оно получено в работе «Теплообмен и тепловоспламенение в многослойных конструкциях» автора Кудинова В.А.). Это решение хорошо
описывает температурное состояние трехслойной системы в стадии
регулярного режима теплообмена (до
).
Найдем толщину модели в стационарном режиме. Такой режим
имеет место при
определим Θ – безразмерную величину время. По формуле
. Из точного решения Лыкова (по графику)
c
1
=Θ
TTTT−
c
0
найдем T1 (ºC). Подставляя найденное значение T1 в (2.233), найдем
a
Fo, затем подставив Fo в уравнение
Fo =
найдем τ, время, за кото-
2
δ
рое образец в точке х = 0, охлаждается до температуры T1. По найденному значению τ из формулы
Fo
a
=
М
δ
находим эквивалентную
2
ЭМ
толщину модели
Это значит, что при такой толщине для времени
, м.
э
1
τ
модель будет пол-
1
ностью эквивалентна образцу в смысле оказываемого ею сопротивле-
117
ния процессу переноса теплоты, т. к. температуры в соответствую-
δ
щих точках образца и модели будут одинаковыми.
Р и с. 2.13 Графики распределения температуры в трехслойной пластине,
приведенной к однослойной: –— – точное решение, ○ – результаты переноса точного решения на модель
Эквивалентную толщину
на графике точного решения примем
э
1
равной 1 (АВ = 1).
Аналогично можно найти толщину модели и для других чисел
Foм.
Важно отметить, что при регулярном режиме, где – то до Fo = 0,2
толщина модели изменяется по линейному закону, а при нерегулярном режиме по параболе.
Из анализа полученных данных заключаем, для того, чтобы решение для образца и модели совпадали, толщина модели должна
быть переменной во времени (или с переменными во времени свойствами среды).
118
Глава 3
ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ ОДНОСЛОЙНЫХ И
МНОГОСЛОЙНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ФИЗИЧЕСКМИ
СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ
Методы, изложенные выше в ряде случаев обосновано применять
для решения другого класса задач, к которым относятся задачи термоупругости для многослойных конструкций с переменными в пределах каждого слоя упругими свойствами. Представленные в настоящей главе задачи рассмотрены в квазистатической постановке (температурные напряжения, которые развиваются в материале от температурных градиентов во времени не учитываются).
Вследствие отстутствия точных методов интегрирования дифференциальных уравнений термоупругости с переменными по радиальной координате физическими свойствами среды ограничимся их приближенным решением.
Если сравнивать температурные задачи и задачи термоупругости,
то следует отметить, что последние содержат более сложную математическую постановку, а именно, дифференциальное уравнение, относительно искомой функции перемещения, граничные условия и главным образом, условия сопряжения, которые в точках контакта слоев
заданны равенством напряжений и перемещений.
Ортогональный метод Бубнова-Галеркина при решении таких задач является наиболее эффективным. Объяснение этому в том, что
при его использовании отстутствуют вариационные проблемы и следовательно нет необходимости иметь функционал для исходного диференциального уравнения.
Но применение данного метода к задачам термоупругости дает
возможность получить решение лишь в случае построения координатных функций, которые бы точно удовлятворяли граничным условиям и условиям сопряжения. Методы построения координатных
систем и были применены и для решения задач термоупругости.
119
σ−σ
σ
∂
r
ε
r
dr
=ε=
ε
E
E
σ
σ
ε
ε
r
ε
σ
σ
ν
−
1
3.1. Задачи термоупругости для диска и цилиндра
с переменными свойствами
Математическая постановка задачи термоупругости для тонкого
круглого диска включает (плоское напряженное состояние):
1.
Уравнение равновесия
+
r
r
σ
2.
Уравнение совместности деформаций
d
3.
Соотношения между деформациями
Θ
1
Θ
r
( )
Θ
мещением U (геометрические уравнения)
;
4.
Физические уравнения
r
1
( )
rr
1
( )
ΘΘ
. (3.1)
0=
0
=ε−ε+
r
ε
Θ
Θ
. (3.2)
,
ε
и радиальным пере-
r
θ
rUdrdU
. (3.3)
; (3.4)
T
α+νσ−σ=ε
, (3.5)
T
α+νσ−σ=ε
r
где
координата;
,
r
– соответственно радиальное и окружное напряжения; r –
Θ
,
– деформации; ν – коэффициент Пуассона; Т –
Θ
r
температура; Е – модуль нормальной упругости (модуль Юнга); α –
коэффициент линейного расширения.
Дифференцируя по r второе соотношение (3.3), получим
d
Θ
dr
U
2
Разрешая соотношения (3.4), (3.5) относительно
E
=σ
1
[ ]
rr
2
ν−
Θ
E
=σ
[ ]
Θθ
2
120
r
1
+−=
r
( )
( )
dU
. (3.6)
dr
,
r
, находим
Θ
αν+−νε+ε
T
;1
(3.7)
.1
T
αν+−νε+ε
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]