Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитические решения задач теплопроводности и термоупругости с переменными физическими свойствами среды. Учебное пособие
.pdf
1
1
=
−
ff
1
ν
=
(
)
=
ξϕν=ξ
Θ
11
ξ
ϕ
12
ξ
ϕ
ξ
С
ξϕν=ξ
Θ
)3,2,1(=i
2
1
λ=λ=λ
2
1
=
=
ξ
ϕ
=ξϕ
Интегрируя уравнение (2.166), получаем
0)Fo(3,957553)Fo('
. (2.166)
f
С
),Foexp()Fo(
i
2,1
(2.167)
где С – постоянная интегрирования.
Подставляя (2.167) в (2.162), находим
С
)()Foexp()Fo,(
. (2.168)
1
ii
Для нахождения постоянной интегрирования составляется невязка начального условия (2.157) и требуется ортогональность невязки к
координатным функциям
2
∑
1
=
i
)(
и
i
[ ]
∫
ξ
1
−
i
)(
(2.169)
.0)(1)0,(
=ξξϕ−ξΘ
d
1
i
Подставляя (2.168) в (2.169), находим
ξ
1
∫ ∫
0
1
. (2.170)
0)()1)(()()1)((
=ξξϕ−ξϕ+ξξϕ−ξϕ
ξ
1
12121111
dСdС
Определяя интегралы в (2.170), относительно постоянной интегрирования
получаем следующее алгебраическое уравнение
1,40005С – 1,0194 = 0. Его решение С = 0,7281.
С учетом найденного значения постоянной интегрирования решение задачи (2.156) – (2.161) в первом приближении принимает вид
C
).()Foexp()Fo,(
111
ii
(2.171)
Соотношение (2.171) применительно к однослойной пластине
;(
)
aaa
приводится к виду
2
).1)(Fo5,2exp(25,1)Fo,(
ξ−−=ξΘ
(2.172)
Формула (2.172) совпадает с решением в первом приближении
для однослойной пластины, полученным в работах [28, 34, 61].
Найдем решение задачи (2.156) – (2.161) во втором приближении.
Составляя невязку уравнения (2.156) и требуя ортогональности невязки к координатным функциям
)(
1
и
i
2
i
i
),2,1()(
находим
ξ
2
i
∑
∫
1
=
i
ξ
1
−
i
ff
a
i
2211
ii
a
2
101
ϕ+ϕ−ϕ+ϕ
==ξϕ
2211
ii
ji
jdff
)2,1(.0)""(''
(2.173)
2
2
=++
+
=
1
=
2
=
=
4
=
1
=
2
=
=
4
2
1
=
=
−
rDA,,
=++
+
+
+
Соотношение (2.173) приводится к следующей системе двух
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неиз-
вестных функций
ξ
1
0
ξ
1
a
1
a
0
ξ
1
0
ξ
1
a
1
a
0
)Fo(1f
и
111
111
Определяя интегралы, находим
)Fo(2f
1
−ξϕϕ+ϕ+ξϕϕ+ϕ
dffdff
∫∫
ξ
1
1
122111
122111
ξ
1
∫∫
ξ
1
1
ξ
flflflfl
24132211
12111111
∫∫
2
12121211
∫∫
2
fbfbfbfb
24132211
=+++
;0''
(2.174)
,0''
)''()''(
12121
22212111
22212121
12
)''()''(
22221
22
;0)""()""(
=ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ−
dffdff
−ξϕϕ+ϕ+ξϕϕ+ϕ
dffdff
dffdff
.0)""()""(
=ξϕϕ+ϕ−ξϕϕ+ϕ−
b
где
1,238258
1,238258;
l
1,138087;
b
1,400050;
l
5,280966;
3
b
5,540774;
3
l
6,189359.
b
4,991920;
l
Частные решения системы уравнений (2.174) разыскиваются в
виде
),Foexp()Fo();Foexp()Fo(
где
rDfrAf
некоторые постоянные.
(2.175)
Подставляя (2.175) в (2.174), находим
rDrA
rDrA
;0)4,9919201,238258()5,5407741,400050(
(2.176)
=+++
.0)6,1893591,138087()5,2809661,238258(
Система однородных алгебраических уравнений (2.176) имеет
нетривиальное решение в случае, если определитель ее равен нулю
4,9919201,2382585,5407741,400050
rr
(2.177)
.0
=
6,1893591,1380875,2809661,238258
++
rr
Элементы матрицы (2.177) положительны и симметричны относительно главной диагонали, следовательно, корни
102
i
)2,1(=ir
харак-
теристического уравнения, получаемого из определителя (2.177),
1
−
=
33,516547
2
−
=
1
=
+
1
=
=
−
=
1
2
2
2
−==
=
2Fo1
2Fo2Fo1
1
1
1
−
2
2
),
2=n
)2,1(=i
1
2
ξ
ϕ
ξ
ϕ
)3,2,1(=i
ξ
)3,2,1(=j
1
должны быть действительными отрицательными числами. Получены
следующие их значения
Подставляя величину корня
r
r
;3,937965
r
в систему уравнений (2.177), по-
лучаем
DA
11
=+
DA
11
Для однородной системы (2.178) можно положить
Тогда
Аналогично, подставляя
DA
D
0,237004.
.1,133491 ;1
r
в (2.178), находим
С учетом найденных значений постоянных
отношения (2.276) примут вид
.
;0 115700,0 0,027424
(2.178)
.01 1,70761 0,404746
constA
irDA
iii
Fo
rrrr
2121
.)Fo(;)Fo(
eDeDfeAeAf +=+=
(2.179)
)2,1(,,
со-
.1
Чтобы найти общее решение системы уравнений (2.174), умножим частное решение, включающее корень
стоянную
С
, а решение, включающее корень
Подставляя полученные общие решения в (2.162) (при
r
, на произвольную по-
r
на постоянную
нахо-
С
дим
Fo
i
11
Fo
rr
22
i
Fo
111
Fo
rr
2121
eDCeDCeACeAC ϕ++ϕ+=ξΘ
22
2
i
(2.180)
Для определения постоянных
С
и
С
составляется невязка начального условия (2.157) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям
2
i
∑
=
i
[ ]
∫
1
ξ
1
−
i
)(
1
и
i
)(
2
i
(2.181)
.01)()(
=ξϕ−ϕ++ϕ+
2221112211
dDCDCACAC
jiii
.
.)()()Fo,(
Соотношение (2.181) относительно неизвестных постоянных
103
С
2
С
221122211
1
+=+
=
=−−
914979
1
=
1,969779
2
=
1
2
2
1
λ=λ=λ
=
=
2
1
−
−
2
−
−
и
приводится к следующей системе двух алгебраических линей-
ных уравнений
ξ
2
∫∫
ξ
1
ξ
2
∫∫
ξ
1
.;
12222211
22222211
где
ξ
1
С
11212
21212
D
0
ξ
1
0
111
111
D
СЕАСАСЕ
Определяя интегралы, система уравнений (2.182) приводится к
виду
СС
21
СС
21
Из решения системы уравнений (2.183) получаем
С
.
;01,019400350500,01,106577
(2.183)
=−−
.0988124,0051753,00,968526
С
=ξϕ−ϕ+ϕ+ξϕ−ϕ+ϕ
dЕЕdЕЕ
=ξϕ−ϕ+ϕ+ξϕ−ϕ+ϕ
dЕЕdЕЕ
(2.182)
,0
;0)1()1(
,0)1()1(
;
После определения постоянных
С
и
С
решение задачи (2.156) –
(2.161) во втором приближении находится из (2.180). Если положить
;
aaa
(однослойная пластина), то соотношение при-
водится к виду
2Fo52,25Fo47,2
−ξ−+=ξΘ
ee
Fo47,2
eAe
)1)(3,355,1()Fo,(
4Fo52,25
).1)(9048,228,0(
ξ−+−
(2.184)
Соотношение (2.184) совпадает с решением аналогичной задачи
во втором приближении, приведенным в [34, 61].
Аналогично можно получить решение задачи (2.156) – (2.161) и в
любом последующем приближении. Способы построения систем координатных функций для большего числа контактирующих приведены в [34, 27]. Например, для трехслойной пластины координатные
функции при любом числе приближений соответственно для первого,
второго и третьего слоев записываются в виде
λ
3
1
k
−=ξϕ
λ
−
2
λ
λ
3
1
104
2
1
λ
−−ξ
λ
3
2
λ
λ
2
kkk
3
1
ξ
;11)(
2
−ξ
2
λ
(
)
21211
δδ+δ=ξδδ=
ξ
δ+δ+δ=ξ
;1/
=
δ
−δδ
δ
1
τ≤τ
≤
=
τ
1
1
=
ξ
10
Fo−≥
−
λ
2
3
2
2
λ
−ξ
λ
kk
2
3
k
3
2
1)(;11)( ξ−=ξϕξ
k
2
.
k
2
−−=ξϕ
−= knk ;,1(
число приближений;
(
3213
,,
толщины 1 – го, 2 – го и 3 – го
321
);/;/
слоёв.
Результаты расчетов по формулам (2.145) (второе приближение)
и (2.156) (восьмое приближение) даны на рис. 2.11. Их анализ позволяет заключить, что в диапазоне
001,0
(где
0,342 с – вре-
мя достижения фронтом температурного возмущения координаты
), расхождение результатов расчетов, найденных по формулам
(2.145) и (2.156), не превышает 2,5%. С увеличением времени расхо-
ждения возрастает, что связано меньшей точностью решения, получаемого по методу Л.В. Канторовича. Увеличение точности по этому
методу связано с увеличением числа приближений, однако в этом
случае получается большие системы алгебраических уравнений (при
нахождении собственных чисел и при выполнении начальных условий краевой задачи), матрицы которых, являясь заполненными квадратными матрицами с большим разбросом коэффициентов по абсолютной величине, плохо обусловлены, что не позволяет повысить
точность решения с увеличением числа приближений. В тоже время
отметим, что при использовании интегрального метода теплового баланса практически отсутствуют ограничения на величину времени в
области малых его значений. И, в частности, формула (2.145) позволяет получать решения, отличающиеся от точных не более чем на
15% для чисел
12
12
106(
⋅=τ
с).
105
0,8
τ
ξ
Θ
0,6
0,4
0,2
1
0
0
,
0
2
7
,0
78
=
2
= 5 с
0
,191
0
0
,
4
8
4
0
,
9
5
1
,
6
,
6
с
0
0
,
0
,
0
0
0
,
0
1
1
5
3
0 0,2 1,00,80,60,4
Р и с. 2.11. Распределение температуры в двух-
слойной пластине. по формуле (2.145)
(второе приближение); по формуле
(2.146) (восьмое приближение)
Таким образом, сочетая два метода, (интегральный метод теплового баланса с использованием асимметричной единичной функции
и ортогональный метод Л.В. Канторовича с использованием систем
координатных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения), можно получать простые и удобные для
инженерных приложений, к тому же, высокой точности приближенные аналитические решения задач теплопроводности для многослойных конструкций практически во всем диапазоне нестационарного
процесса. Отметим, что на этапе регулярного режима теплообмена
метод Л.В. Канторовича уже во втором приближении позволяет получать приближенные аналитические решения, практически совпадающие с точными.
Простота получаемых решений позволяет выполнять исследование теплообмена в полях изотермических линий с определением скоростей движения изотерм по пространственной переменной во времени [27].
106
1.
(
)
<δ<
Применение теории обобщенных функций в интегральном
методе теплового баланса с использованием дополнительных граничных условий дает теоретические положения метода получения приближенных аналитических решений краевых задач теплопроводности
для многослойных конструкций на этапе инерционного (нерегулярного) режима нестационарного процесса.
2.
Применяя ортогональный метод Л.В. Канторовича, разработан метод получения приближенных аналитических решений задач
теплопроводности для многослойных конструкций. В основу которого положено использование систем неизвестных функций времени и
систем координатных функций, в любом приближении точно удовлетворяющих граничным условиям и условиям сопряжения.
3.
Использование глобальной системы неизвестных функций
времени дает возможность построить простые по конструкции координатные функции, с помощью которых получаемые решения в любом приближении точно удовлетворяют граничным условиям и условиям сопряжения. Применяя таких координатные функции, удается
избежать решения сложной характеристической системы, которая
представляется цепочным трансцендентным уравнением относительно собственных чисел краевой задачи.
2.5. Стационарная нелинейная теплопроводность
в многослойной пластине
К нелинейным относятся задачи теплопроводности, в которых
учитывается зависимость теплофизических свойств от температуры.
Математическая постановка нелинейной задачи теплопроводности
для многослойной пластины при граничных условиях первого рода
имеет вид [27]
)(
dx
xdT
0
;
107
0
xx
(2.185)
n
d
λ
dx
),( =
Tx
)( TxT
=
=
(
)
λ
(
)
−
+=λ
()()(
)
+=λ
dx
1
dx
; (2.186)
1c0
)( TxT
n
. (2.187)
2c
Коэффициент теплопроводности
единичную функцию
xxH
i
n
−
1
∑
i
=
1
записывается следующим образом
[ ]
+
11
Tx,
через асимметричную
( )
)()()(),(
ii
. (2.188)
xxHTTTTx −λ−λ+λ=λ
i
Предположим, что коэффициент теплопроводности каждого слоя
является линейной функцией температуры
.)( TbaT
iii
),1( ni =
(2.189)
Соотношение (2.189) для многослойной стенки, представленной в
виде однослойной с кусочно-однородными свойствами, можно представить в виде
,
TxbxaTx
, (2.190)
где
−
1
n
∑
i
+
1
∑
=
11
−
1
+
11
1
=
n
i
−−+=
; (2.191)
)()()(
xxHaaaxa
iii
−−+=
. (2.192)
)()()(
xxHbbbxb
iii
Интегрируя уравнение (2.185) в пределах от х0 до х, находим
)(
xdT
),( C
где
Tx =λ
C
– постоянная интегрирования.
, (2.193)
1
Подставляя (2.190) в (2.193), получаем
)(
хdT
[ ]
)()()( C
xTxbxa =+
. (2.194)
1
Проинтегрируем соотношение (2.194)
xdT
)(
[ ]
xTxbxa
)()()(
=+ dxCdx
1
. (2.195)
∫∫
dx
Соотношение (2.195) можно переписать в виде
x
[ ]
∫
x
0
108
)()()()( C
х
CxdTxTxbxa
+=+
, (2.196)
21
где
2
2
1
+
=
2
1
i
2
2
2
2
2
2
C
− постоянная интегрирования.
Подставляя (2.191) и (2.192) в (2.196), находим
x
∫
x
0
−
n
1
∑
=
i
+
1
11
iii
−
n
1
∑
=
i
1
CхC
. (2.197)
Соотношение (2.197) приводится к виду
x
∫ ∫
x
x
∫ ∫
x
0
x
1
n
−
∑
1
i
=
x
i
x
−
n
1
∑
i
x
i0
11
+
+
=
11
1
iii
Определяя интегралы, находим
1
n
x
x
1
−
∑
1
i
=
1
n
−
∑
=
11
+
1
+
iii
2
iii
x
)()()()(
x
x
x
i
+
11
iii
−−++−−+
xdTxxHaaxdTa
)()()()(
)()()()()()(
1
i
2
2
1
x
)(
xTbxTxxHaaxTa
x
iii
+−−+
СхCxdTxTxxHbbxdTxTb
+=−−++
++−−+
00
. (2.198)
21
=
xdTxTxxHbbbxxHaaa
)()()()()()(
(2.199)
.)()()(
CxCxTxxHbb
+=−−+
21
Подставляя пределы интегрирования в соотношении (2.199), получаем
−
1
n
∑
=
i
iii
+
101
1
2
+=−−−−
iii
.)()()(
CxCxTxxHbbxTb
(2.200)
21
−−−−−+
)()()()()()(
xTxxHaaxTaxTxbxTxa
i
1
1
)()(
2
1
)(
1
2
1
n
−
∑
i
=
10
+
1
Ввиду того, что третий и пятый члены левой части соотношения
(2.200) не зависят от переменной х, их можно отнести к постоянной
1
C
. Тогда соотношение (2.200) будет
−
1
1
)()(
1
n
−
∑
i
=
1
+
1
2
n
∑
=
i
iii
+
1
1
2
i
−−−−+
)()()()()(
xTxxHaaxTxbxTxa
iii
i
.)()()(
CxCxTxxHbb
+=−−−
(2.201)
21
интегрирования
Из соотношения (2.201) находим формулу для температуры
109
2
2
2
)1.,...,.3,2,1(
−
=
n
j
)(
xa
)(
xT
)(
xb
)(
xa
2
)(
xb
2
−
1
n
∑
)(
xb
i
+
=
1
1
iii
+−−++−=
)()()(
xTxxHaa
i
1
−
n
1
∑
)(
xb
=
i
1
+
1
2
)()()(
xTxxHbb
iii
i
2
++−−+
)(
xb
CxC
21
Неизвестные температуры в точках контакта слоев
2/1
(2.202)
.)(
)(
xT
i
нахо-
дятся из следующей системы алгебраических нелинейных уравнений
(где
x
– расстояние от начала координат до конца i-го слоя)
i
−
1
n
∑
=
i
2
j
+
1
1
.)()()(
CxCxTxxHbb
+=−−−
(2.203)
21
ijiijjjj
1
1
)()(
1
n
−
∑
i
=
1
+
1
2
ijii
−−−−+
)()()()()(
xTxxHaaxTxbxTxa
j
Учитывая свойства асимметричной единичной функции [42], система уравнений (2.203) приводится к виду
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]