Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Замечание. Проводящие сферы можно рассматривать как обкладки
E
сферического конденсатора. Энергия электрического поля конденсатора, выра-
2
q
C
4
WC
женная через заряд и емкость, равна
ского конденсатора составляет
трического поля, заключенная между обкладками сферического конденсатора,
22
qq
W
28
Crr
rr
r
012
. Емкость однослойного сфериче-
2
rr
12
r
0
21
. Следовательно, энергия элек-
rr
21
5
72 10
Дж.
Пример 1.31. В однородное электрическое поле напряженностью
500E В/м перпендикулярно полю поместили стеклянную пластину
0
3
(7,0)
r
толщиной
310d
м и площадью поверхности
м
(рис. 1.48). Определить энергию электрического поля, сосредоточенную в пластине.
d
Рис. 1.48
r
0
0
S
2
210S
2
Решение. Энергию электрического поля найдем, проинтегрировав
объемную плотность энергии поля по всему объему пластины, выполненной из диэлектрического материала:
d
WwdV Sdx Sd Sd
0
∫∫
V
8,85 10 500
0
12 2
27,0
222
EEE
rr
0000
222
23 12
210 310 9,510
r
Дж,
81
где dV Sdx – элемент объема пластины;
E
E
плотность энергии электрического поля;
электрического поля в пластине.
2
0
w – объемная
0
E
r
2
0
– напряженность
r
Пример 1.32. Плоский однослойный конденсатор с площадью
2
каждой пластины 0, 01S м
4
910d м подключен к источнику напряжения 600U В. Опреде-
и расстоянием между пластинами
лить энергию электрического поля конденсатора и силу взаимодействия притяжения пластин, если относительная диэлектрическая проницаемость однослойной изоляции 3, 0
.
r
Решение. Наиболее просто энергия электрического поля плоского
конденсатора может быть определена по формуле
2122
CU
W
22
S
где
0 r
C
– емкость плоского однослойного конденсатора.
d
Замечание. Аналогичное решение может быть получено для энергии
поля исходя из ее объемной плотности, из которого следует, что энергия электрического поля в объеме
W dV Sdx Sx Sd
00 0 0
∫∫
VV
2
SU
0
r
8,85 10 3,0 0,01 600
d
2910
4
5,31 10
5
V , занятом полем, равна
5
Дж,
d
0
22 2 2
EE E E
rr r r
22 2 2
2
SU
r
0
2
5,31 10
d
Дж,
где dV S dx – элемент объема, занятый полем; EUd – напряженность
электрического поля.
Сила взаимодействия пластин, стремящаяся их сблизить, т. е. изменить координату
d , может быть рассчитана путем дифференциро-
82
вания энергии электрического поля конденсатора по изменяющейся
E
координате между пластинами.
Применив выражение для энергии заряженного конденсатора
в виде
W
CU
2
2
, полагая
C
0 r
d
S
для случая
constU
, получим
⎛⎞
⎜⎟
W
F
dd
const
8,85 10 3,0 0,01 600
2(9 10 )
⎜⎟
⎝⎠
12 2
42
2
SU
r
0
2
d
5,9 10
2
SU
r
0
2
d
2
2
Н,
где d – расстояние между пластинами, которое принимается в качестве обобщенной координаты.
Отрицательный знак результата указывает на то, что сила стремится сократить расстояние между разноименно заряженными пластинами.
Пример 1.33. Определить энергию электрического поля, величи-
ну и направление механических усилий, возникающих на поверхности
проводящего шара, помещенного в вакуум (рис. 1.49), которому сооб-
8
щен заряд
410q Кл, если диаметр шара
q
0
0, 24d м.
d
0
0
Рис. 1.49
83
Решение. Для определения энергии электрического поля можно
использовать несколько подходов.
1. Проводящее тело в форме шара можно рассматривать как уединенный заряженный проводник, что позволяет воспользоваться формулой для энергии электрического поля, созданного зарядами,
1
Wq,
2
14q
где
шара.
Откуда собственная энергия электрического поля
– потенциал на поверхности уединенного проводящего
r
00
2
28
11410
W
q
80,12
r
88,8510
00
12
610
5
Дж,
где
00
20,12rdм – радиус шара.
2. Воспользоваться формулой для расчета энергии электрического
поля заряженного проводника в виде
22
где
qq
W
Дж,
28
4Cr – электрическая емкость уединенного шара (сферы).
00
1
Cr
00
610
5
3. Заряд q равномерно распределен по поверхности проводника
в форме шара с поверхностной плотностью, следовательно, можно
воспользоваться выражением энергии электрического поля, полученным через поверхностную плотность зарядов:
22
qq
Sr r
00 00
610
5
Дж,
q
–
S
где
11 1
WdS dS
14q
∫∫
28 8
SS
– потенциал на поверхности уединенного шара;
r
00
поверхностная плотность зарядов; S – площадь поверхности шара.
4. Внутри проводящего шара напряженность и энергия поля равны
нулю. Вся энергия электрического поля сосредоточена в пространстве
84
вне шара, и величина ее может быть вычислена интегрированием объ-
E
емной плотности энергии по всему объему поля:
WwdV wrdr rdr dr
00
∫∫ ∫ ∫
Vr r r
00 0
88
22
44
22
11
qq
rr
000
r
0
2
E
0
28
5
610
Дж,
1
2
q
2
r
0
2
где
женность поля;
0
w – объемная плотность энергии;
0
2
2
4dr r dr – элемент объема в форме сферы.
Er
14q
0
– напря-
2
Силу, действующую на оболочку уединенного шара, получим через производную энергии по обобщенной координате при постоянстве
зарядов. За обобщенную координату принимаем радиус шара
r , стре-
0
мящийся измениться под действием механического усилия.
Энергия электрического поля уединенного проводящего шара
2
Wr
18q
00
.
Испытываемое механическое усилие поверхностью проводящего
шара запишем как
1
q
r
00
2
2
510
4
Н,
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
W
F
rr
00
const
q
28
11410
q
8
2122
0
88,8510 0,12
r
0
8
⎝⎠
где
00
20,12rd
м – радиус шара.
Положительный знак результата указывает на то, что сила, действующая на поверхность, стремится увеличить радиус (диаметр) шара.
85
1.2. Электрическое поле постоянных токов
в проводящей среде
В проводящей среде под воздействием сил электрического поля
возникает непрерывное упорядоченное движение свободных зарядов,
которое называется электрическим током. Электрическое поле вызывает ток проводимости, обусловленный движением свободных зарядов. За направление тока принимают направление движения положительно заряженных частиц. В большинстве случаев ток представляет
собой движение электронов – отрицательно заряженных частиц.
1.2.1. Электрический ток и плотность тока проводимости
Основной количественной характеристикой электрического тока
является заряд, перенесенный в единицу времени через сечение проводника. Предел отношения перенесенного заряда в едщиниу времени
определяет силу тока:
dq
.
I
dt
Электрический ток, сила и направление которого с течением времени не изменяются, называется постоянным, а поле этого тока – стационарным. Для постоянного тока
Постоянный ток определяется движением носителей зарядов
с неизменной скоростью. При этом, несмотря на движение зарядов,
распределение их в пространстве сохраняется неизменным. Поэтому
электрическое поле постоянных токов в проводящей среде сходно
с электростатическим полем неподвижных зарядов.
Единица силы электрического тока – ампер []=I А.
Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток,
называют
Единица удельной проводимости – [ ] = 1/Ом м.
Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока
ной. Модуль вектора плотности тока
удельной проводимостью .
, которая характеризуется векторной величи-
Iqt .
86
I
E
E
,
S
где S – площадь сечения проводника.
Вектор
всегда направлен вдоль направления тока, т.е. совпадает
с направлением движения положительных зарядов.
Единица плотности тока – [ ] = А/м.
Если поверхность (сечение) проводника имеет конечные размеры,
то электрический ток равен потоку вектора
сквозь эту поверхность:
IdS
,
∫
S
т. е. ток есть поток вектора плотности тока.
Ток в отличие от плотности тока является скалярной величиной.
В проводящей среде вектор
и вектор
плотности тока связаны соотношением
напряженности электрического поля
,
которое отражает закон Ома в дифференциальной форме.
Пример 1.34. Определить величину постоянного тока в провод-
нике, если через проводник за время 0,5 ч проходит заряд 5400q Кл.
Решение. Для постоянного во времени тока сила тока и заряд свя-
заны простым соотношением qIt , отсюда величина тока
5400
q
It А,
3
0,5 3600
где 3600 – количество секунд в одном часе.
Пример 1.35. По проводнику в форме цилиндрической трубы
(рис. 1.50) протекает постоянный ток, плотность которого
5 А/мм
Определить ток и заряд, прошедший через проводник за время 5t с,
если внутренний и внешний радиусы проводника, определяющие его
сечение, соответственно равны:
9r мм, 212r мм.
1
87
2
.
r
2
I
r
1
Рис. 1.50
Решение. Ток в проводнике равен потоку вектора плотности тока:
r
IdS rdrr
∫∫
Sr
22 6 2 2
21
2
2
1
r
2
2
r
1
5 10 (0,012 0,009 ) 990rr А,
где 2dS rdr – элемент поверхности поперечного сечения трубы.
Заряд, прошедший через проводник за время
с,
5t
990 5 4950qIt Кл.
1.2.2. Сторонние силы, ЭДС
Одним из основных различий между электростатическим полем
(полем неподвижных зарядов) и полем постоянных токов является
наличие в проводниках с токами источников энергии, без которых невозможно возникновение тока.
Для того чтобы в проводящей среде длительно протекал ток, необходимо наличие стороннего источника электрического поля, силы которого будут непрерывно перемещать
Так как при протекании тока в проводящей среде (проводнике)
происходят непрерывные процессы преобразования электрической
энергии в тепловую, то энергия поля должна непрерывно пополняться
за счет внешнего источника электроэнергии. Такие источники неэлектрического происхождения принято называть сторонними, а силы,
действующие на заряды, – сторонними силами. В проводящей среде
заряды.
88
сторонние силы
E
E
E
E
E
E
E
E
E связаны соотношением
стор
и сторонняя напряженность электрического поля
F
стор
FqE
стор стор
.
Если в проводящей среде одновременно действуют и электростатические силы, и сторонние силы, то напряженность результирующего
поля равна
EE F
,
сторq
где
– напряженность электростатического поля.
q
Источники электрической энергии характеризуются так называе-
стор
свя-
источ-
мой электродвижущей силой (ЭДС). Величина сторонней ЭДС
зана с напряженностью стороннего электрического поля
E
ника соотношением
b
∫
a
Edl
стор
,
т. е. равна линейному интегралу напряженности стороннего поля по
всему пути, лежащему внутри источника.
Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделение электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к полюсу «+», а отрицательные заряды к минусу «–».
Единицей электродвижущей силы, как и напряжения, является
вольт []=
Если путь интегрирования замкнут, то величина
равна ЭДС
В.
стор
∫
l
, действующей в контуре l, а величина 0
Edl
∫
l
dl E
q
, т. е.
в со-
ответствии с принципом потенциальности равна нулю.
Следовательно, для некоторого замкнутого контура при наличии
стороннего источника, так как 0
dl Edl Edl EdlE
∫∫ ∫ ∫
стор сторq
Edl
q
∫
l
, а
∫
l
стор
dl E
, получим
.
89
В источнике электрической энергии направление ЭДС и тока сов-
E
падает. Электрическая энергия источника
ремещенный заряд, следовательно,
WEIt .
Единица энергии источника – джоуль
WEq , где qIt – пе-
ист
ист
[]W Дж.
ист
Величина энергии, вырабатываемой в единицу времени, называется
мощностью источника:
W
ист
PEI
ист
t
.
Единица мощности источника – ватт
Пример 1.36. Источник электродвижущей силы 24
заряженного аккумулятора имеет емкость 60 Ач
[]P Вт.
ист
В в виде
Q . Определить ко-
личество электричества (в кулонах) в этом заряде, электрическую
энергию источника и время полного разряда аккумулятора током 2А .
Решение. Количество электричества в кулонах, содержащегося
в заряде:
3
с,
108 10
3600
3
Кл,
3
30
3600 60 3600 216 10qQ
где
1 Ач = 3600 Ас.
Электрическая энергия, запасенная источником, равна
ист
24 216 10 5,184 10WEq Дж.
36
Время полного разряда аккумулятора током 2 А без учета потерь
энергии равно
216 10
q
t
I
т. е. аккумулятор разрядится за время
3
108 10
2
tч при протека-
нии через него тока 2 А.
Мощность источника
ист
24 2 48PEI Вт.
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]