Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
На заряженной поверхности сферы (
E
испытывает скачок от 0E
внутри объема сферы до
rr
поверхности.
Потенциал в поле равномерно заряженной сферы
22
rr
dr
dr C
∫∫
00
00
rr
rr
) напряженность поля
0
E
0 r
на ее
.
Принимая в бесконечно удаленной точке поля 0
для постоянной интегрирования получим
2
r
0
0
.
r
r
Потенциал на поверхности сферы получим при
r
0
0
.
r
при r ,
. Отсюда
0C
rr
(рис. 1.23)
0
Разность потенциалов между двумя точками поля, отстоящими от
центра сферы на расстояние
12
r и 2r в случае
1
rr
22
Edr
∫∫
rr
11
22
rr
dr
00
r
0012
rr
rr ,
21
2
rr :
10
⎛⎞
11
⎜⎟
rr
⎝⎠
.
Для равномерного распределения зарядов по объему сферы радиу-
r с постоянной объемной плотностью заряда (рис. 1.23), исхо-
сом
0
дя из симметрии системы на основании теоремы Гаусса, получим
== =
EdS E dS E r
ÚÚ
SS
4
q
2
0
,
r
где
(рис. 1.23);
2
4 r – площадь поверхности воображаемой сферы радиусом r
4
qV r
– полный заряд сферы радиусом
3
0
3
41
r .
0
Отсюда электрическая напряженность в поле заряда на
E
E
расстоянии r от центра сферы
3
r
0
.
3
, а напряженность поля внут-
rr (рис. 1.23) заряд
При
0
q
E
1
43
22
rr
rr
00
4
qr
3
ри объема заряженной сферы
1
qr
2
4
3
.
3
0
rr (рис. 1.23) заряд
При
0
E
1
43
r
00
rr
qr
, а напряженность поля за
пределами заряженной сферы
3
r
0
0
.
2
r
r
E
2
3
Потенциал поля внутри сферы
11 1
dr rdr C
∫∫
Потенциал поля за пределами заряженной сферы
22 2
dr C
∫∫
()rr
0
2
36
00
rr
r
.
()rr
33
rr
dr
00
33
2
r
00
rr
1
.
r
0
Для определения постоянных интегрирования можно положить потенциал бесконечно удаленной точки
ная
C определяется из условия непрерывности потенциалов
1
rr (рис. 1.23):
при
0
22
rr
00
63
C
00
1
rr
42
0 , тогда
2
,
0C . Постоян-
2
12
отсюда
E
E
E
E
x
2
rC
0
1
, и потенциал поля внутри сферы
2
0
r
10
6
0
22
3
rr
r
.
Напряженность электрического поля равномерно заряженной
бесконечной плоскости. Пусть бесконечно тонкая плоскость рав-
номерно заряжена с поверхностной плотностью заряда
qS
(рис. 1.24).
2
S
2
Рис. 1.24
1
S
1
Вследствие симметрии очевидно, что линии напряженности поля
перпендикулярны плоскости и, следовательно, параллельны друг дру-
гу. Кроме того, векторы
и
1
имеют одну и ту же величину и про-
2
тивоположные направления.
Для определения напряженности поля в произвольной точке, отстоящей от плоскости, рассмотрим цилиндр, ось которого перпендикулярна заряженной плоскости.
Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю. Потоки вектора напряженности через основания цилиндра одинаковы.
Заряд, находящийся в
прилегающей к плоскости, равен qS
основании замкнутой поверхности цилиндра,
, где
– площадь основания
S
цилиндра.
43
Применив теорему Гаусса в интегральной форме, имеем
E
x
E
x
x
x
x
E
=+ =+==
EdS E dS E dS E S E S ES
ÚÚÚ
SS S
121122
2
S
0
r
,
;
где Sq
EE;
12
SS S – площадь в основании цилиндра.
12
На основании установленного равенства получим
E
2
0
.
r
Из равенства следует, что поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, является однородным.
Потенциал поля заряженной плоскости на расстоянии
сти для случая 0x
Приняв 0
dx dx x C
∫∫
22
00
rr
, при 0x находим 0C , откуда потенциал поля
2
.
0
r
от плоско-
.
Разность потенциалов между точками поля, лежащими на расстоянии
и
1
от плоскости, в случае
2
xx
22
12 21
dx dx x x .
∫∫
xx
11
22
00
x составит
21
()
rr
Напряженность электрического поля двух разноименно и равномерно заряженных бесконечных плоскостей. На рис. 1.25 показаны
векторы напряженностей полей для каждой плоскости. Результирующее поле, создаваемое двумя плоскостями, определяется по принципу
суперпозиции (метода наложения). Если плотности зарядов одинаковы
и равны
, то напряженности, создаваемые каждой плоскостью, равны
по модулю.
Во внешнем пространстве (слева и справа от плоскостей) векторы
напряженности направлены навстречу друг другу, поэтому
44
т. е. поля нет.
E
x
x
E
EE E
22
00
rr
0
,
0E
0
1
2
d
Рис. 1.25
0E
0
2
Во внутреннем пространстве (между плоскостями) векторы напряженности совпадают по направлению, и напряженность поля равна
EE E
22
000
rrr
.
Напряженность поля между двумя разноименными равномерно заряженными плоскостями в два раза больше, чем напряженность поля,
создаваемая одной плоскостью.
Потенциал произвольной точки поля между плоскостями
dx dx x C
∫∫
Принимая потенциал отрицательно заряженной плоскости 0=
Cd
при
d , находим
0 r
00rr
, откуда
0
r
.
()
dx
.
Разность потенциалов между плоскостями
xd xd
12
Edx dx
∫∫
00
00
rr
45
d
.
Пример 1.17. Определить поток вектора напряженности сквозь
E
E
E
сферическую поверхность радиусом r , в центре которой расположен
12
положительный точечный заряд
(1,0)
ся в воздухе
r
.
410q
Кл (рис. 1.26), находящий-
q
r
dS
r
Рис. 1.26
Решение. В каждой точке сферы радиусом r векторы
совпадают по направлению (
), следовательно, поток вектора
0
и dS
напряженности
где
cos 4
dS E dS dS r
== = =
ÚÚ Ú
SS S
2
4Sr
– площадь поверхности сферы радиусом r .
q
r
0
11
qq
44
410
8,85 10 1,0
22
rr
00
rr
12
12
0, 45 Вм
,
2
Пример 1.18. Электрическое поле создано бесконечно длинным
уединенным проводником с равномерно распределенным положитель-
8
ным зарядом с линейной плотностью
2,6 10
Кл/м. Определить
разность потенциалов между точками поля, находящимися в вакууме
2
на расстоянии
2,1 10r
м и
1
5,8 10r
м от оси (рис. 1.27).
2
2
Решение. Поле уединенного проводника обладает цилиндриче-
ской симметрией. По теореме Гаусса
46
E
==
EdS E dS
ÚÚ
SS
где /ql
– линейная плотность заряда; 2 rl – площадь боковой по-
l
, или 02lErl
0
,
верхности воображаемого цилиндра радиусом r .
r
1
12
r
2
0
Рис. 1.27
Напряженность поля E в любой точке, удаленной от оси проводника на расстояние r , равна
2Er
0
.
Разность потенциалов между точками 1 и 2 поля
ln
r
2
r
1
В.
rr
22
12
ln ln 475
2
01
Edr r
∫∫
rr
11
r
2
r
22
2,6 10 5,8 10
28,8510 2,110
dr
r
00
82
12 2
Пример 1.19. Бесконечно длинный пустотельный цилиндр радиусом
2
510r
0
м с поверхностной плотностью заряда
17,7 10 Кл м
помещен в трансформаторное масло с диэлектрической проницаемостью
r
ния напряженности электрического поля ()
приняв потенциал удаленной от оси цилиндра точки
(рис. 1.28, а). Построить графики зависимости измене-
r и потенциала ()r ,
00
2,5
нулю.
47
92
6Rr равным
E
E
(),Вr
80
60
1200
(),В/мEr
()r
r
40
dS
r
0
r
а б
20
0
Рис. 1.28
800
400
0
()
Er
0,05 0,1 0,15 0, 2
,мr
Решение. Система обладает цилиндрической симметрией. В про-
извольной точке на боковой поверхности цилиндра векторы
и dS
совпадают по направлению. Применив теорему Гаусса и выбрав в качестве поверхности интегрирования боковую поверхность воображаемого цилиндра радиусом r , получим
2
==
EdS E rl
Ú
S
где
2qS rl – заряд, равномерно распределенный по поверх-
00
ности цилиндра радиусом
2Srl – поверхность цилиндра радиусом 0r .
00
q
, или
0
r
r ; – поверхностная плотность заряда;
0
2
Erl
0
0
,
r
2
rl
Отсюда напряженность электрического поля в произвольной точке
при
rr будет равна
0
92
r
Er
()
rrr
r
0
17,7 10 5 10 40
0
8,85 10 2,5
На поверхности цилиндра при
40 40 40
Er
() 800
0
rr
rr
0
12
rr напряженность поля
0
2
510
0
В/м.
В/м.
48
Внутри цилиндра зарядов нет, и поле 0E . Потенциал в поле рав-
E
E
номерно заряженного цилиндра
() ln
r Edr dr r C
∫∫
Из условия примера при
rr
00
r
00
rr
rR потенциал поля () 0r, отсюда
0
.
постоянная интегрирования
r
0
0
ln
.
0
r
CR
Окончательно для потенциала получим
92 2
rR
r
( ) ln ln 40 ln
00
r
0
17,7 10 5 10 6 5 10 0,3
rrr
8,85 10 2,5
12
Потенциал внутри и на поверхности равномерно заряженного ци-
линдра
r
( ) 40 ln 40 ln 40 ln 71,7
0
0,3 0, 3 0,3
rr
rr
0
0
510
2
На рис. 1.28, б представлены графики зависимости ()
В.
r и ()r от
радиуса r .
В.
Пример 1.20. Электростатическое поле создается сферой, нахо-
(1,0)
дящейся в воздухе
плотностью заряда
r
Кл/м
циалов между двумя точками поля, лежащими на расстоянии
и
0, 2r м от центра сферы, составляет 180 В. Определить радиус 0r
2
сферы и построить график зависимости изменения модуля напряженности поля ()
r от расстояния от центра сферы.
и равномерно заряженной с объемной
6
35,4 10
3
(рис. 1.29, а). Разность потен-
49
0,1r м
1
E
r
r
r
0
1
12
r
2
40
r
20
0
0,03 0, 06 0,09 0,12
()10, В/мEr
3
,мr
0,15
а б
Рис. 1.29
Решение. Система (рис. 1.29, а) обладает сферической симметри-
ей, следовательно, в каждой точке поверхности сферы векторы
и dS
совпадают по направлению. Разность потенциалов между точка-
ми 1 и 2 и напряженность электрического поля связаны соотношением
rr
22
12
4
где
– полный заряд объема, занятого сферой.
qr
3
0
3
Edr
∫∫
rr
11
q
43
012 012
qdr q
44
⎛⎞ ⎛⎞
11 11
⎜⎟ ⎜⎟
rr rr
rr
⎝⎠ ⎝⎠
2
r
00
rr
3
r
0
Отсюда относительно радиуса сферы получим
где
r
0
3
12
12
⎛⎞
11
⎜⎟
3
rr
r
012
⎝⎠
3
35,4 10 1 1
38,8510 1,0
180 В – разность потенциалов.
180
6
⎛⎞
⎜⎟
12
0,1 0, 2
⎝⎠
Исходя из симметрии на основании теоремы Гаусса, напряжен-
ность электрического поля произвольной точки равна
r
2
1
⎛⎞
⎜⎟
r
⎝⎠
r
1
,
310
2
м,
1
()
Err
4
50
q
.
2
r
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]