Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
При перемещении пробного заряда
q
из точки 1 в точку 2
0
(рис. 1.12, б) работа сил электрического поля аналогична работе сил
поля, рассмотренной на рис. 1.12, а.
Если заряд
нечность (
A Fdr dr
1
q (рис. 1.12, б) перемещается из точки 1 поля в беско-
0
r ), то работа сил электрического поля
2
∫∫
rr
11
111
444
0001
Qq Qq Qq
000
2
r
rrr
rr
r
1
.
Работу сил поля 1A следует рассматривать как потенциальную
энергию системы зарядов в точке 1, которая убывает по направлению
линий напряженности электрического поля и становится равной нулю
в бесконечности.
Перемещение заряда совпадает с направлением сил поля, следовательно, силами электрического поля совершается положительная работа
0A .
1
При перемещении заряда
q
против сил поля, например внешними
0
силами, потенциальная энергия электрического поля возрастает. Работа сил электрического поля при этом будет отрицательной,
0A ,
1
а работа внешней силы, перемещающей заряд, будет положительной.
При перемещении зарядов изменяется их взаимное расположение,
поэтому работа, совершаемая силами электрического поля, равна изменению потенциальной энергии перемещаемого заряда:
AWWW ,
1 п 2п 1п
где
W , 2пW – потенциальная энергия начальной и конечной точки
1п
траектории заряда.
Замечание. Изменение потенциальной энергии есть разность между
конечным и начальным значением энергии.
Пример 1.7. Определить потенциальную энергию системы, состо-
ящей из двух зарядов:
210q Кл и
1
находятся в вакууме на расстоянии
7
21
2
0,02r
0
м друг от друга.
7
610q Кл, если заряды
Решение. Будем считать, что первый заряд
F
здает поле, а второй заряд
q , размещенный на расстоянии 0r от пер-
2
q неподвижен и со-
1
вого, переместился в поле первого заряда в бесконечность.
Потенциальная энергия системы зарядов равна работе сил поля по
перемещению заряда
WA Fdr dr
п
∫∫
rr
00
q в бесконечность:
2
qq qq qq
111
12 12 12
444
210 610
92
910 5,410
Дж.
2
r
0000
77
rr
r
0
0,02
Пример 1.8. Два точечных заряда
1, 0
находятся в воздухе (
r
) на расстоянии
810q Кл и
1
1
9
0,1r
2
м друг от друга.
9
510q Кл
Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?
Решение. Будем считать, что первый точечный заряд
q
жен и создает поле, а второй точечный заряд
перемещается в поле
2
q неподви-
1
первого заряда (рис. 1.13).
q
1
r
2
1
r
1
Рис. 1.13
q
2
12
1, 0
r
Для перемещения заряда 2q в среднюю на линии зарядов точку
(точка 1) необходимо совершить работу против сил поля (заряды от-
талкиваются). Поэтому работа сил электрического поля будет отрицательной, а работа внешней (сторонней) силы, перемещающей заряд, –
положительной.
22
Работа сил электрического поля:
–
rr
22
A F dr dr
12
∫∫
rr
11
44
qq qq
11
12 12
r
00
rr
r
2
2
r
r
1
111
4
012
48,8510 1,0
где
21
111
12
20,05rr м.
Работа внешних сил:
99 7
8 10 5 10 36 10
Дж.
1
⎛⎞
qq
⎜⎟
12
r
rr
⎝⎠
36 10AA
⎛⎞
⎜⎟
0,1 0, 05
⎝⎠
7
Дж,
Пример 1.9. Потенциальная энергия двух положительно заряжен-
5
ных точечных зарядов
610W= Дж. Определить потенциальную
1п
энергию системы этих зарядов и работу сил электрического поля по
изменению взаимного их расположения в случае увеличения расстояния между зарядами в три раза.
Решение. Перемещение одного из зарядов совпадает с направле-
нием сил электрического поля, следовательно, силами поля совершается положительная работа, равная изменению потенциальной энергии
заряда. Потенциальная энергия системы зарядов до изменения их взаимного расположения
qq
1
W=
1п
4
12
r
0
r
610
5
Дж,
где r – расстояние между зарядами.
Потенциальная энергия системы зарядов после изменения их взаимного расположения (увеличения расстояния между зарядами)
5
qq W
1610
0
r
12 1п
r
W===
2п
4333
210
5
Дж,
где 3r – расстояние между зарядами после изменения их располо-
жения.
23
Работа сил электрического поля равна изменению потенциальной
F
E
E
энергии перемещаемого заряда:
55 5
AW WW Дж.
()(210610)410
п 2п 1п
1.1.7. Потенциал электрического поля
При перемещении единицы пробного заряда 0q из точки 1 поля
(рис. 1.12, б) в бесконечность (за пределы поля) силами электрического
поля производится работа
W в точке 1. Отношение этой энергии
1п
q
заряда
называется потенциалом данной точки (точка 1), который не
0
зависит от величины заряда
111
A , равная потенциальной энергии заряда
1
WA к величине пробного
1п 1
q :
0
A
1
qr
001
dr E r
∫
r
4
1
Q
r
,
где
– электрическая напряженность поля заряда Q в точке 1
1
(рис. 1.12, б).
С точностью до произвольной постоянной потенциал точки 1
в поле точечного заряда Q (рис. 1.6, б) можно определить по выра-
жению
1
11
∫
Постоянная интегрирования
dr C
4
C определяется заданием точки с ну-
01
r
Q
.
r
левым потенциалом. Таким образом, потенциал в произвольной точке
может быть найден как с помощью определенного интеграла, так
и с помощью неопределенного интеграла.
Единица электрического потенциала – вольт
= В.
Если электрическое поле создается не одним, а несколькими точечными зарядами, то потенциал произвольной точки согласно прин-
24
ципу суперпозиции складывается из потенциалов полей, созданных
A
n
отдельными зарядами
Так, потенциал точки A (см. рис. 1.9) от зарядов
121122
AA AA A
∑.
k
k
1
Er E r
q и 2q
1
qq
11
44
12
rr
01 0 2
rr
.
Полагая, что если оба заряда отрицательные, то и потенциал
(рис. 1.9) также будет отрицательным.
В электростатическом поле в разных его точках потенциалы, как
правило, имеют разные значения. Однако можно выделить точки
с одинаковыми потенциалами. Поверхность, проходящая через эти
точки (
φ const= ), называется эквипотенциальной. Эквипотенциальные
поверхности любой конфигурации перпендикулярны к линиям электрической напряженности. Отсюда следует, что работа при перемещении заряда вдоль пути эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Пример 1.10. Определить величину точечного заряда
q
, находя-
1
щегося в вакууме, если в точке 1, удаленной от заряда на расстояние
0,04r м, потенциал электрического поля
1
Решение. Потенциал точечного заряда
Edr dr
11
∫∫
rr
11
qqq
111
111
2
444
r
0001
900 В.
1
q в точке 1 равен
1
,
rr
r
1
отсюда для величины точечного заряда запишем:
12 9
490048,85100,04410qr
Кл.
1101
Пример 1.11. Определить потенциал точки 1 электрического поля
заряда Q , если известно, что при переносе из-за пределов поля в эту
11
точку точечного заряда
310A=
вершила работу
1
Дж.
510q= Кл внешняя (сторонняя) сила со-
1
9
25
Решение. Так как заряд
q перемещался сторонней силой против
1
сил поля, то потенциальная энергия поля увеличилась на величину
совершенной работы, равной потенциальной энергии заряда
9
310W=A=
1п 1
Дж. В соответствии с этим потенциал точки 1 поля бу-
дет равен
9
310
510
60
11
В.
8
210q=
1
Кл
A
1
1
q
1
Пример 1.12. Два разноименных точечных заряда
8
и
=310q
2
Кл расположены в вакууме в двух вершинах равносто-
роннего треугольника со сторонами 0,6r м. Определить потенциал
поля в третьей вершине треугольника (рис. 1.14).
3
rr
q
1
1
r
q
2
2
Рис. 1.14
Решение. Потенциал поля в точке 3, образованный положитель-
ным точечным зарядом
Потенциал поля в точке 3, образованный отрицательным точечным зарядом
q ,
2
23
Потенциал поля в точке 3 согласно принципу суперпозиции равен
q ,
1
8
1210
1
13
40,6
qr
1310
40,6
qr
0
313 23
910 300
0
2
9
910 450
300 450 150
9
8
26
В.
В.
В.
1.1.8. Электрическое напряжение
A
В случае перемещения силами поля единицы пробного заряда 0q
из точки 1 в точку 2 (рис. 1.12, б) совершается работа, равная умень-
шению запаса потенциальной энергии совместного поля:
r
2
AFdr q
12 0 1 2
∫
r
1
, 2 – потенциалы точек 1 и 2 поля.
где
1
44
Таким образом, совершенная работа
паса потенциальной энергии, пропорциональна разности потенциалов
, а ее отношение к величине пробного заряда 0q называется
12
электрическим напряжением между этими точками поля:
Напряжение между любыми двумя точками электрического поля
характеризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положительного заряда.
Единица электрического напряжения – вольт
Qq Qq
11
01 02
Uq.
00
rr
rr
, равная уменьшению за-
12
A
12
12 1 2
0
=U В.
,
Пример 1.13. При перемещении силами электрического поля то-
чечного заряда
410q=
Кл совершена работа
12 10A=
5
Дж. Опре-
7
делить напряжение между начальной и конечной точкой пути.
Решение. Напряжение между двумя точкам поля характеризуется
5
энергией, затраченной на перемещение заряда
Дж.
п
Следовательно, напряжение между точками пути равно
5
12 10
A
U
q
410
27
300
7
В.
12 10WA=
Пример 1.14. Определить напряжение между точками 3 и 4
1,2 10q=
электрического поля, созданного точечными зарядами
9
=0,610q
Кл, находящимися в вакууме (рис. 1.15).
и
2
3
4
0, 03 мb
1
9
Кл
q
1
1
0, 04 мa
Рис. 1.15
Решение. Напряжение между точками
q
2
2
и 4 определится через
3
разность потенциалов:
U .
34 3 4
Поскольку электрическое поле создается двумя зарядами, то потенциалы
и 4 будут складываться из потенциалов полей, создан-
3
ных отдельными зарядами.
Потенциал электрического поля в точке 3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
В,
где
qq qq
11 1
313 23
13
0,03r=b м;
910 252
44 4
⎛⎞
9
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
= 0,04 0,03 0,05rab .
23
12 12
rr rr
013 0 23 0 13 23
99
1, 2 10 0, 6 1 0
0,03 0,05
22 2 2
Потенциал электрического поля в точке 4
qq qq
11 1
41424
44 4
⎛⎞
9
910 36
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
12 12
rr rr
014 0 24 0 14 24
99
1, 2 10 0, 6 1 0
0,05 0, 03
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
В,
где
24
0,03r=b м;
22 2 2
= 0,04 0,03 0,05rab м.
14
28
Напряжение между точками 3 и 4
34 3 4
252 36 216U В.
Пример 1.15. Определить величину напряженности электриче-
ского поля в точке 3 (рис. 1.16), если в поле точечного заряда
дящегося в воздушной среде, напряжение между точками 1 и 2, лежа-
щих в одной плоскости,
12
36 BU .
1
0,01мr
1
q
3
3
Рис. 1.16
0,05 мr
2
2
0,03 мr
1, 0
r
q , нахо-
Решение. Напряжение между точками 1 и 2 поля:
rr
22
UEdr dr
12
∫∫
rr
11
11 11
qqq
444
2
r
rrr
00012
откуда запишем величину точечного заряда:
r
2
rrr
r
1
⎛⎞
⎜⎟
,
⎝⎠
U
q
4πε ε
где ε 1, 0
– относительная диэлектрическая проницаемость воздуха.
r
12
⎛⎞ ⎛ ⎞
111
012
⎜⎟ ⎜ ⎟
rr
r
⎝⎠
4π 8, 85 10 1,0
36
111
12
0,01 0, 05
⎝⎠
510
11
Кл,
Напряженность электрического поля в точке 3
11
11510
E
3
4
q
2122
4π 8, 85 10 1,0 0, 03
r
r
0
3
29
500 B/м
.
1.1.9. Однородное электрическое поле
F
A
E
F
E
Электрическое поле, во всех точках которого напряженность поля
одинакова по модулю и направлению (
ным. Силовые линии в однородном поле параллельны между собой.
Примером поля могут быть электрические поля разноименно заряженных параллельных плоскостей (рис. 1.17), если не считать некоторого
искажения поля у их краев. Это поле действует на заряд, помещенный
в любую точку поля с постоянной силой
Напряженность однородного поля между плоскостями и подведенное к ним напряжение связаны простой зависимостью
d – расстояние между плоскостями.
Работа при перемещении положительного заряда q в направлении
сил однородного электрического поля (рис. 1.18) из точки 1 в точку 2
constE ), называют однород-
0
qE
.
0
UEd , где
0
12 п 2п 1п 01 2 0
где
ld d – участок пути между точками 1 и 2, в пределах которо-
12
го напряженность
WWWqEddqEl,
0
()()
constE .
12
2
d
1
d
0
2
0
U
Рис. 1.17 Рис. 1.18
На участке пути
ld d
12
1
q
силами электрического поля соверша-
ется положительная работа, равная изменению потенциальной энергии
заряда, взятому с противоположным знаком:
()() AWW qEdd.
12 2п 1п 02 1
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]