Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
1.2.3. Закон Ома в дифференциальной форме
E
R
E
E
E
При отсутствии стороннего электрического поля
E
ласти, занятой однородной средой, обладающей постоянной удельной
проводимостью
, возникает постоянный ток, если на границах этой
области поддерживается постоянная разность потенциалов. Поле вектора электрической напряженности здесь поддерживается только за
счет электростатического поля,
Выделим в проводящей среде элемент объема
площадью поперечного сечения
E
.
q
S (рис. 1.51, а).
V длиной l и
l
I
2
U
S
а б
1
12
I
Рис. 1.51
I
S
Ток через элемент объема IdS S
l
R
объема
. Напряжение на границах области элемента объема
S
UEdlElIR
12
∫
∫
. Сопротивление элемента
.
стор
l
U
0
в об-
Подставив в последнее выражение эквивалентные значения для
и I , получим
откуда следует соотношение
l
SEl
S
,
, которое отражает закон Ома
в дифференциальной форме.
91
Закон устанавливает связь между плотностью тока в данной точ-
E
R
E
ке проводящей среды и напряженностью поля
отсутствии стороннего поля,
стор
0E .
в данной точке при
Если электрическое поле однородно и направлено вдоль проводника (рис. 1.51,
б) постоянного сечения S длиной l , то разность потен-
циалов (напряжение) между концами проводника будет составлять
UEl . Считая ток I равномерно распределенным по сечению S
проводника, можно от дифференциальной формы закона Ома перейти
к его интегральной форме:
IU
,
Sl
откуда
UU
I
l
S
RS
l
– электрическое сопротивление проводника.
где
Единица электрического сопротивления – ом []=
В областях, занятых источниками ЭДС, кроме статического поля
существует стороннее электрическое поле
q
,
R Ом.
E
, в этом случае за-
стор
кон Ома в дифференциальной форме записывают в обобщенном виде:
EEE
,
сторq
где
EE E
.
сторq
Пример 1.37. Плоская проводящая пластина представляет собой
диск с центральным вырезом (рис. 1.52). Внутренний радиус диска
30r мм, внешний радиус
1
Между краями выреза диска поддерживается постоянная разность
90r мм, толщина пластины 3d мм.
2
92
потенциалов 0, 6 В. Требуется определить наибольшее и наименьшее
значение плотности тока проводящей пластины и ток источника, если
удельная проводимость материала пластины
6
210 1Ом м
.
d
U
12
1
I
2
Рис. 1.52
r
1
r
2
Решение. Полагаем, что линии плотности тока и напряженности
электрического поля совпадают с окружностями пластины, а напряженность поля зависит от радиуса. Разность потенциалов (напряжение)
связана с напряженностью электрического поля соотношением
22
UEdlEdrEr
12
∫∫
11
33
,
22
где
2
– элемент длины окружности пластины,
33
dl dr dr
42
откуда напряженность электрического поля пластины
U
2
E
12
.
r
3
Применив закон Ома в дифференциальной форме для модуля плотности тока, получим выражение
U
2
93
12
3
,
r
E
из которого найдем наибольшее и наименьшее значение плотности тока:
E
U
222100,6
max
min
rr
rr
1
2
12
r
33
1
U
222100,6
12
r
33
2
6
30 10
6
90 10
3
3
8,5 10
2,8 10
6
А/м2,
6
А/м2.
Ток, проходящий через пластину и источник,
ln
30 10
r
2
r
1
3
А,
r
IdS dr r
∫∫
Sr
Ud r
222100,63109010
12 2
33
dS d dr – элемент сечения пластины.
где
ln ln 839
2
Ud Ud
22
12 12
33
1
633
r
1
r
Пример 1.38. Металлический заземлитель в форме полусферы
радиусом
(рис. 1.53). Через заземлитель в землю стекает ток
ется в бесконечность по ее толщине. Определить напряжение между
точками 1 и 2 на поверхности земли, если проводимость земли
10 1 Ом м
.
r погружен на одном уровне с поверхностью земли
0
А и растека-
900I
2
r
0
I
12
15 мr
1
16 мr
2
Рис. 1.53
Решение. Согласно закону Ома в дифференциальной форме
напряженность электрического поля на удалении от заземлителя
94
I
2
,
S
2
r
2
2
2Sr
где
сом
rr в толще земли.
– площадь воображаемой поверхности полусферы радиу-
0
E
Напряжение между точками 1 и 2 на поверхности земли
rr
22
UEdr
12
∫∫
rr
11
⎛⎞
11 900 1 1
I
⎜⎟
21516
rr
12
⎝⎠
Idr I
22
2
r
⎛⎞
⎜⎟
2
210
⎝⎠
r
2
1
r
r
1
59,7
В.
Пример 1.39. Коаксиальный кабель длиной 25l м с радиусом
центральной жилы
30r мм содержит двухслойную изоляцию с границей раздела сло-
3
ев
20r мм (рис. 1.54). Определить сопротивление изоляции и ток
2
утечки коаксиального кабеля, включенного под постоянное напряжение 1000U В, если удельные проводимости слоев изоляции
10
210 1Ом м
,
1
10r мм и внутренним радиусом оболочки
1
10
410 1Ом м
.
2
l
r
1
r
2
1
r
3
U
Рис. 1.54
95
Решение. Используя закон Ома в дифференциальной форме,
определим напряженность поля в пределах границ слоев изоляции:
I
00
11
;
2
rl
00
E
2
22
I
2
rl
,
где
0
E
1
I
0
– плотность тока утечки через слои изоляции; 2Srl –
S
поверхность цилиндрического слоя изоляции радиусом r .
Напряжение между центральной жилой и оболочкой кабеля определяется суммированием напряжений на слоях изоляции:
rr
22
UEdrEdr dr dr
∫∫ ∫ ∫
rr r r
12 1 2
rr
33
12
⎛⎞
Ir
11
03
⎜⎟
2
lr r
⎝⎠
⎛⎞
I
2
ln ln
11 2 2
11
0
⎜⎟
⎜⎟
lr r
12
⎝⎠
r
2
,
отсюда найдем сопротивление изоляции коаксиального кабеля:
⎛⎞
0
⎛⎞
11201013010
225
⎜⎟
⎜⎟
210 1010 410 2010
⎝⎠
ln ln 2,85 10
10 3 10 3
2
Il r r
01122
33
11 1
U
R
r
2
ln ln
⎜⎟
⎝⎠
r
3
7
Ом.
Ток утечки коаксиального кабеля
2
lU
I
0
2 25 1000
1 20 10 1 30 10
ln ln
10 3 10 3
2 10 10 10 4 10 20 10
33
r
11
2
ln ln
rr
11 2 2
96
r
3
4
0,35 10
А.
1.2.4. Электрическая проводимость и электрическое
R
сопротивление проводниковых материалов
Величину, обратную сопротивлению, называют электрической
проводимостью:
1
g
.
Единица электрической проводимости – сименс []=
g См = 1/Ом.
Величина, обратная удельной проводимости, называется удельным
сопротивлением:
1
.
Единица удельного сопротивления – [ ] Ом м
=.
Удельное сопротивление для большинства проводниковых материалов (металлы и их сплавы) практически не зависит от плотности тока
и напряженности электрического поля (табл. 1.2).
Сопротивление зависит от геометрических размеров проводника и
токопроводящего материала, характеризуемого удельным сопротивлением или удельной проводимостью.
В простейшем случае для однородного проводника длиной
площадью поперечного сечения
S (рис. 1.51, б) электрическое сопро-
l и
тивление через его размеры равно
,
R
1ll
SS
2
d
где
– площадь сечения для проводника цилиндрической фор-
S
4
мы диаметром
d .
Удельное электрическое сопротивление проводников зависит от
температуры, связанной с их нагревом за счет работы сил электрического поля:
1⎡ ⎤
21 21
⎣⎦
97
,
R
R
R
где
– удельное сопротивление при конечной температуре
2
удельное сопротивление при начальной температуре
; – темпера-
1
;
–
2
1
турный коэффициент сопротивления проводникового материала
(табл. 1.2).
Таблица 1.2
Основные характеристики проводниковых материалов
при температуре 0 °С
Материал
Алюминий
Медь
Сталь
,
Ом м
2,62
1,62
10…13
810
,
о 1C
0,0042
0,0043
0,006
Материал
Латунь
Серебро
Нихром
810
,
Ом м
7…7,2
1,5
100…112
,
о 1C
0,002
0,004
0,0003
Зависимость сопротивления проводника от температуры выражается аналогичной зависимостью
1RR ⎡ ⎤
⎣⎦
где
21 21
– сопротивление при конечной температуре
2
тивление при начальной температуре
.
1
,
;
– сопро-
2
1
Сопротивление нагретого проводника рассчитывается по формуле
l
,
S
o
0C ; – температура
где
(1 ) (1 )
RR
0
– сопротивление проводника при
0
нагретого проводника.
Обычно в справочной литературе удельное сопротивление проводниковых материалов приводится исходя из средней температуры
o
20 C . В таком случае для расчета сопротивления нагретого про-
водника следует воспользоваться формулой
⎡⎤
1(20)RR
o
⎣⎦
20 C
o
,
где – температура нагрева проводника.
98
Пример 1.40. Определить сопротивление стального провода, если
его диаметр и длина соответственно равны 4d мм, 450l м.
Решение. Сопротивление стального провода
12 10 Ом м
где
o
при
0C (табл. 1.2);
4 4 450
ll
R
S
8
– удельное сопротивление материала из стали
12 10 4,3
22
d
2
d
– сечение провода.
S
4
8
3
410
Ом,
Пример 1.41. Электрическая линия состоит из трех последова-
тельно соединенных участков медного провода одинаковой длины
l м, имеющих разный диаметр (рис. 1.55):
1000
2d мм. Определить электрическое сопротивление всей линии и ее
3
проводимость.
l
ll
1
3d мм;
2
5d мм;
d
1
Рис. 1.55
d
2
d
3
Решение. Принимем для сопротивления проводника через его
2
d
размеры
l
и сечение проводника
R
S
всей линии для случая последовательного соединения участков:
RR R R
123
8
41,6210 1000 1 1 1
8
где
1,62 10 1 Ом м
– удельное сопротивление меди (табл. 1.2).
SS S
123
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
310 510 210
⎝⎠
222
333
99
общее сопротивление
S
4
⎛⎞
4111lll l
⎜⎟
222
⎜⎟
ddd
123
⎝⎠
8,3
Ом,
Проводимость всей линии
11
g
R
8,3
0,12
См.
Пример 1.41. Определить электрическое сопротивление двухпро-
водной линии передачи из алюминиевого провода при температуре
окружающей среды
120
S мм
2
, а длина линии 15 км.
1
o
40 C и
2
Решение. Сопротивление двухпроводной линии при
с учетом длины прямого и обратного провода
2 2 15 10
l
2,62 10 6,55
S
где
при
R
0
8
2,62 10
0C (табл. 1.2); l – длина прямого провода.
– удельное сопротивление материала из алюминия
o
Сопротивление линии при
(1 ) 6,55(1 0, 0042 40 ) 7, 65RR Ом,
10 1
о 1
0,0042 C
– температурный коэффициент (табл. 1.2).
где
Сопротивление линии при
(1 ) 6,55 1 0,0042( 30 ) 5, 72RR
20 2
8
120 10
40 C:
1
30 C
2
o
30 C , если сечение провода
3
o
o
6
Ом,
o
o
Ом.
o
0C
1.2.5. Закон Джоуля–Ленца
При прохождении по проводнику с активным сопротивлением R
электрического тока I происходит преобразование электрической
энергии в тепловую. Для проводящей однородной среды в виде проводника (рис. 1.51,
связано с переносом некоторого количества электричества
с потенциалом
совершается работа, равная энергии
а) при протекании по нему тока выделение тепла
q от точки 1
к точке 2 с потенциалом
1
100
. При таком переносе
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]