Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
где ФBS – магнитный поток, пронизывающий один виток соленои-
B
2
dS
да; w – общее количество витков;
0
– площадь поперечного се-
4
чения соленоида.
Принимая во внимание, что
больше ее диаметра, согласно теореме о циркуляции вектора
ld , т. е. длина катушки намного
0
мо-
дуль магнитной индукции во всех точках поля внутри соленоида
Bl ,
Iw
0 r
и магнитный поток, пронизывающий один виток соленоида,
2
d
Iw
Ф
=BS
0
r
0
l
.
4
Энергия магнитного поля, сосредоточенная внутри всего объема
соленоида,
222
wdI
0
r
l
2
3
,
где
r
1
WIw
м 0
73
410 1,0 210 Дж
1, 0
– относительная магнитная проницаемость для среды из
Ф
28
232
450 50 10 2
8 500 10
воздуха.
Пример 1.64. Определить силу тока в катушке с индуктивностью
3
410L
тушки
Гн, если энергия, сосредоточенная в магнитном поле ка-
7,2 10W= Дж.
м
2
Решение. Энергия магнитного поля, сосредоточенная в катушке
индуктивностью L и силой тока I ,
2
LI
W , отсюда сила тока
м
2
W
2
I
L
151
м
27,210
410
2
6
3
А.
Пример 1.65. Вычислить энергию магнитного поля соленоидной
катушки, содержащей
4I А и магнитный поток через ее поперечное сечение
4
510=
Вб.
витков, если сила тока в катушке
500w
Решение. Энергия магнитного поля соленоидной катушки с током
2
LI
W .
м
2
Индуктивность катушки L связана через потокосцепление ка-
w
тушки с магнитным потоком выражением
L
. Следова-
II
тельно, энергия магнитного поля
24
wI wI
W
Дж.
м
I
22 2
500 5 10 4
0,5
Пример 1.66. Определить энергию магнитного поля внутри
сплошного цилиндрического проводника из меди радиусом
те на единицу его длины, считая, что плотность тока одинакова во всем
объеме проводника, а величина протекающего постоянного тока
120I А (рис. 1.92).
r
r
0
dr
r в расче-
0
I
Рис. 1.92
152
l
Решение. Воспользуемся выражением циркуляции вектора
B
B
B
B
магнитной индукции и определим величину индукции внутри цилиндрического проводника на расстоянии r от его оси:
dl B r I
Ú
2
==
0
r
Â
,
где
ка
I= S r
∑
S радиусом r 0(0 )rr ;
r
r
2
– полный ток, пронизывающий сечение проводни-
//IS I r – плотность тока
00
2
в объеме, занятом проводником.
Таким образом, индукция
магнитного поля внутри проводника
на расстоянии r от его оси
I
0
r
r
.
2
r
2
0
Так как объемная плотность энергии магнитного поля
22
wrr
BI
0
22 8
00
rr
⎛⎞
1
00
⎜⎟
⎜⎟
2
⎝⎠
2
I
rr
24
rr
00
2
,
то полная энергия магнитного поля, сосредоточенная в объеме проводника из расчета на единицу его длины, будет
r
r
0
W
11
WwdV rrldrr
м
00
∫∫
ll l
V
2
I
0
16 16
410 1,0120
r
0
72
22
II
00
8
24
rr
24 4
2
16
4
Дж/м,
rr
00
3, 6 10
0
0
где 2dV rl dr – элемент объема радиусом r , толщиной dr и длиной
l (рис. 1.92);
– относительная магнитная проницаемость для
r
=1,0
материала из меди.
Пример 1.67. По бесконечно длинному сплошному проводнику
радиусом
6r= мм из немагнитного материала течет ток 240I= А.
0
153
Определить энергию магнитного поля, сосредоточенную за пределами
B
проводника в пространстве, ограниченном цилиндром радиусом
12r= мм и длиной 15l= мм, расположенным соосно с проводником
1
(рис. 1.93).
r
dr
r
r
1
0
l
I
Рис. 1.93
Решение. Магнитное поле, созданное постоянным током за пре-
делами проводника, является неоднородным. По закону Био–Савара–
Лапласа индукция магнитного поля, создаваемая бесконечно длинным
проводником на расстоянии r от оси за пределами проводника,
I
0
B
Объемная плотность энергии магнитного поля
w
0
2
Энергия магнитного поля, сосредоточенная за пределами проводника в пространстве, ограниченном цилиндром радиусом
r
22
0
r
.
2
r
I
0
r
.
22
8
r
r
1
154
r
B
r
1
W w dV rl dr r
м 0
∫∫
Vr
4 10 1,0 240 0, 015 12 10
0
72 3
2
I
000
rrr
2lnln
22
r
8
Il Il
44
ln 6 10
4
610
1
22
r
0
5
3
Дж,
r
1
r
0
где 2dr rl dr – элементарный объем полого цилиндра радиусом r ,
толщиной
dr и длиной l (рис. 1.93).
Пример 1.68. Определить энергию магнитного поля медного ко-
аксиального кабеля, сосредоточенную в одном метре его длины с радиусом сплошного внутреннего проводника
оболочки
2
20r мм,
25r мм (рис. 1.94), считая, что ток 500I А
3
15r мм и радиусами
1
распределен по проводникам равномерно.
Решение. Коаксиальный кабель следует рассматривать как два
разделенных изоляцией проводящих цилиндра с совпадающими осями,
токи в которых текут в противоположных направлениях.
Весь объем кабеля (рис. 1.94) следует разбить на три области.
По теореме о циркуляции вектора
нитного поля в функции радиуса r для каждой отдельной области.
I
найдем величину индукции маг-
l
r
1
I
r
3
Рис. 1.94
r
2
Для первой области 1(0 )rr , занимаемой сплошным внутренним
проводником, плотность тока
I
.
1
2
r
1
155
Линии магнитной индукции радиусом
B
B
B
B
rr
с центром на оси кабе-
1
ля охватывают часть тока, равную
II
Ir r r
∑
где I
– полный ток, пронизывающий сечение радиусом 1rr .
∑
При
rr полный ток =II∑. Модуль вектора
1
нитного поля на расстоянии
222
1
22
rr
11
,
индукции маг-
1
rr от оси кабеля согласно теореме
1
о циркуляции равен
II
00
1
22
Во второй области (
rrr ), занимаемой изоляцией, линии маг-
12
нитной индукции охватывают весь ток, поэтому модуль вектора
2
rr
rr
22
r
rr
11
.
2
индукции магнитного поля равен
I
0
r
.
2
r
, занимаемой оболочкой кабеля с
В третьей области
B
2
()rrr
23
плотностью тока
I
3
22
rr
32
,
линии магнитной индукции охватывают ток внутреннего проводника
r
радиусом
и часть тока, проходящего через сечение оболочки, име-
1
ющего отрицательный знак:
22 22
rr rr
22
II r r II I I
∑
32
22 22 22
rr rr rr
32 32 32
⎛⎞
22
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
rr
3
.
Модуль вектора
rrr от оси кабеля
23
индукции магнитного поля на расстоянии
3
22
Ir r
B
3
0
2
3
r
22
rr r
32
.
156
За пределами кабеля
rr
полный ток
3
∑
, так как токи внут-
0I
реннего проводника и оболочки текут в противоположных направлениях, поэтому магнитное поле также равно нулю.
Энергия магнитного поля, запасенная на участке кабеля длиной l ,
будет определяться как сумма энергий отдельных областей по отдельным элементарным объемам:
2
где
w
0
B
2
WwdV dV
м 0
∫∫
VV
2
B
2
0
– объемная плотность энергии магнитного поля;
r
0
,
r
2dV rl dr – элемент объема радиусом r , толщиной dr и длиной l ;
– относительная магнитная проницаемость для всех областей
1, 0
r
кабеля; 1l= м – расчетная единица длины кабеля.
Энергия магнитного поля для первой области
2
B
1
WdV rrldr
м1
∫∫
222
rr
00
Vr
r
1
272
Il
43
rr
00
16 16 16
r
4
r
1
r
0
r
1
0
2
Il
410 1,05001,0
⎛⎞
1
0
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
r
2
I
2
2
r
1
6,25 10
Дж.
Энергия магнитного поля второй области
2
B
WdV rldr r
м2
0
44
2
∫∫
222 4
rr
00
Vr
2
Il
r
r
2
ln ln 7,19 10
r
1
r
2
1
4 10 1,0 500 1,0 20 10
1
⎛⎞
00
⎜⎟
⎝⎠
72 3
2
I
rr
2ln
2
Il
r
3
15 10
157
3
r
2
r
1
Дж.
Энергия магнитного поля третьей области
2
B
30
WdV rldr=
м3
∫∫
222
rr
00
Vr
r
3
2
⎛⎞
1
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
22
Ir r
3
r
22
rr r
32
2
2
22
r
2
3
rr
Il
r
0
4
⎡⎤
24 22
Il r r r r
03332
⎢⎥
r
⎢⎥
4
22
rr
⎢⎥
32
⎣⎦
ln 2,07 10
2
3
∫
22
r
rrr
2
32
r
4
2
2
dr
2
3
22
rr
32
3
Дж.
Энергия магнитного поля сосредоточенная в объеме кабеля на
участке длиной один метр:
3
Дж.
мм1 м2 м3
Замечание. Величина
гию магнитного поля, сосредоточенную в объеме проводника из меди, а ве-
7,19 10W
личина
изоляцией.
м2
3
Дж/м – энергию магнитного поля в объеме, занятом
м1 м3
15,51 10WW W W
Дж/м определяет энер-
8, 32 10WW
3
1.3.7. Расчет электрической индуктивности
Для расчета электрической индуктивности (собственной индуктивности) можно воспользоваться одним из двух рассмотренных ниже
способов.
Первый способ расчета индуктивности основан на связи потока
магнитной индукции с током I в контуре, создающем этот поток:
=LI .
Если замкнутый контур содержит не один, а несколько w последовательно соединенных витков (например, катушка
158
или соленоид),
то расчет индуктивности основан на связи полного магнитного потока,
B
H
B
B
B
равного потокосцеплению w с током такого контура:
w=LI .
В этом случае можно считать поток всех витков одинаковым, а индуктивность контура
w
L
.
II
Определим выражение для индуктивности соленоидной катушки
(рис. 1.95), длина
l которой много больше ее диаметра
случае можно полагать, что индукция
в каждой точке внутри ка-
d . В таком
0
тушки одинакова.
l
d
0
Рис. 1.95
r
ld
I
1, 0
0
Согласно закону полного тока
n
Hdl I
Ú
l
откуда модули вектора H
=
напряженности поля и вектора
Â
k
, или
k
1
=
lIw ,
магнит-
ной индукции:
Hl
Iw
BH
;
00rr
Iw
.
l
Магнитный поток, пронизывающий один виток катушки,
Ф
SS
,
2
dS
где
0
– площадь поперечного сечения соленоида.
Iw
0
r
l
4
159
Полный магнитный поток (поток, пронизывающий все витки катушки) равен потокосцеплению:
22
Ф
=w S V
Iw Iw
rr
00
l
,
2
l
где VSl – объем соленоида.
Индуктивность соленоидной катушки
2
0 r
w
LV
.
LS
, либо
Il
02r
2
w
l
Второй способ расчета основан на использовании понятия магнит-
ной энергии
лена независимым образом из объемной плотности энергии
W электрического тока I , которая должна быть опреде-
м
w , а ин-
дуктивность L уже получена из соотношения
2
W w dV dV LI
м 0
∫∫
VV
B
22
0
r
1
2
.
Исходя из внешнего и внутреннего магнитного поля электрическую
L
индуктивность L разделяют на внешнюю
и внутреннюю
внеш
индуктивность, причем
LL +L .
внеш внут
0
L
внут
Внешняя индуктивность
L связана линиями магнитной индук-
внеш
ции, расположенными во внешней по отношению к проводнику среде.
Внутренняя индуктивность
L связана только с линиями магнитной
внут
индукции, проходящими внутри объема проводника.
Для расчета внешней индуктивности необходимо знать распределение магнитной индукции за пределами проводника, а при расчетах
внутренней индуктивности – внутри проводника.
Величина индуктивности зависит от геометрических параметров,
определяющих форму и размеры проводника, магнитной проницаемости среды, окружающей проводник, и магнитной проницаемости
про-
водниковых материалов. Если относительная магнитная проницае-
const
мость
r
, то индуктивность проводников не зависит от токов.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]