Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Пример 1.69. Определить внутреннюю индуктивность прямоли-
B
B
нейного проводника радиусом
проводник выполнен из немагнитного материала (рис. 1.96).
r
0
r в расчете на единицу его длины, если
0
l
I
1, 0
r
Рис. 1.96
Решение. Расчет внутренней индуктивности прямолинейного про-
водника выполним, исходя из связи индуктивности с энергией магнитного поля тока, сосредоточенной внутри объема проводника, полагая,
что плотность тока одинакова во всем объеме, занятом проводником.
Так как плотность тока одинакова, то на расстоянии
оси проводника индукцию магнитного поля можно рассчитать по теореме о циркуляции вектора
(см. пример 1.66):
I
0
r
r
.
2
r
2
0
Энергию магнитного поля внутри объема прямолинейного проводника длиной l определим с помощью выражения объемной плотности
энергии магнитного поля:
r
0
00
8
0
2
rr
24
2
r
0
где
22
W w dV dV r rldr
м 0
∫∫ ∫
VV
2
w
B
0
2
– объемная плотность энергии магнитного поля;
0
r
BI
216
0
r
2dV rl dr – элемент объема проводника радиусом r , толщиной dr
0 rr от
Il
0
2
,
Сравнивая полученное выражение для энергии магнитного поля
с формулой для магнитной энергии, установленной через индуктив-
ность
мвнут
2
1
WLI
2
, можно записать равенство
161
2
Р
B2B
xdxx
Il
r
0
16 2
1
2
LI
внут
,
отсюда внутренняя индуктивность проводника
l
0
L
внут
r
,
8
и в расчете на единицу его длины получим
7
L
L
0
где =1,0
– относительная магнитная проницаемость для немагнит-
r
внут
l
0
r
88
410 1,0
0,5 10
7
Гн/м,
ного материала.
Замечание. Внутренняя индуктивность сплошного прямолинейного
проводника цилиндрической формы не зависит от радиуса и определяется
только его длиной.
Пример 1.70. Двухпроводная воздушная линия (рис. 1.97) состоит
из двух параллельных алюминиевых проводников одинакового радиу-
4r
са
нии
мм. Расстояние между проводниками 250d мм, длина ли-
0
3000l м. Определить индуктивность двухпроводной воздушной
линии.
y
l
2r
I
0
1
d
1
2
I
ис. 1.97
162
Решение. Исходя из внешнего магнитного поля между проводни-
B
x
x
B
B
B
ками и магнитного поля внутри самих проводников будем различать
понятия внешней
L и внутренней
внеш
водной линии.
Расчет внешней индуктивности. Токи в прямом 1 и обратном 2
проводниках (рис. 1.97) отличаются лишь направлениями. Начало координат рассмотрим на оси прямого 1 проводника. Определим магнитный поток между проводниками, находящимися на расстоянии
от друга.
Применяя теорему о циркуляции вектора
пом наложения, получим распределение магнитной индукции вдоль
прямой, соединяющей оси проводников (оси абсцисс):
III
BB B
12
где
– расстояние до произвольной точки от оси прямого проводника 1;
000
22()2
()dx – расстояние до произвольной точки от оси обратного провод-
ника 2.
Алгебраическое суммирование модулей векторов
ся тем, что индукции магнитных полей прямого и обратного проводника
на прямой, соединяющей их оси, совпадают по направлению (рис. 1.97).
Элементарный магнитный поток d сквозь площадку dS шириной
dx и длиной l , учитывая, что результирующий вектор
дикулярен dS , равен
L индуктивности двухпро-
внут
и пользуясь принци-
11
⎛⎞
dx xdx
⎜⎟
⎝⎠
,
и
1
друг
d
объясняет-
2
перпен-
I
11
⎛⎞
d BdS Bldx ldx
0
⎜⎟
2
xdx
⎝⎠
,
а магнитный поток сквозь всю поверхность между проводниками
dr
dr
Bldx ldx x d x
∫∫
rr
00
0
IIl
11
⎛⎞
00
⎜⎟
22
xdx
⎝⎠
Il d r Il d r
0000
2ln ln
2
rr
00
163
ln ln( )
.
dr
r
0
0
Из связи потока магнитной индукции с током в контуре, создаю-
x
x
B
x
x
щим этот поток для внешней индуктивности, получим
ldr
00
L
внеш
Ir
ln
.
0
Расчет внутренней индуктивности основан на учете магнитного
потока внутри самих проводников. Поле внутри проводника двухпроводной воздушной линии может вычисляться как поле уединенного
проводника.
Магнитная индукция на расстоянии
от оси проводника при
r
0
равна
I
0
r
x
,
2
r
2
0
а элементарный магнитный поток d через площадку dS радиусом
шириной
и длиной l равен
dx
d BdS Bldx xldx
0
2
I
r
2
r
0
.
Так как внутри проводника элементарный магнитный поток сцеплен
2
только с частью тока
которая пропорциональна отношению
,I
, то
2
r
0
магнитный поток сквозь всю поверхность
rr r
22
00 0
xx
dBldx xdx
∫∫ ∫
22 4
rr r
00 0
00 0
Il Il
00
2
3
rr
.
8
Для внутренней индуктивности, например прямого проводника 1,
получим
l
0
L
.
внут
I
r
8
Полная индуктивность двухпроводной воздушной линии, полагая
для материала из алюминия 1, 0
, составит
r
164
ldr l l dr
LL L
410 3000 0,250,004
2ln ln
внеш внут
7
0000 0
⎛⎞
ln 0, 25 5,24 10
⎜⎟
⎝⎠
0,004
44
rr
00
⎛⎞
⎜⎟
1
⎝⎠
3
Гн.
Пример 1.71. Определить индуктивность тороидальной катушки
прямоугольного сечения с равномерно нанесенной на сердечник плотной однослойной намоткой, содержащей
вода. Внутренний радиус сердечника
25r мм и высота 20h мм, относительная магнитная проницае-
2
1, 0
мость материала сердечника
r
(рис. 1.98).
r
Рис. 1.98
250w витков медного про-
15r мм, внешний радиус
1
h
r
r
2
1
Решение. Катушка обладает осевой симметрией, а ее витки плот-
но и равномерно распределены по всей длине сердечника. Силовые
линии внутри сердечника являются концентрическими окружностями
(рис. 1.98).
По закону полного тока для окружности радиусом
2
Hdl H dl H r wI===
ÚÚ
l
r
2
0
rrr
12
,
где r – радиус окружности, совпадающий с линией индукции; wI –
полный ток.
165
Откуда запишем модули вектора H напряженности магнитного
B
поля и вектора
магнитной индукции:
Hr
2
wI
;
BH
0
wI
0
r
r
2
.
r
Магнитный поток через поперечное сечение сердечника
r
2
wI
rr
BdS hdr wI h
∫∫
Sr
00
22
rr
1
ln
r
2
,
1
где dS hdr – элемент поверхности сечения шириной dr и высотой h .
Учитывая то, что катушка содержит
w последовательно соединен-
ных витков, полный магнитный поток (потокосцепление) будет
0
wwIh
r
2
r
2
ln
2
,
r
1
а индуктивность тороидальной катушки
0
Lwh
Ir
73
4 10 1,0 25 10
2
23 4
250 20 10 ln 1,28 10
r
2
Пример 1.72. Определить индуктивность медного
2
ln
15 10
r
2
1
3
Гн.
(1,0)
r
ко-
аксиального кабеля, имеющего длину 120l м, радиус внутреннего
проводника
оболочки
3r мм, внутренний и внешний радиусы проводящей
1
2
5r мм,
6r мм (рис. 1.99).
3
Решение. Расчет индуктивности кабеля целесообразно выполнить
с использованием понятия энергии магнитного поля, создаваемого током. Энергию магнитного поля, сосредоточенную в объеме кабеля,
найдем независимым способом, исходя из ее объемной плотности,
а для расчета индуктивности воспользуемся известным равенством
166
где
w
0
2
2
wdV dV LI
0
∫∫
VV
2
B
– объемная плотность энергии магнитного поля.
0
r
B
22
0
r
1
2
,
l
r
1
r
3
Рис. 1.99
r
2
Энергию магнитного поля кабеля длиной l будем определять как
сумму энергий его отдельных областей (см. пример 1.68).
Для первой области
(0 )rr , занимаемой внутренним проводни-
1
ком, энергия магнитного поля
2
Il
r
м1
0
16
.
Для второй области (
W
rrr ), занятой изоляцией, энергия маг-
12
нитного поля
2
Il
r
2
ln
.
r
1
, занимаемой проводящей оболоч-
Для третьей области
м2
()rrr
23
4
r
0
W
кой, энергия магнитного поля
⎡⎤
24
Il r r r r
r
W
03332
м3
⎢⎥
⎢⎥
4
22
rr
32
⎣⎦
ln
2
3
r
2
22
4
rr
32
.
167
Энергия магнитного поля, сосредоточенная во всем объеме, занятом кабелем,
1
WWW LI
м1 м2 м3
2
,
2
откуда индуктивность кабеля и ее расчетная величина с учетом установленных размеров
⎡⎤
lrrrrr
1
⎢⎥
033332
r
L
24
ln ln 0, 5 10
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
rr
22
4
22
rr
32
2
3
22
rr
4
32
4
Гн.
Первое слагаемое обусловлено магнитным полем внутреннего проводника, второе – полем в объеме, занятом изоляцией, два последних
слагаемых – полем, сосредоточенным внутри проводящей оболочки.
2. Линейные электрические цепи при постоянных
токах и напряжениях
2.1. Определение электрической цепи
Совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок (сопротивлений), по которым может протекать электрический ток, называют электрической цепью.
Электрический ток представляет собой направленное, упорядоченное движение носителей электрических зарядов и может существовать
только в замкнутой электрической цепи.
Постоянный ток есть ток, неизменный во времени.
Электрическая цепь характеризуется
которых она состоит, и способами их соединения. Геометрическое
изображение соединения элементов электрической цепи (источников
энергии, сопротивлений) называют схемой.
Графическое изображение цепи с помощью идеальных элементов,
называют схемой замещения электрической цепи.
совокупностью элементов, из
168
Элементы электрической цепи разделяются на активные и пассив-
R
E
R
E
ные. К активным элементам относятся все источники энергии, к пассивным элементам – сопротивления.
Если сопротивление не зависит от тока и его направления, то в таком случае сопротивление называется линейным. Цепи, содержащие
только линейные элементы, называют линейными цепями.
2.2. Положительные направления токов,
ЭДС и напряжений
Стрелки, обозначенные на схемах и ее элементах, указывают положительные направления токов, ЭДС и напряжений, т. е. такие
направления, для которых значения обозначенных величин положительны.
На рис. 2.1, а представлена схема соединений простейшей цепи постоянного тока, состоящая из идеального источника ЭДС и нагрузки
в виде резистивного сопротивления
мени приведен на рис. 2.1, б. Свойство резистивного сопротивления
описывается его вольт-амперной характеристикой в виде зависимости
напряжения U на его выводах от тока I (рис. 2.1, в).
I
a
U
U
. График источника ЭДС от вре-
U
b
а б в
0
Рис. 2.1
t
0
I
За положительное направление тока I принято направление движения положительных зарядов (или противоположное движение электронов). За положительное направление источника ЭДС принято
направление действия сторонних сил на положительный заряд, а за
положительное направление напряжения
– направление убывания
U
потенциала. Положительные направления тока и ЭДС источника сов-
169
падают. Совпадают также положительные направления тока и напря-
E
Р
E
E
E
E
жения
U на нагрузке.
По определению напряжение
на участке ab есть разность по-
U
тенциалов, следовательно, можно сказать, что напряжение и ток
направлены от более высокого потенциала
циалу
мах
. Положительное направление напряжения на внешних зажи-
b
противоположно положительному направлению источника
ab
к более низкому потен-
a
ЭДС и току через источник.
Замечание. При наличии нескольких источников энергии положи-
тельные направления токов выбираются произвольно. Если в результате расчета ток имеет положительное значение величины
что его направление совпадает с выбранным положительным направлением,
обозначенным на схеме. В противном случае, когда ток отрицателен
считается, что он направлен противоположно направлению, указанному на
схеме.
(0)I , то это означает,
(0)I ,
2.3. Схемы замещения источников
электрической энергии
Схема замещения источника ЭДС с последовательно включенным
сопротивлением
источника энергии, показана на рис. 2.2, а. Внешняя вольт-амперная
характеристика реального источника ЭДС
рис. 2.2, б.
r , равным внутреннему сопротивлению реального
вн
представлена на
I
U
U
U
r
вн
а б в
0
r
ис. 2.2
170
вн
I
0
I
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]