Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
()Wq IUt=IRt ,
12
2
которая по закону Джоуля–Ленца равняется количеству выделившегося в проводящей среде тепла за время
Единица работы (энергии) электрического тока – джоуль []=
t .
W Дж.
Количество тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квадрату тока, активному сопротивлению проводника и времени прохождения тока:
2
Q=I R t .
За промежуток времени
чество теплоты
dQ = I Rdt .
dt в объеме проводника выделяется коли-
2
Если сила тока меняется со временем, то закон Джоуля–Ленца запишется в виде
t
Q= Ri dt
i= f t – ток, являющийся функцией времени.
где ()
2
∫
0
,
Единицей количества тепла, как и единицей работы электрического
поля, является – джоуль []=
Q Дж.
Работа, совершаемая в единицу времени, или мощность на участке
(рис. 1.51,
Единица мощности – ватт []=
а), при протекании тока
()q
W
P= I R
tt
P Вт.
12
2
.
Переход электрической энергии в тепловую происходит в каждом
элементе объема проводящей среды, в котором в данный момент окажется перемещающийся заряд.
Энергия, выделяющаяся в единицу времени в единице объема проводящей среды (рис. 1.51,
а), соответствует удельной величине тепло-
вых потерь (потерь активной мощности в единице объема):
101
l
p
E
2
S
()
22
IR
=
0
VlS
S
2
E
и соответствует закону Джоуля–Ленца в дифференциальной форме.
Таким образом, в единице объема проводящей среды в единицу
2
времени выделяется энергия, численно равная
Единица удельной мощности тепловых потерь –
Мощность тепловых потерь в полном объеме
.
[]=p
V
Вт/м3.
0
можно выразить
через значение удельной мощности потерь:
2
PpdV EdV
0
∫∫
VV
.
Пример 1.42. В медной шине длиной 2мl с размерами сечения
30 ммa и 4ммb сила тока линейно возрастает за время 30 сt
от 0 до 600 А (рис. 1.56). Определить количество теплоты, выделенное
в шине за первые 25 с, если удельная проводимость материала из меди
0,62 10 1 Ом м
.
8
l
a
I
b
Рис. 1.56
Решение. Согласно закону Джоуля–Ленца количество тепла dQ ,
выделившегося в шине за время dt , составит
dQ I Rdt .
2
102
Так как сила тока линейно зависит от времени 20
Ikt t, то ко-
I
личество выделенного тепла за промежуток времени
составлять
dt будет
222
dQ I Rdt = k t dt
1Il
,
ab
где
равный приращению тока в единицу времени;
шины;
k
I
I
t
=20Ас
30 с
Sab – сечение шины.
– коэффициент пропорциональности,
1 l
RS
– сопротивление
600А
Количество теплоты, выделившейся в шине за первые 25 с:
t
t
1
Qkt dt t t
∫
0
20 2
30,6210 3010 410
ll l
1
22 3 3
I
ab ab ab
2
833
22
kk
II
33
1
0
3
25 560
1
Дж.
Пример 1.43. Стальная пластина представляет собой четверть
диска с вырезанным в центре его отверстием (рис. 1.57). Внутренний
радиус выреза
ее толщина
2
10U В. Определить удельные тепловые потери и тепловую мощ-
12
ность, выделяемую в пластине, если удельная проводимость стали
8
10 1 Ом м
.
60r мм, внешний радиус пластины
1
мм. Между краями пластины приложено напряжение
2h
120r мм,
2
Решение. Считаем, что линии плотности тока и напряженности
совпадают в слое
Напряжение, приложенное к пластине, и напряженность электрического поля, зависящая от радиуса, связаны уравнением
, находящемся на расстоянии r от оси пластины.
dr
22
U Edl E dr E dr
12
∫∫
11
22
103
,
где
1
dl dr dr
2
– элемент длины четверти окружности диска
42
rl
(здесь
– длина четверти диска на расстоянии радиусом r от
2
оси), откуда напряженность электрического поля пластины на расстоянии r от оси
2U
Er
12
.
1
U
12
r
1
r
r
2
2
I
Рис. 1.57
h
Удельная величина тепловых потерь на расстоянии
rrr от
12
оси пластины
pE
2
0
12
22 22 2
rrr
2
U
4
82 2
410 10 40,510
2
Вт/м
3
.
Тепловая мощность при протекании тока, т. е. потери активной
мощности в объеме, занятом стальной пластиной,
rr
22
P dP p dV rh dr h
∫∫ ∫ ∫
VV r r
20,25 10 ln 20, 25 10 2 10 ln 8,8
Вт,
0
223
h
40,5 10
11
r
2
r
1
2
2
r
2
104
20,25 10
120 10
60 10
dr
2
r
3
3
где
dV rh dr
– элемент объема четверти диска радиусом r , шири-
2
ной dr и толщиной h .
Замечание. Для расчета тепловой мощности можно воспользоваться
интегральной формой закона Джоуля–Ленца, предварительно определив величину тока через пластину:
r
2
где
шириной
IdS dr
∫∫
Sr
2 U
E
12
– плотность тока;
r
dr и толщиной h .
22
hU hU r
12 12 2
rr
1
ln
,
1
dS hdr – элемент сечения пластины
Тепловая мощность пластины (потери активной мощности)
2
2lnhU r
2
PIRUI
12
12 2
r
4
832 3
2 10 2 10 10 120 10
2
ln 8,8
60 10
Вт.
3
Пример 1.44. Пространство между обкладками цилиндрического
конденсатора длиной 120l= мм заполнено диэлектриком с удельной
9
10 1 Ом м
проводимостью изоляции
ловые потери и потери активной мощности в изоляции, если напряже-
ние между его обкладками
65r мм (рис. 1.58).
2
. Определить удельные теп-
3
610U В, радиусы обкладок:
1
25r мм,
l
r
1
r
2
U
Рис. 1.58
105
Решение. Согласно закону Джоуля–Ленца в дифференциальной
p
форме удельная величина тепловых потерь в изоляции
2
E .
0
Напряжение на обкладках и напряженность электрического поля
цилиндрического конденсатора связаны соотношением
rr
22
UEdr dr Er
∫∫
rr
11
22
rrr
rr
0011
rr
22
ln ln
,
где
E
конденсатора с линейной плотностью заряда
2
– напряженность электрического поля однослойного
r
0
r
.
Тогда напряженность электрического поля в слое диэлектрика при
заданном напряжении будет равна
U
E
,
r
2
ln
r
r
1
а величина удельных тепловых потерь в изоляции на расстоянии r от
оси конденсатора определится в виде
233
pE
29
0
U
⎛⎞ ⎛ ⎞
r
r
ln
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠
10
222
2
r
1
610 39,410
r
ln
⎜⎟
⎝⎠
2
3
65 10
3
25 10
Вт/м
3
.
r
Потери активной мощности в объеме изоляции между обкладками
конденсатора составляют
rr
22
P dP p dV rl dr l
∫∫ ∫ ∫
VV r r
78,8 10 ln 78,8 10 120 10 ln 28,4 10
где 2dV rl dr
333 3
l
– элемент объема слоя толщиной dr и длиной l ,
0
r
2
r
1
39,4 10
11
3
278,8
2
r
65 10
25 10
dr
r
3
3
Вт,
находящийся на расстоянии r от оси конденсатора.
106
1.2.6. Интегральная форма обобщенного закона Ома
E
E
для квазилинейных проводников
Проводники, у которых размеры поперечного сечения значительно
меньше их длины, называют квазилинейными. Для таких проводников
векторы
В таком случае обобщенный закон Ома в дифференциальной фор-
ме можно представить в виде
и правой части этого уравнения по некоторому пути l от точки 1
к точке 2 приводит к следующему выражению:
Первое слагаемое правой части этого выражения равно напряжению (разности потенциалов) между точками 1 и 2:
Второе слагаемое правой части есть ЭДС на участке 1 и 2:
dl
,
,
направлены вдоль их осей.
EE
22 2
dl E dl E dl
q
2
стор 12
1
q
12 1 2
dl E∫.
∫∫ ∫
11 1
2
Edl U∫.
1
. Интегрирование левой
сторq
.
стор
Левая часть выражения, с учетом того что плотность тока есть от-
I
ношение тока к сечению квазилинейного проводника
, приводит-
S
ся к виду
22
dl I IR
∫∫
11
dl
12
S
.
Интегральная форма обобщенного закона Ома принимает окончательный вид
IR U E
12 12 12
107
,
которому можно сопоставить электрическую схему замещения цепи
R
E
R
E
с сосредоточенными параметрами (рис. 1.59, а).
I
12
12
21
I
12
12
21
U
12
а б
Рис. 1.59
U
12
Ток в проводнике направлен от точки 1 к точке 2 и равен
UE
12 12
I
.
R
12
Если схема замещения представляет собой активный приемник
энергии с противоЭДС (рис. 1.59, б), то ток в проводнике равен
UE
12 12
I
R
.
12
1.2.7. Законы Кирхгофа для квазилинейных проводников
Законы Кирхгофа для квазилинейных проводников выражают
свойства стационарного электрического поля применительно к электрическим цепям.
Первый закон Кирхгофа является частным случаем принципа непрерывности тока проводимости в условиях, когда замкнутая поверхность охватывает узел электрической цепи (рис. 1.60, а), к которому
подтекает ток
IS :
333
∫∫ ∫ ∫
SS S S
IS и из которого вытекают токи
111
dS dS dS dS I I I
123123
12 3
IS ,
222
0
.
Это значит, что заряд, входящий в любой объем, равен заряду, выходящему из него за тот же промежуток времени.
108
E
E
S
1
1
S
2
S
2
а б
S
3
3
Рис. 1.60
I
I
2
1
I
3
Для узла (рис. 1.60, а) можно сопоставить схему цепи, изображенную на рис. 1.60, б, с учтенными направлениями токов:
n
IIII
∑
k
123
1
k
где
I – ток k-го проводника, присоединенного к рассматриваемому
k
0
,
узлу.
Второй закон Кирхгофа выражает уравнение движения заряда по
замкнутому контуру 0
Edl
q
∫
, отражающее принцип потенциально-
сти, согласно которому для замкнутого контура при наличии в контуре
стороннего поля
dl E dl E dl E dl
∫∫ ∫ ∫
стор сторq
.
Если замкнутый контур состоит из
(векторы
, dl,
направлены вдоль их осей), то для любого контура
n квазилинейных проводников
выполняются равенства
dl I R
∫
∑
k
n
1
kk
;
стор
∫
n
dl E
∑
1
k
.
k
В общем случае закон Кирхгофа записывается в виде алгебраического уравнения, в котором знаки левой и правой части уравнения связаны с направлениями токов, ЭДС и направлениями обхода контуров:
109
nn
E
R
E
E
R34R23R
IR E
∑∑
kk
IR– слагаемые падений напряжений на сопротивлениях замкну-
где
kk
того контура;
– слагаемые ЭДС этого контура.
k
kk k
11
,
Для интерпретации второго закона Кирхгофа выберем в проводящей среде замкнутый контур, состоящий из нескольких квазилинейных проводников и сторонних источников (рис. 1.61,
а). При обходе
контура по часовой стрелке запишем для него уравнение по второму
закону Кирхгофа:
23 41 2 3
12 4
dl dl dl dl E dl E dl
∫∫∫∫ ∫ ∫
12 34 1 2
3
стор1 стор2
,
которое после перехода к сосредоточенным параметрам может быть
представлено в виде алгебраического уравнения
IR IR IR IR E E.
1 12 2 23 3 34 4 41 12 23
E
dl
dl
2
1
2
3
3
стор2
I
2
2
I
1
12
23
3
I
3
E
стор1
1
dl
4
а б
dl
12
4
I
4
14
41
Рис. 1.61
Алгебраическому уравнению может быть сопоставлена электрическая схема замещения цепи с сосредоточенными параметрами
(рис. 1.61,
б).
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]