Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Связь между работой сил электрического поля и напряжением
E
E
E
E
E
E
E
E
()Aq qU.
12 1 2 12
Сравнивая выражения для работы, связь между напряжением и
напряженностью в однородном электрическом поле
12 0 1 2 0
()UEddEl.
Если в качестве нулевого уровня потенциальной энергии (потенциала) принять отрицательно заряженную плоскость (рис. 1.18), то потенциал любой точки однородного поля
d
.
0
Электрические потенциалы точек 1 и 2 (рис. 1.18):
101
Пример 1.16. Точечный заряд
ное электрическое поле
0
d ,
4
610E= В/м, создаваемое в воздушной сре-
d .
102
9
410q=
Кл помещен в однород-
де. Определить напряженность электрического поля в точках 1 и 2, лежащих на линии, проходящей через заряд (рис. 1.19).
1q
1
Решение. Модули векторов
ные полем заряда
q в точках 1 и 2
q
0, 03м 0, 02 м
Рис. 1.19
1q
и
2q
2
0
напряженностей, создан-
2q
9
q
11410
E
q
1
4
1
2122
48,8510 1,00,03
r
0
r
1
31
410
4
В/м,
9
E
E
q
11410
E
q
2
4
где =1,0
– относительная диэлектрическая проницаемость воздуха.
r
Направления векторов
1
2122
48,8510 1,00,02
r
r
0
2
1q
и
напряженностей, созданных за-
2q
910
4
В/м,
рядом, изображены на рис. 1.19. Электрические напряженности, созданные в точках 1 и 2 однородным электрическим полем и зарядом,
определяются геометрической суммой векторов напряженностей, созданных в этих точках:
444
E=E E =В/м,
10 1
E=E E =В/м.
20 2
610 410 210
q
44 4
6 10 9 10 15 10
q
Пример 1.17. Заряд переместился между двумя точками с разно-
3
стью потенциалов, равной напряжению
однородного электрического поля совершена работа
210U В, при этом силами
8
610A
Дж.
Определить величину перемещенного точечного заряда.
Решение. Силами однородного электрического поля совершена
положительная работа. Связь между работой, равной изменению потенциальной энергии заряда и напряжением, определяется выражением
AqU ,
откуда величина точечного заряда
8
610
A
q
210
3
U
310
11
Кл.
Пример 1.18. Однородное электрическое поле создано разно-
именно зараженными плоскостями, расстояние между которыми
0,012
d м. Напряжение между плоскостями 360U В. Определить
потенциалы точек 1 и 2 (рис. 1.20), находящихся на расстоянии
0,008 м и 0,003 м от плоскости с отрицательным зарядом, и разность
потенциалов между точками.
32
E
1
0
2
d
1
d
2
U
Рис. 1.20
Решение. Поле однородное, электрическая напряженность поля
равна
360
U
Ed В/м.
0
0,012
Примем плоскость с отрицательным зарядом за точку с нулевым
потенциалом, тогда потенциалы точек 1 и 2 (рис. 1.20) будут:
3
101
202
30 10 0,008 240=E d =В,
3
30 10 0,003 90=E d =В.
Разность потенциалов двух точек электрического поля характеризует напряжение между этими точками:
30 10
3
12 1 2
240 90 150U В.
1.1.10. Теорема Гаусса (интегральная форма)
и ее применение к расчету электростатических полей
Применение теоремы Гаусса в интегральной форме записи позволяет определить поток вектора напряженности электростатического
(электрического) поля, создаваемого системой зарядов.
Для однородной и изотропной среды поток вектора напряженности
электрического поля сквозь замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, определяется отношением алгебраической суммы зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической
проницаемости среды
()
:
0
ar
33
1
E
0
n
,
Â
i
r
=
i
1
dS q
=
Ú
S
где dS
– площадь элемента поверхности.
Единица потока вектора напряженности электрического поля –
ВмES .
Теорема Гаусса в интегральной форме позволяет сравнительно
просто рассчитывать электрические поля при симметрично распределенных зарядах.
Понятие о плотности распределенных зарядов:
dq
– линейная плотность заряда
. В случае равномерного рас-
dl
пределения заряда по длине
q
, [
] = Кл/м . Линейная плотность
l
характеризует заряд, приходящийся на единицу длины l заряженного
тела;
– поверхностная плотность заряда
распределения зарядов по поверхности
dq
. В случае равномерного
=dS
q
=S
, [] = 2Кл/м . Поверх-
ностная плотность
характеризует заряд q , приходящийся на едини-
цу площади поверхности S заряженного тела;
dq
– объемная плотность заряда
=
. В случае равномерного рас-
dV
пределения зарядов по объему
q
=
, [ ] = Кл/м
3
. Объемная плот-
V
ность
характеризует заряд q , приходящийся на единицу объема
V
заряженного тела.
Применение теоремы Гаусса при симметрично распределенных
зарядах
Напряженность электрического поля равномерно заряженной
бесконечной оси. Под заряженной осью понимают тонкий бесконечной
длины проводник (рис. 1.21).
34
E
E
q
E
l
r
dS
2r
0
Рис. 1.21
Определим модуль вектора
в точке, удаленной на расстояние r
от проводника. Проведем через данную точку воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом r и длиной l , совпадающую с осью
проводника.
В силу аксиальной симметрии распределения заряда все точки,
расположенные на равном расстоянии от оси, эквивалентны и напряженность поля в них одинакова () const
Er . В каждой точке боковой
поверхности цилиндра векторы
Угол между ними равен нулю
и dS совпадают по направлению.
o
(cos 0 1) . По теореме Гаусса поток
вектора напряженности электрического поля
EdS E dS E rl
===
ÚÚ
SS
2
q
0
,
r
где
2 rl – площадь боковой поверхности воображаемого цилиндра ра-
диусом r (рис. 1.21).
Отсюда напряженность в поле равномерно заряженной оси
E
22
q
=
где
– линейная плотность заряда.
q
lr r
00
rr
,
11
l
35
Потенциал в поле равномерно заряженной оси
E
R
R
R
E
11
dr dr r C C
∫∫
22 2
rr
00 0
rr r
ln ln
,
где C – постоянная интегрирования.
Постоянная интегрирования C определяется в каждом конкретном
случае. Например, если принять, что потенциал некоторой точки, удаленной на расстояние rR
от оси, равен нулю (0) , то постоянная
интегрирования
0
ln
.
r
CR
2
Следовательно, потенциал в поле равномерно заряженной оси
()
r
0
ln ln ln
22
00
Rr
rr
.
r
На поверхности проводника
()rr
2
потенциал
0
ln
.
r
00
r
Разность потенциалов электрического поля между двумя точками,
лежащими на расстоянии
rr
22
12
∫∫
rr
11
1
Edr
и
от оси проводника,
21
dr
22
rr
001
rr
ln
r
2
.
r
rr
Напряженность электрического поля равномерно заряженного
бесконечной длины цилиндра (рис. 1.22). Пусть бесконечно длинный
r
цилиндр радиусом
стью заряда
равномерно заряжен с поверхностной плотно-
0
qS . Определим модуль вектора
в точке, удален-
ной от оси цилиндра на расстояние r (рис. 1.22).
36
E
E
E
q
l
r
dS
r
0
Рис. 1.22
Проведем через эту точку воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом r и длиной
l . Вследствие симметрии вектор
направлен перпендикулярно к боковой поверхности воображаемого
цилиндра и должен быть одинаковым во всех точках на его поверхно-
сти. В каждой точке боковой поверхности цилиндра векторы
совпадают по направлению и угол между ними равен нулю
и dS
о
(cos0 1)= ,
следовательно, согласно теореме Гаусса
где
EdS E dS E rl
– площадь боковой поверхности воображаемого цилиндра
2 rl
===
ÚÚ
SS
2
q
0
,
r
радиусом r (рис. 1.22).
Заряд q внутри этой поверхности равномерно распределен на цилиндре радиусом
r
и равен
0
2qS rl
00
. Отсюда напряженность
в поле равномерно заряженного бесконечной длины цилиндра равна
r
q
1
E
2
lr r
00
rr
37
0
.
Напряженность поля имеет наибольшее значение на поверхности
E
R
R
цилиндра при
rr . Внутри цилиндра при 0rr поля нет, 0E .
0
Потенциал в поле равномерно заряженного цилиндра
rr
dr
dr r C
∫∫
00
r
00
rr
ln
.
Полагая, что на некотором удалении
точки 0
, для постоянной интегрирования получим
CR
Потенциал для случая
rr :
0
rr
00
(ln ln ) ln
00
Rr
rr
r
0
0
r
от оси цилиндра потенциал
ln
.
.
r
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии
r и 2r при
1
rr и
21
12
rr от оси цилиндра, равна
10
rr
22
Edr
∫∫
rr
11
rr
dr
00
rr
001
rr
ln
r
2
.
В случае равномерного распределения зарядов по объему бесконечно длинного цилиндра радиусом
r с объемной плотностью заряда
0
(рис. 1.22) согласно теореме Гаусса получим
===
EdS E dS E rl
ÚÚ
SS
2
q
0
,
r
где
– площадь боковой поверхности воображаемого цилиндра
2 rl
(рис. 1.22).
r
Заряд q равномерно распределен по объему цилиндра радиусом
и равен
qV rl
2
0
, где
Vrl
2
– объем цилиндра радиусом
0
38
0
r
.
0
При
E
E
E
rr
(рис. 1.22) заряд
0
qrl
2I
ри объема бесконечно длинного цилиндра
I
1
E
1
22
qr
lr
rr
00
, а напряженность поля внут-
.
Потенциал поля внутри заряженного по объему цилиндра (
2
0C .
, а напряженность поля за
Приняв
rr
При
11 1
0 при 0r , получим
1
(рис. 1.22) заряд
0
dr dr C
∫∫
rr
24
00
rr
1
qrl
2
0
пределами объема бесконечно длинного цилиндра
2
q
E
1
2
22
lr r
00
rr
r
0
.
Потенциал поля за пределами объема цилиндра
22
rr
dr
22 2
При
rr выполняется равенство потенциалов
0
dr r C
∫∫
42
00
22
22
rr
00
=ln
00
rr
r
00
rr
rC
02
ln
:
,
12
откуда постоянная интегрирования
rr )
0
.
.
2
r
0
=(2ln1)
Cr
20
4
0
r
Напряженность электрического поля равномерно заряженной
сферы. Определим модуль вектора
39
.
напряженности электрического
поля в точке, удаленной на расстояние
E
E
щей радиус
r и равномерное распределение зарядов по ее поверхно-
0
сти с поверхностной плотностью
rr
от центра сферы, имею-
0
qS (рис. 1.23).
q
r
r
0
Рис. 1.23
dS
Проведем через данную точку воображаемую сферу радиусом r .
Система имеет сферическую симметрию, и в каждой точке поверх-
ности воображаемой сферы векторы
и dS совпадают по направ-
лению.
При
rr в любой точке внутри объема заряженной сферы напря-
0
женность
При
rr согласно теореме Гаусса
, т. е. поле отсутствует, так как заряд 0q .
0E
0
EdS E dS E r
ÚÚ
SS
== =
4
q
2
0
,
r
2
4 r – площадь поверхности воображаемой сферы радиусом r
где
2
(рис. 1.23);
заряженной сферы радиусом
4qS r – заряд на поверхности равномерно
0
r ;
0
2
4Sr – площадь поверхности
0
сферы.
Отсюда для напряженности электрического поля получим
2
q
E
1
4
22
rr
rr
00
40
r
0
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]