Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
Замечание. Иной способ решения данной задачи основан на приме-
P
нении принципа суперпозиции. Согласно данному принципу напряженность
электрического поля в диэлектрике
EE E,
0
14q
Er
где
0
мая проводящим шаром, имеющим заряд
ность электрического поля в вакууме, создаваемая связанным зарядом
Полагая, что поле в диэлектрике в
EE получим
0 r
– напряженность электрического поля в вакууме, создавае-
2
0
q
1
Er
q ;
P
раз меньше, чем в вакууме, т. е.
r
Eq
0 связ
r
q
11
22
44
rr
00
,
связ
– напряжен-
2
4
0
q .
связ
откуда
qq
r
связ
или
qq
связ
E
0
Пример 1.24. Точечный заряд
тре шара радиусом
электрической проницаемостью
0,02r м, выполненного из диэлектрика с ди-
0
1
r
4,8 10
r
. Шар помещен в другой
1
r
9
Кл.
0,5 10q Кл расположен в цен-
9
4,0
безграничный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью
2,5
(рис. 1.37). Определить поверхностную плотность связан-
2
r
ных зарядов
на границе раздела двух диэлектриков.
связ
Решение. Для определения поверхностной плотности связанных
зарядов воспользуемся граничным условием для векторов поляризации
на границе раздела двух диэлектриков:
PP,
связ 12nn
где
P и 2nP – нормальные составляющие векторов
1n
ции диэлектриков на границе раздела двух сред с проницаемостями
и
.
2r
61
P и 2P поляриза-
1
1r
Напряженность электрического поля и поляризованность первого
диэлектрика с проницаемостью
()
Err
10
() ( 1) () ( 1)
Pr E r
10 01 10 01
rr
на границе раздела
1r
1
q
,
01
r
2
0
4
1
4
01 1
rr
rr
()rr
0
qq
22
00
1
r
4
:
Напряженность электрического поля и поляризованность второго
диэлектрика с проницаемостью
()
Err
20
() ( 1) () ( 1)
Pr E r
20 0 2 20 0 2
rr
на границе раздела (
2r
1
q
,
4
2
r
02
0
1
qq
4
rr
02 2
rr
00
rr ):
0
2
22
4
r
Поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела
диэлектриков
⎛⎞
11
() ()
Pr Pr
связ 10 20
q
⎜⎟
2
4
r
rr
21
⎝⎠
0
1
.
1
.
9
⎛⎞
⎜⎟
2
2,5 4, 0
⎝⎠
15 10
9
Кл/м2.
0,5 10 1 1
40,02
1.1.14. Электрическая емкость проводников
Электрической емкостью (электроемкостью) любого проводника
называется его способность накапливать и удерживать на своей поверхности заряд.
Сообщенный проводнику заряд равномерно распределяется по его
поверхности, которая является поверхностью равного потенциала. При
этом потенциал точек, бесконечно удаленных от данного проводника,
принимается равным нулю.
62
Электрическая емкость уединенного проводника есть величина,
E
характеризующая связь потенциала
и заряда q , численно равная
отношению заряда проводника к его потенциалу:
q
С .
Единица электрической емкости – фарада []=С Ф.
Для расчета электрической емкости уединенного проводника необходимо сообщить ему произвольный заряд и найти его потенциал.
Если, например, уединенному проводнику в форме сферы радиу-
r , находящемуся в однородной среде с диэлектрической прони-
сом
0
цаемостью
(рис. 1.38), сообщить произвольный заряд q , то по-
r
тенциал проводника на основании его связи с напряженностью
электрического поля будет
r
()
Erdr dr
∫∫
rr
00
111
qqq
444
2
r
rrr
0000
.
rr
r
0
q
r
0
r
Рис. 1.38
r
Исходя из определения электрической емкости уединенного проводника для электрической емкости уединенной сферы, получим
q
С r
4
.
00
r
Из соотношения видно, что электроемкость зависит как от геометрии проводника, так и от диэлектрической проницаемости среды,
в которую погружен проводник.
63
1.1.15. Электрическая емкость конденсатора
x
x
x
x
Система из двух изолированных друг от друга проводников с равными по величине и противоположными по знаку зарядами называется
конденсатором, а его проводники – обкладками.
Электроемкость конденсатора определяется геометрией проводников и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между его обкладками.
Величиной емкости конденсатора по определению будет отношение величины заряда на
(напряжению) между ними:
одной из обкладок к разности потенциалов
СU
qq
12 12
.
Для расчета емкости конденсатора по заряду q и разности потенциалов
12 12
U необходимо предварительно рассчитать напря-
женность электрического поля между его обкладками.
По форме исполнения различают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.
Емкость плоского конденсатора. Плоским называется конденса-
тор, если его обкладками являются две плоскопараллельные проводящие пластины (рис. 1.39, а).
y
q
12
q
r
d
0
а б
Рис. 1.39
y
q q
1r
12
d
1
0
2r
d
2
2
1
Линии напряженности электрического поля перпендикулярны
плоскостям обкладок конденсатора. Разность потенциалов между
64
обкладками определим через их связь с напряженностью электриче-
x
E
ского поля:
xd
где
E
12
– напряженность электрического поля; qS – поверх-
0 r
∫
0
ностная плотность зарядов;
Edx
d – расстояние между обкладками.
d
000
rrr
dqd
0
S
,
Отсюда заряд
S
0
q
()
12
r
,
d
и согласно определению для емкости плоского однослойного конденсатора получим
S
C
q
12
0
d
r
.
В плоском двухслойном конденсаторе (рис. 1.39, б) между его обкладками имеется два слоя диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями
и 2r . Плоскость раздела диэлектриков параллельна
1r
плоскости обкладок, и линии напряженности поля в обоих диэлектриках перпендикулярны плоскости раздела.
Разность потенциалов между обкладками двухслойного конденсатора
xx x x
12 1 2
12 1 2
dx E dx dx dx
∫∫ ∫ ∫
00
xx
11
01 02
rr
где
E
1
xxx
121
rr rr rr
01 02 01 0 2 0 1 2
,
01r
вого и второго слоя;
()
E
2
02r
– напряженности электрического поля пер-
qS – поверхностная плотность зарядов;
qd qd d d
12 12
SSS
65
⎛⎞
q
⎜⎟
,
⎝⎠
S – площадь поверхности пластины;
E
диэлектрика;
dxx
221
– толщина второго слоя диэлектрика.
dx – толщина первого слоя
11
Отсюда заряд
S
0
()
q
12
dd
12
rr
12
,
и величина емкости плоского двухслойного конденсатора
S
C
q
12
0
dd
12
12rr
.
Замечание. Емкость плоского двухслойного конденсатора можно
рассматривать как емкость двух последовательно включенных конденсаторов
CSd и
1011r
CSd . Эквивалентная емкость двух последова-
2022r
тельно включенных конденсаторов
S
CC
12
C
CC
12
0
dd
12
12rr
.
При расчете напряженности электрического поля исходят из того,
что на границе раздела диэлектриков
DE . Следовательно,
и
2022nr
011 0 22rr
DD
12nn
E .
, где
DE
1011nr
Напряжение на обкладках двухслойного конденсатора
xx
12
UEdxE dxEx Ex x Ed Ed
12 112211122
∫∫
0
x
1
()
.
Из последнего уравнения и условия на границе раздела диэлектриков следует, что
U
2
E
1
r
dd
21 12
rr
,
66
E
2
U
1
r
dd
21 1 2
rr
.
Если напряженность электрического поля одного из слоев извест-
E
E
на, то из граничных условий следует:
E
1
22
1rr
,
E
11
2
.
2rr
Емкость цилиндрического конденсатора. Обкладками цилиндри-
ческого конденсатора выступают две соосные цилиндрические прово-
l
q
1r
2r
2
r , внешнего
1
r
1
r
3
дящие поверхности с радиусами внутреннего цилиндра
цилиндра
r и длиной цилиндров l (рис. 1.40, а).
2
l
r
1
q
1
r
2
а б
r
2
Рис. 1.40
1
r
2
Напряженность электрического поля имеет радиальную симметрию и меняется на пути между обкладками. Согласно теореме Гаусса
запишем:
EdS =E r rl
Ú
S
()2
=
q
0
,
r
где 2 rl – площадь цилиндра радиусом r .
Отсюда напряженность электрического поля в слое диэлектрика
на расстоянии
rrr от оси конденсатора
12
1
()
Errl
2
67
0
q
.
r
r
Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора определим через их связь с напряженностью электрического
поля:
rr
22
12
Erdr
() ln
∫∫
rr
11
qdr q
lr lr
22
001
rr
r
2
,
откуда заряд
()2
12 0
q
.
ln
r
r
l
r
2
1
Емкость однослойного цилиндрического конденсатора
2
l
C
q
12
0
r
ln
r
.
2
r
1
В случае двухслойного конденсатора (рис. 1.40, б) между цилиндрическими обкладками имеется два слоя диэлектрика с диэлектрическими проницаемостями
является цилиндрическая поверхность радиусом
Напряженность электрического поля в первом
1r
и
. Границей раздела диэлектриков
2r
r .
2
и втором 2r
1r
слое диэлектрика будет
()
Errl
1
2
01
r
q
,
()
Errl
2
2
1
02
r
q
.
1
Разность потенциалов между обкладками конденсатора составит
rr
22
() ()
12 1 2
E r dr E r dr
∫∫ ∫ ∫
rr r r
12 1 2
rr
33
qdr qdr
22
lr lr
01 0 2
rr
qqq
22 2
01 1 0 2 2 0 1 1 2 2
rr
22
ln ln ln ln
lr lr l r r
rr rr
rr
33
68
⎛⎞
11
⎜⎟
⎝⎠
.
Отсюда емкость двухслойного цилиндрического конденсатора
2
l
C
q
12
0
r
11
2
ln ln
rr
rr
11 2 2
.
r
3
Емкость сферического конденсатора. Обкладками сферического
конденсатора выступают две полые концентрические проводящие сферы, разделенные одним (рис. 1.41,
а) или двумя (рис. 1.41, б) слоями
диэлектриков.
r
1
q
q
r
1
1
r
2
r
2
1
r
2
1r
2r
2
r
3
а б
Рис. 1.41
Система обкладок таких конденсаторов обладает сферической
симметрией. Напряженность электрического поля сферического одно-
()
а)
4
1
q
.
2
0
r
слойного конденсатора (рис. 1.41,
Err
Разность потенциалов между его обкладками
rr
22
()
12
Erdr
∫∫
rr
11
qdr q
44
0012
2
r
rr
⎛⎞
11
⎜⎟
rr
⎝⎠
,
69
откуда получим заряд q и емкость C однослойного сферического
конденсатора (рис. 1.41, а):
()4
12 0
q
11
rr
12
r
,
C
q
12 21
4
0
r
11
rr
12
rr
12
4
0
r
.
rr
Для двухслойного сферического конденсатора (рис. 1.41, б) границей раздела диэлектриков является сферическая поверхность ради-
r . Напряженность электрического поля в первой 1r и второй
усом
среде диэлектрика соответственно равна:
2
2r
1
Err
()
1
4
01
q
Err
,
()
2
2
r
4
1
r
02
q
.
2
Разность потенциалов между его проводящими обкладками
r
2
12 1 2
E r dr E r dr
() ()
∫∫
rr
12
r
3
44
⎛⎞
11 11
qq
⎜⎟
rr r r
⎝⎠
01 1 2 02 2 3
rr
⎛⎞
⎜⎟
,
⎝⎠
величина заряда
q
11 1 1 1 1
rr
12 0
⎛⎞
⎜⎟
rr r r
⎝⎠
11 2 2 2 3
4
.
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
Отсюда получим емкость двухслойного сферического конденсатора (рис. 1.41,
б)
C
q
12
4
0
⎛⎞
11 1 1 1 1
⎜⎟
rr r r
⎝⎠
rr
11 2 2 2 3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Пример 1.25. Пространство между обкладками плоского одно-
слойного конденсатора заполнено диэлектриком с проницаемостью
3, 0
(рис. 1.42). Площадь каждой пластины обкладки
r
и расстояние между ними
3
210d м. Постоянное напряжение между
70
м2
0,05S
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]