Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
обкладками 800U В. Определить значения напряженности электри-
ческого поля, электрического смещения, поляризации, величины свободного, связанного зарядов и электрическую емкость конденсатора.
U
U
d
r
S
1r
2r
d
d
1
2
S
Рис. 1.42 Рис. 1.43
Решение. Поле между пластинами является однородным и направ-
ленным перпендикулярно плоскости пластин. В однородном поле
xd
UEdxEd
∫,
0
откуда напряженность электрического поля в диэлектрике (рис. 1.42)
800
U
В/м.
E
d
210
3
Значение электрического смещения в диэлектрике
12 5 7
DE
Кл/м
0
8,85 10 3,0 4 10 106, 2 10
r
Поляризованность диэлектрика
12 5 7
( 1) 8,85 10 (3,0 1)4 10 70,8 10
PE
Кл/м
0
r
Поверхностная плотность свободного заряда и свободный заряд,
равномерно распределенный по пластине,
Кл/м2 ,
своб
106,2 10D
410
7
5
2
.
2
.
78
Кл.
своб
106,2 10 0,05 53,1 10qDS
71
Поверхностная плотность связанного заряда и связанный заряд, сосредоточенный на поверхности диэлектрика,
7
Кл/м2;
связ
Кл.
связ
70,8 10 0,05 35,4 10qPS
70,8 10P
78
Емкость плоского однослойного конденсатора (рис. 1.42)
12
S
0
С
Ф.
8,85 10 3, 0 0, 05
r
d
3
210
6,64 10
10
Пример 1.26. Между обкладками плоского конденсатора поме-
щено два слоя диэлектриков (рис. 1.43). Первый слой толщиной
0,5 10d м и диэлектрической проницаемостью
1
слой толщиной
2
r
3
0,8 10d м и диэлектрической проницаемостью
2
2,0
. Требуется определить напряженность электрического поля
3
5, 0
, второй
1
r
в диэлектриках, поверхностную плотность свободных и связанных зарядов на границе раздела диэлектриков и емкость двухслойного конденсатора, если площадь поверхности пластины каждой обкладки
0, 2S м2, а разность потенциалов между обкладками 500U В.
Решение. Поле направлено перпендикулярно плоскости пластин
(рис. 1.43). Связывая между собой условия на границе раздела диэлектриков
найдем напряженность электрического поля в диэлектриках:
EE и напряжение на обкладках
11 2 2rr
UEd Ed ,
11 2 2
U
2
E
1
r
dd
21 12
rr
r
2
2,0 0,5 10 5, 0 0,8 10
EE
5, 0 2 10
11
r
2
500 2, 0
33
5
510
5
В/м.
210
5
2,0
В/м,
Свободный заряд равномерно распределен по поверхности пластин
из проводящего материала и его поверхностная плотность составит
12 5 6
DD E
своб 12011
8,85 10 5,0 2 10 8,85 10
r
Кл/м2.
72
Для расчета поверхностной плотности связанных зарядов на границе раздела диэлектриков предварительно определим нормальную
составляющую их поляризованности:
12 5 7
PE
101 1
PE
202 2
( 1) 8,85 10 (5,0 1)2 10 70,8 10
Кл/м
nr
( 1) 8,85 10 (2, 0 1)5 10 44,3 10
Кл/м2.
nr
12 5 7
2
.
Поверхностная плотность связанных зарядов
77 7
Кл/м2.
PP
связ 12
nn
70,8 10 44,3 10 26,5 10
На границе раздела диэлектриков свободный заряд отсутствует.
Емкость плоского двухслойного конденсатора
12
S
C
0
dd
12
rr
12
8,85 10 0, 2
0,5 10 0, 8 10
5, 0 2, 0
33
3,54 10
9
Ф.
Пример 1.27. Пространство между центральной жилой и метал-
лической оболочкой коаксиального кабеля (рис. 1.44) длиной 20l м
заполнено изоляционным материалом из резины
центральной жилы
30 10r м. Определить емкость и разность потенциалов между
2
3
11 10r м, внутренний радиус оболочки
1
3
центральной жилой и оболочкой коаксиального кабеля, если напряженность электрического поля на расстоянии
4
составляет
510E В/м.
(2,5)
. Радиус его
r
20 10r м от его оси
3
Решение. Расчет емкости кабеля выполним на основании выраже-
ния для емкости однослойного цилиндрического конденсатора, обкладками которого являются центральная жила и оболочка кабеля:
12
ln
30 10
11 10
73
9
3
3
2,77 10
Ф.
2
C
0
ln
l
28,8510 2,520
r
r
2
r
1
U
r
1
r
l
r
2
Рис. 1.44
Разность потенциалов равна напряжению между центральной жилой и оболочкой:
rr
UErdr
где
()
Errl
2
на расстоянии
22
12
() ln 510 2010 ln 1000
Err
1
q
0
r
rrr от оси кабеля.
12
() ln
∫∫
rr
11
r
2
r
1
– напряженность электрического поля в изоляции
qdr q
22
43
lr lr
rr
001
3
30 10
11 10
3
r
2
В,
Пример 1.28. Цилиндрический конденсатор выполнен из двух
цилиндров радиусами
янное напряжение 450U В (рис. 1.45). Определить напряженность
электрического поля на поверхностях обоих цилиндров.
0,018r м и
1
0,024r м и включен под посто-
2
Решение. Площади поверхностей цилиндрических обкладок раз-
личны, а электрическое поле неоднородно, поэтому напряженность
электрических полей на обкладках, имеющих одинаковый заряд q ,
будет различной:
1
Erl
1
2
q
,
r
01
Erl
2
где l – длина цилиндрических обкладок.
74
2
1
q
,
r
02
l
r
1
r
r
2
U
Рис. 1.45
Величину заряда найдем через разность потенциалов, равную
напряжению на обкладках конденсатора:
rr
22
( ) ln ln
∫∫
rr
11
22 2
qq q
1
rl l l r
rr r
00 01
r
2
r
1
r
2
.
Отсюда величина заряда
2ln
lU
0
q
r
,
r
2
r
1
и напряженность электрических полей на поверхностях обоих цилиндров конденсатора:
U
В/м,
E
1
E
2
r
2
r
ln
1
r
1
U
В/м.
r
2
r
ln
2
r
1
450
0,018ln
700
0,024ln
0,024
0,018
0,024
0,018
87 10
65 10
3
3
75
1.1.16. Энергия и силы в электрическом поле
Любая система заряженных тел обладает энергией. Энергия электрического поля системы заряженных тел равна работе, затраченной во
время накопления заряда этой системы, что следует из закона сохранения энергии.
Энергия взаимодействия точечных заряженных тел. Энергия вза-
имодействия двух точечных зарядов
нии r друг от друга, представляет собой работу сил поля при перемещении одного из зарядов в бесконечность в поле другого заряда и
характеризуется потенциальной энергией системы:
qq
11
12
0
1 21 2 12 1 21 2 12
r
– потенциал электрического поля, создаваемого за-
где
рядом
Wqqqq
42
q
1
12
q
в точке нахождения заряда
1
1
4
r
0
электрического поля, создаваемого зарядом
заряда
q .
1
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна сумме
энергий попарно взаимодействующих между собой зарядов:
q и 2q , находящихся на расстоя-
1
()
q
, а
2
1
21
4
q в точке нахождения
2
,
q
2
– потенциал
r
0
Wq
где
– потенциал поля, создаваемого (1)n зарядами в точке, в ко-
i
торой находится заряд
nn
11 1
∑∑
24 2
ij i
q .
i
0
qq
ij
r
ij
1
ii
,
Единица энергии электрического поля – джоуль []=W Дж.
Выражение энергии через поверхностную и объемную плотность
заряда. Для зарядов, распределенных по поверхности проводящих за-
ряженных тел с поверхностной плотностью
, полная энергия систе-
мы будет равна
76
1
E
WdS∫,
2
S
где
– потенциал поля в точке нахождения элемента заряда dS .
При интегрировании по поверхности проводника его потенциал
остается величиной постоянной, const .
Если заряд распределен в диэлектрике с объемной плотностью
,
то полная энергия системы
1
WdV∫,
2
V
где – потенциал поля в точке нахождения элемента заряда dV .
При вычислениях полной энергии границами поля являются бесконечно удаленные точки, в которых 0E
имеют постоянный потенциал (
, а поверхности проводников
const
).
Кроме того, всю энергию электрического поля можно вычислить,
проинтегрировав объемную плотность энергии (энергию в единице
объема) по всему объему поля:
2
E
r
WwdV dV
2
где
DE
w
0
22
r
0
– величина, равная объемной плотности энер-
гии электрического поля;
0
∫∫
VV
DE – связь вектора электрического
0
2
0 r
,
смещения с напряженностью электрического поля.
Единица объемной плотности энергии электрического поля –
[]=w
0
Дж/м3.
В случае уединенного заряженного проводника можно воспользоваться уравнением для энергии электрического поля, выраженной
через значения заряда q и потенциала :
1
Wq
,
222
22
Cq
C
Cq– емкость уединенного проводника.
где
77
Энергия электрического поля заряженного конденсатора. Для
E
X
конденсатора – системы из двух проводников полная энергия электрического поля
qU q CU
WC
22
,
22 2
U – напряжение (разность потенциалов) между провод-
где
12
никами (обкладками) конденсатора.
Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле между обкладками.
В случае плоского конденсатора (рис. 1.39, а), поскольку его ем-
S
0 r
кость
C
, энергия заряженного конденсатора
d
2
CU
WSd
22 2
22
SU E
00
rr
,
d
где
Ud – напряженность электрического поля между обкладками
конденсатора; Sd – величина, характеризующая объем V пространства
между обкладками.
Так как электрическое смещение поля
DE , то энергия заря-
0 r
да конденсатора
2
E
r
0
WSdSdSd
ED D
222
2
0
.
r
Механические силы в электрическом поле. Силы, действующие на
тела, находящиеся в электрическом поле, могут быть вычислены из
соотношений
W
где
F
X
constq
– обобщенная координата.
;
W
F
X
,
const
Таким образом, сила, действующая на одно из тел, находящихся
в электрическом поле, равна частной производной от энергии электрического поля этого тела по координате, которая изменяется этой силой.
78
Результаты вычисления по этим формулам всегда совпадают. Знак
«минус» берется при constq , знак «плюс» при const .
Пример 1.29. В вершинах прямоугольного треугольника со сто-
ронами катетов 0,1r м находятся равные по величине и противопо-
8
ложные по знаку заряды
ум. Найти потенциальную энергию взаимодействия этой системы
зарядов.
210q Кл (рис. 1.46), помещенные в ваку-
q
1
r
q
2
2 r
r
Рис. 1.46
q
3
Решение. Потенциальная энергия взаимодействия системы точеч-
ных зарядов равна сумме энергии попарно взаимодействующих между
собой зарядов. На рис. 1.46 представлены три пары взаимодействующих точечных зарядов, следовательно, энергия взаимодействия всей
системы зарядов с учетом их знаков будет
WW W W
12 13 23
qq
111
где
qq qq q q q – вследствие равенства зарядов по абсолют-
12 13 23
ной величине;
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
44
⎣⎦⎣⎦
00
95
9 10 2 4,65 10
22
qq q q
12
13 2 3
rrr
(2 10 ) 1
r
22
82
0,1
2
⎡⎤
⎢⎥
2
⎣⎦
2rr r – длина гипотенузы прямоугольного
треугольника.
2
q
Дж,
2
79
Пример 1.30. Две концентрические проводящие сферы радиусом
E
0, 2r м и
1
чине зарядами
делить энергию электрического поля, заключенную между этими сфе-
рами (рис. 1.47).
0, 25r м одинаково заряжены разноименными по вели-
2
7
r
r
1
r
Рис. 1.47
r
2
Решение. Энергию электрического поля можно определить, про-
интегрировав объемную плотность энергии по всему объему поля, сосредоточенного между проводящими сферами:
rr r
22 2
WwdV wrdr rdr
00
∫∫ ∫ ∫
Vr r r
11 1
(4 10 ) 1 1
88,8510 1,0
22
44
r
22
qq
88
0012
72
2
111
rrr
rr
r
1
⎛⎞
⎜⎟
12
0, 2 0,25
⎝⎠
2
E
r
0
28
⎛⎞
⎜⎟
2
qdr
r
0
⎝⎠
5
72 10
Дж,
2
r
2
0
где
w – объемная плотность энергии электрического поля;
0
E
4
на удалении r от их центра;
r
2
1
q
– напряженность электрического поля между сферами
2
r
r
0
2
4dV r dr
– элемент объема в форме
сферы.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]