Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
B
B
x
22
BdB d
zz
∫∫
11
wI wI
00
sin ( cos )
22
ll
wI
0
(cos cos )
2
l
12
,
2
1
где
cos
1
q
22
ar
0
,
cos
2
В случае бесконечной протяженности соленоидной катушки
(рис. 1.66):
o
0
;
1
2
B
z
o
180
. Для индукции поля получим
wI wI
00
(cos0 cos180 )
2
ll
la
22
la r
()
oo
.
0
lr
,
т. е. магнитная индукция поля во всех точках на оси соленоида одинакова и направлена вдоль его оси.
Пример 1.47. Магнитное поле создается бесконечно длинным
прямолинейным проводником с током
плоскости с проводником расположена прямоугольная рамка со сторонами
0,5a
нитный поток
м и
, если расстояние между прямолинейным проводни-
м. Определить пронизывающий рамку маг-
0,6b
ком и ближайшей к нему стороной рамки 0, 2
I
I
b
А (рис. 1.67, а). В одной
500I
l м.
dS bdx
0
l
a
а б
Рис. 1.67
121
dx
Решение. Магнитный поток , проходящий через поверхность
B
x
x
B
x
рамки площадью
Для точек внутри рамки, равноудаленных от оси проводника, магнитная индукция (рис. 1.67, б) будет
где
– расстояние от оси проводника с током до точки, в которой
определяется индукция ()
Полагая dS bdx , элементарный магнитный поток
Следовательно, магнитный поток, пронизывающий рамку,
S , определяется выражением
()
xdS d
∫∫
SS
Bx
()=
0
2
.
I
,
x .
I
dBxdS bdx
la
ddxx
∫∫
Sl
4 10 500 0, 6 0, 2 0,5
22 2
7
20,5
() =
Ib Ib Ib
00 0
xl
ln 2 10
0
2
.
la
ln ln
l
5
la
Вб.
Пример 1.48. Определить индукцию магнитного поля, создавае-
мого отрезком прямого провода длиной
удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии
от его середины (рис. 1.68). Сила тока, текущего по отрезку прямого
провода,
А.
30I
0, 4L м в точке A , равно-
0,15r
0
м
Решение. В соответствии с законом Био–Савара–Лапласа индук-
ция магнитного поля, создаваемая отрезком прямого провода, будет
равна
I
B
0
A
(cos cos )
r
4
0
122
12
.
A
2
I
r
L
0
L
1
2
Рис. 1.68
При симметричном расположении точки A относительно отрезка
прямого провода
cos
где
1
Пример 1.49. Определить радиус
cos cos , следовательно, индукция в точке A
12
II
00
B
A
7
410 30 0,4
20,15
LL
2
22 22
rL rL
00
44
cos
22
rr
1
00
4(0,15) (0, 4)
22
(см. рис. 1.68).
L
22
4
rL
0
0,32 10 Тл
r
кругового витка, если при
0
4
,
прохождении через него тока 28I А магнитная индукция в центре
витка составляет
1, 7 6 10B Тл (рис. 1.69).
4
Решение. Индукция в центре кругового витка с током определяет-
I
0
B
,
r
2
0
7
410 28
4
21,7610
0,1
м.
отсюда радиус кругового витка
I
0
r
0
2
B
123
B
B
B
B
A
B
B
B
r
0
I
0
Рис. 1.69
Пример 1.50. Определить магнитную индукцию в точке A , рав-
ноудаленной от бесконечно длинных прямолинейных проводников
с токами (рис. 1.70), если расстояние между проводниками
а протекающие в них токи равны по модулю
12
1000II А и проти-
воположны по направлению.
1
b
I
2
1
Рис. 1.70
b
2
r
0
I
2
20b
мм,
Решение. На рис. 1.70 изображены направления векторов
индукции магнитного поля в точке A , создаваемой токами
и
2
I . Оба вектора лежат в плоскости, перпендикулярной проводни-
и
2
кам. Направления векторов
и
1
связаны с направлениями токов,
2
1
I
1
текущих по прямолинейным проводникам, правилом правоходового
винта.
124
Результирующее магнитное поле в точке A по принципу суперпо-
B
B
B
B
B
B
зиции магнитных полей является векторной суммой:
BB.
12
Вследствие симметрии и равенства токов модули векторов
и
1
2
равны и определяются по формуле для магнитного поля прямого тока
(закон Био–Савара–Лапласа):
BB
12
00
22
2
II
11
rb
0
, где
r .
0
b
2
Согласно рис. 1.70 модуль результирующего вектора магнитной
индукции
7
20 10
3
Тл,
где
2
I
2 4 10 1000
001
BB
2cos 2 0,02
1
cos
bb
– из соотношения сторон треугольника со-
222
rb
0
22
1
bb
22
I
гласно с рис. 1.70.
Пример 1.51. Прямолинейный бесконечно длинный проводник
изогнут в виде прямого угла (рис. 1.71). Определить индукцию маг-
50r
нитного поля в точке A , отстоящей на расстояние
0
мм от про-
водника, если сила тока равна 850I А.
Решение. Полагаем, что магнитное поле создается двумя провод-
никами с токами, ограниченными с одного конца в точке изгиба, и бесконечно длинными у другого конца. Согласно правилу правоходового
винта векторы
совпадают по направлению и перпендикулярны плоскости рисунка
(рис. 1.71). По принципу суперпозиции результирующий вектор магнитной индукции
и
1
индукции в точке A от каждого проводника
2
BB
12A
.
125
A
I
2
1
r
0
r
0
1
0
1
180°
2
2
0
180
Рис. 1.71
На основании закона Био–Савара–Лапласа для прямолинейных
проводников с током в точке A имеем
⎛⎞
2
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
2
;
⎛⎞
2
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
,
,
где
где
II
01 0
B
112
o
0
cos 1
1
1
,
o
cos2 ;
45= ,
B
212
1
(cos cos ) 1
442
rr
00
o
1
2
II
01 0
(cos cos ) 1
442
rr
00
=135
;
2
2
cos2
,
180 , 2cos 1
2
o
Заменяя векторную сумму алгебраической, запишем результирующую индукцию в точке A :
7
⎛⎞ ⎛⎞
I
BBB
12
A
0
r
22 2
0
2 4 10 850 2
115,810
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
25010
3
3
Тл.
Пример 1.52. Определить напряженность магнитного поля в точ-
ке A , расположенной по центру оси соленоидной катушки с током
(рис. 1.72), если число витков
, ток катушки
60w
126
5I
А.
A
Z
I
200 ммl
2
1
40 ммd
0
I
100 ммa
Рис. 1.72
Решение. Напряженность магнитного поля в произвольной точке,
расположенной на оси соленоидной катушки конечных размеров,
определяется выражением
Hl
B
Z
0
Так как точка A расположена по центру и одинаково удалена относительно торцов катушки, то
wI wI a
H
Z
2
ll
60 5 0,1
0, 2
0,1
wI
Z
r
2cos
(cos cos )
2
cos cos , а напряженность поля
1
12
12
2
a
.
2
d
0
4
2
14,7 10
2
0,04
2
А/м,
4
где
cos
1
a
(рис. 1.72) и
2
d
2
0
a
cos cos 2cos .
12 1
4
127
1.3.3. Циркуляция вектора магнитной индукции.
B
B
Закон полного тока
Если в магнитном поле системы токов выбрать произвольный замкнутый контур (рис. 1.73), то выражение
, взятое по всему за-
dl
Ú
l
мкнутому контуру, называют циркуляцией вектора магнитной индукции по данному контуру.
n
Алгебраическая сумма токов
IIII
∑, пронизывающих
k
k
123
1
поверхность, ограниченную контуром (сцепленных с контуром), называют полным током.
Можно сказать, что циркуляция вектора магнитной индукции по
произвольному замкнутому контуру пропорциональна полному току,
пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром:
n
Â
0
rk
k
=
1
.
В вакууме
( =1,0)
r
=
dl I
Ú
l
коэффициентом пропорциональности между
циркуляцией вектора магнитной индукции и полным током является
7
магнитная постоянная
=4 10
Гн/м.
0
I
1
I
2
dl
I
3
Рис. 1.73
128
Замечание. При составлении уравнения знак произведения Bdl бе-
рется положительным, если направление
тока берется положительным, если направление линий индукции магнитного
поля данного тока, определенное по правилу правоходового винта, совпадает
с направлением обхода.
B совпадает с обходом контура. Знак
Количественная связь между циркуляцией вектора напряженности
магнитного поля H
по замкнутому контуру и током внутри контура
определяется законом полного тока:
n
Hdl I
=
Ú
l
k
Â
.
k
1
=
Уравнение представляет собой интегральную форму связи напряженности магнитного поля и тока в контурах.
Положительным считается ток, направление которого совпадает
с направлением обхода по конуру правилом правоходового винта.
В расчетах целесообразно произвольный контур совмещать с линией магнитного поля, в таком случае вектор H
всегда направлен по ка-
сательной к контуру.
Применение интегральной формы закона полного тока допустимо
только для отдельных случаев – случаев симметричного поля.
В отличие от закона Био–Савара–Лапласа закон полного тока позволяет в ряде случаев более просто установить зависимость между
напряженностью или индукцией магнитного поля и током.
Магнитное поле
прямого тока. Выберем в магнитном поле прямо-
линейного проводника с током I бесконечной длины (рис. 1.74) произвольный контур, совпадающий с одной из силовых линий. В силу
симметрии в каждой точке этого контура вектор H
одинаков по моду-
лю. По закону полного тока напряженность поля в точке A
2
r
0
0
129
2
,
0
Hdl H dl H r I===
ÚÚ
l
где
r – радиус силовой линии в точке A .
0
A
I
r
0
H
Рис. 1.74
Из этого следует, что модуль напряженности поля в точке A и модуль магнитной индукции можно записать как
I
Hr
I
;
2
0
0
B
r
.
r
2
0
Данные выражения идентичны значениям, полученным ранее по
закону Био–Савара–Лапласа.
Магнитное поле тока кругового цилиндра. Пусть по цилиндриче-
скому проводнику радиусом
r течет постоянный ток I (рис. 1.75).
0
r
0
r
I
H
Рис. 1.75
Из симметрии (рис. 1.75) очевидно, что напряженность магнитного
поля одинакова во всех точках, равноудаленных от оси кругового цилиндра, и направлена по касательной к окружности. При постоянном
токе его плотность по сечению цилиндра величина постоянная:
II
S
пр
130
.
2
r
0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]