Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физические основы электротехники. Основные свойства и законы линейных электрических цепей. Учебное пособие
.pdf
1.3. Стационарное магнитное поле
B
B
постоянного тока в линейных средах
Магнитное поле постоянного тока создается неизменными во времени токами, протекающими по проводникам, неподвижным в пространстве.
Разделение электромагнитного поля на электрическую и магнитную компоненты позволяет рассматривать магнитное поле постоянного тока независимо от электрического поля.
Основным свойством стационарного (неизменного во времени)
магнитного поля является силовое воздействие его на неподвижные
проводники с электрическим током и на движущиеся в нем заряженные тела. Магнитное поле обладает определенной направленностью
и является векторным полем.
1.3.1. Основные понятия и величины, характеризующие
магнитное поле
Основной силовой характеристикой магнитного поля является век-
тор
магнитной индукции.
Единица измерения магнитной индукции – тесла []=
Для изображения направлений действия магнитного поля пользуются линиями магнитной индукции (магнитными силовыми линиями).
Линии магнитной индукции всегда замкнуты. На рис. 1.62,
направления линий магнитной индукции вокруг прямолинейного проводника с током. Линии расположены вокруг проводника в плоскости,
перпендикулярной проводнику, с центром, лежащим на его оси. Магнитное поле в конкретной точке пространства действует по касательной к магнитной линии, проходящей через данную точку.
Направление линий связано с направлением тока правилом
ходового винта. Картина линий магнитной индукции соленоидной катушки с током изображена на рис. 1.62,
Число силовых линий, проходящих через некоторую поверхность
площадью
S , называют магнитным потоком:
BdS BS
∫
S
б.
cos
,
Тл.
а показаны
право-
111
т. е. магнитный поток есть интеграл от произведения магнитной ин-
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
BB
дукции
тора
на элементарную площадку dS , где cosB – проекция век-
на направление нормали к площади.
I
I
I
а б
I
Рис. 1.62
Единица магнитного потока – вебер [] Вб.
Интенсивность магнитного поля, учитывающую только влияние
тока и формы проводника, называют напряженностью магнитного по-
H . Напряженность магнитного поля, как и магнитная индукция,
ля
есть вектор, направленный в сторону действия поля. Для практических
расчетов считают, что векторы
Единица напряженности магнитного поля – [ ]
и H совпадают по направлению.
H А/м.
Магнитная индукция и напряженность поля связаны между собой
следующим соотношением:
HH ,
0ar
7
410
где
0
Гн/м – магнитная постоянная;
– абсолютная и
a
–
r
относительная магнитная проницаемость среды.
С относительной проницаемостью среды
показывающую, во сколько раз магнитная индукция
родной среде больше или меньше магнитной индукции
связывают величину,
r
в данной одно-
в вакууме,
0
т. е.
.
r
0
112
Для вакуума 1
B
. Для практических расчетов относительную
r
магнитную проницаемость диамагнитных сред (медь, алюминий, серебро и т.д.) и воздуха принимают равной единице, 1
Следует отметить, что 1
– для ферромагнитных сред (сталь,
r
.
r
чугун, никель, кобальт и т. д.), и она зависит от напряженности поля и
материала.
Вокруг любого проводника (витка) с током создается магнитный
поток. Если поток создается не одним, а несколькими витками (катушкой), то полный поток можно определить по принципу наложения как
сумму всех потоков, созданных
где
– число витков катушки.
w
каждым витком:
n
w
∑
k
k
1
,
Произведение числа витков и сцепленного с этими витками магнитного потока называют потокосцеплением:
w .
Единицей потокосцепления, как и магнитного потока, является вебер
Вб.
Задача расчета магнитного поля. Общей задачей расчета магнит-
ного поля постоянных токов является нахождение вектора
ной индукции или вектора
H
напряженности поля во всех точках про-
магнит-
странства по заданному распределению тока.
4
Пример 1.45. Магнитный поток
Вб пронизывает пря-
моугольную рамку площадью поверхности
210
10S
м
2
2
. Определить
магнитную индукцию однородного магнитного поля, если рамка расположена под углом
o
60 к линиям магнитного поля.
Решение. Магнитный поток, пронизывающий поверхность пря-
моугольной рамки,
BdS BS
00
∫
S
113
cos
,
откуда магнитная индукция однородного поля
B
B
B
4
B
0
cos
S
210
2o
10 cos 60
0,04
Тл.
Пример 1.46. Определить напряженность однородного магнитно-
го поля воздушного промежутка, образованного полюсами прямоугольного сечения с размерами сторон 25a мм, 15b мм, если по-
6
ток вектора магнитной индукции через сечение
0, 4 10
Вб.
Решение. Поток вектора магнитной индукции через сечение по-
люсов
dS B S B ab
000
∫
S
,
где
– индукция однородного магнитного поля; Sab – сечение по-
0
верхности воздушного промежутка.
Напряженность однородного поля и магнитная индукция связаны
соотношением
H
00 0r
,
отсюда напряженность однородного магнитного поля
6
B
H
где 1, 0
– относительная магнитная проницаемость воздуха.
r
0
0
00
ab
4 10 1,0 25 10 15 10
r
0, 4 10
722
8,5
А/м,
1.3.2. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение
к расчету магнитного поля
Основным законом магнитного поля является закон Био–Савара–
Лапласа, дающий связь между током и напряженностью или индукцией магнитного поля. Согласно этому закону всякий элемент проводника длиной
ства на расстоянии
в среде с магнитной проницаемостью
dl с током I (рис. 1.63, а) создает в любой точке простран-
r от элемента магнитное поле, индукция которого
равна
r
114
0
A
Idl r
r
2
r
dB
0
dl
,
r
в котором векторы
зуют правоходовую систему.
Здесь
dl
является вектором, направление которого совпадает с то-
ком, а единичный вектор
наблюдения
Вектор
A .
dB
расположен перпендикулярно к плоскости, в которой
лежат элемент длиной
, dB в указанной последовательности обра-
0
r
dl и отрезок r , а его направление определяется
4
направлен от элемента dl с током к точке
правилом правоходового винта (рис. 1.63,
I
Idl
0
r
dl
dB
r
б).
0
,
а б
Рис. 1.63
Векторы
от различных элементов тока сонаправлены, поэтому
dB
индукция в любой точке пространства
dB dl
где
– угол между вектором dl
и единичным радиусом-вектором
Полное значение магнитной индукции в данной точке
sin
I
0
4
r
r
,
2
0
r
.
A является
геометрической суммой элементарных векторов магнитной индукции
линейного тока, на которые может быть разделен проводник:
dB
115
B
B
B
H
A
I
sin
0
r
=
4
означает, что интегрирование производится по всей длине про-
где
l
dl
Ú
l
,
2
r
водника.
Для среды с магнитной проницаемостью 1, 0
магнитная ин-
r
дукция
I
0
=
4
sin
dl
Ú
l
.
2
r
В основе определения магнитного поля, создаваемого системой
проводников с током, используется принцип суперпозиции, который
может быть записан в следующем виде:
n
B
n – общее количество участков, на которые разбит проводник.
где
∑
i
1
, или
i
n
H
∑
i
,
i
1
Магнитное поле прямого тока. Определим индукцию магнитного
поля в точке
A , если она создается током I прямолинейного провод-
ника конечной длины (рис. 1.64). Решение основывается на использовании закона Био–Савара–Лапласа и принципа суперпозиции.
2
I
r
0
r
L
dl
a
1
l
Рис. 1.64
116
Векторы dB от различных элементов тока в точке A направлены
от нас перпендикулярно плоскости рисунка. Чтобы найти полное значение магнитной индукции в точке
все элементарные значения
Выразим длину элемента
интегрированием.
dB
dl
A , необходимо просуммировать
проводника через угол d. Из соот-
ношения сторон треугольника (рис. 1.64) следует:
ctg
На основании этого
куда длина элемента
ной индукции
dB dl d d
r
где
sin
dB , создаваемой элементом тока Idl в точке A ,
sin sin
I
000 0
r
0
222
44 4
rr
, а величина
al
, отсюда
r
0
dl d
dd
dl d
sin
Ir I
1sin
22
rr
(ctg)cosec
ar r
00
r
0
2
, а элементарные значения магнит-
2
sin sin
sin
0
2
.
0
ctg lar .
0
Полное значение модуля магнитной индукции в точке
2
II I
00 0
Bd
444
sin ( cos ) (cos cos )
∫
rr
00
1
⎛⎞
I
0
4
r
0
aLa
⎜⎟
22 22
⎜⎟
ar La r
⎝⎠
2
1
()
00
sin
r
0
2
2
,
r
0
A
12
,
, от-
где
cos
1
a
22
ar
0
;
cos
2
La
22
La r
()
.
0
Для прямолинейного проводника с током бесконечной длины
(рис. 1.64)
o
0 ,
1
2
o
180 получим
117
II
Z
00
B
rr
42
00
oo
(cos0 cos180 )
,
где
oo
cos 0 cos 180 2.
Магнитное поле кругового витка с током. Распределение тока I по
круговому витку радиусом
dB
Вектор
индукции поля, создаваемого элементом тока Idl, пер-
пендикулярен к векторам
лярной плоскости кругового витка. Результирующий вектор
гового витка с током направлен вдоль его оси
r
имеет осевую симметрию (рис. 1.65, а).
0
dl
0
и
r
и лежит в плоскости, перпендику-
dB
z (рис. 1.65, а).
dB
z
r
0
0
I
dl
dB
2
r
0
r
z
dB
z
dl
Idl
Idl
r
0
0
I
а б
z
кру-
Рис. 1.65
Элементы проводника dl перпендикулярны единичному радиусу-
вектору
0
, и sin sin 2 1 . Следовательно, элементарные значе-
r
ния магнитной индукции вдоль оси кругового витка по закону Био–
Савара–Лапласа
sin
II
dB dl dl
00
22
44
rr
118
.
Модуль результирующего вектора
Z
A
Z
кругового тока (рис. 1.65,
dB dB dl dl
cos
z
а), будет равен
I
00 00
44
rr
rIr
23
r
dB
, направленного вдоль оси
z
, где 0cos
r
.
r
Окончательно индукция магнитного поля на оси кругового витка
с током равна
2
r
rr
22
00
BdB dl l
zz
∫∫
00
Ir I r
00 0 0
33
42
r
Ir Ir
00 00
33
44
rr
2
r
2
0
22
rz
0
0
0
,
2
где
В частном случае, при 0
22
rrz
0
(рис. 1.65, а).
z (рис. 1.65, б), магнитная индукция
в центре кругового витка с током равна
I
0
B
z
.
r
2
0
Магнитное поле на оси соленоида. Расчет магнитного поля на оси
соленоида выполним исходя из симметрии рассматриваемой системы.
Выберем ось
системы координат, совпадающей с осью соленоида
(рис. 1.66).
I
l
dz
r
0
2
r
a
z
r
1
0
0
dB
z
I
Рис. 1.66
119
Магнитное поле, создаваемое соленоидом на его оси, можно
представить как суперпозицию полей
витками линейного тока с шириной витков
из них, равной
wI
dz
l
, где
w
– число витков на единицу длины соле-
l
dB
, создаваемых круговыми
z
dz и силой тока в каждом
ноида.
Полагаем, что индукция магнитного поля, создаваемая круговыми
витками линейного тока на ширине
, определяется из установленно-
dz
го ранее решения для индукции магнитного поля на оси уединенного
кругового витка с током:
2
Ir
00
r – радиус сечения соленоида.
где
0
B
z
2
,
3
r
Из соотношения сторон треугольника (рис. 1.66) следует, что
ctg
az
=
, отсюда выразим
r
0
Полагая, что
r
0
, найдем
2
sin
ctg zar и
0
r
dz d
0
sin
.
2
ctg zar .
0
dz d
dd
(ctg)cosес
ar r
00
2
В таком случае элементарные значения магнитной индукции в
произвольной точке, расположенной на оси соленоида, равны
где
23
wI r wIr
00 0 0
dB dz d
z
sinrr, а величина
0
332
22
lr lr
333
0
sin
sinrr.
0
2
Полное значение модуля магнитной индукции в точке
женной на оси соленоида:
120
wI
sin
l
d
,
A , располо-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]