Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
1) Формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от
AvA
ω
х
А
смещения, v = x′ = Aω⋅cos(ωt+ϕ). Исходя из условия задачи, скорость надо вы-
разить через смещение. Для этого исключим время из двух записанных уравнений. Возведя оба уравнения в квадрат, затем, разделив первое уравнение на А2,
второе – на А2ω2 и, сложив их, получим:
2
x
2
2
1
+ или
=
22
2
x
+ .
2
A
2
v
2
( )
2A
πν
1
=
2
Решив это уравнение относительно v, найдём
v = ±2πν
22
− = ±2π⋅0,5
22
5,13 − = ± 8,16 см/с.
Знак ″плюс″ соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с
положительным направлением оси абсцисс, знак ″минус″ - в противном случае.
2) Силу F, действующую на точку, найдём из второго закона Ньютона:
F = ma,
где а – ускорение точки, которое определим, взяв производную по време-
ни от скорости:
а = v′ = -Aω2sin(ωt+ϕ) или а = -A4π2ν2sin(ωt+ϕ),
откуда найдём максимальное значение силы
Fm = mam = m⋅A⋅4π2ν2 = 5⋅10−3⋅4⋅π2⋅0,52⋅3⋅10−2 = 1,49⋅10−3 Н = 1,49 мН.
3) Полная энергия колеблющейся точки представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента време-
181
ни. В данной задаче проще всего найти полную энергию в момент, когда кине-
2
2
2
2
k
тическая энергия достигает максимального значения, так как в этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия W колеблющейся
точки равна максимальной кинетической энергии
1
Wк =
mv
2
.
m
Максимальное значение скорости vm определим, положив в формуле скорости
cos(ωt+ϕ) = 1, тогда vm = 2πνA. Итак, полная энергия
W = Wк =
1
mv
1
2
=
m
m(2πνA)2 =
1
5⋅10−3⋅(2π⋅0,5⋅3⋅10−2)2 = 22,2⋅10−6 Дж.
2. К пружине подвешена чашка весов с гирями. Период ее вертикальных
колебаний Т1. После того, как на чашку положили добавочные гири, период
вертикальных колебаний стал равен Т2. Насколько удлинилась пружина после
увеличения груза? Ускорение свободного падения равно g.
Дано: Т1; Т2; g.
∆х − ?
Решение. Период вертикальных колебаний чашки с гирями до того, как
был добавлен груз,
m
Т1 = 2π
,
где m – масса чашки с гирями;
k – коэффициент жёсткости пружины.
Пусть масса добавленных гирь ∆m, тогда период колебаний
182
Т
k
xF∆
xgm∆
⋅
∆
k
(
)
4
π
= 2π
2
.
Вызывающая удлинение пружины ∆х сила равна
F = k∆х,
отсюда
mm ∆+
k =
=
,
где g – ускорение свободного падения.
Возводя выражения для периодов колебаний в квадрат и вычитая одно выражение из другого, получим:
2
m4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
.
Подставим в последнее равенство выражение для k и получим
2
х4
Т
2
2
− Т
2
=
1
∆⋅π
,
g
откуда находим:
∆х =
2
.
2
2
2
TTg
−
1
3. Найдите относительное изменение длины математического маятника,
необходимое для того, чтобы его период колебаний на высоте h был равен периоду колебаний на уровне моря.
Дано: h; R0.
ε − ?
183
Решение. При перенесении маятника на более высокий уровень над Зем-
0
GM
(
)
GM
лей его период колебаний увеличится, так как ускорение свободного падения
уменьшается по мере увеличения высоты. Следовательно, для того, чтобы период колебаний не изменился, длину маятника следует уменьшить.
Пусть математический маятник длиной L0 на уровне моря колеблется с
периодом
L
Т
0
= 2π
0
,
g
0
где g0 = G
− ускорение свободного падения на уровне моря;
2
R
М и R0 – масса и радиус Земли;
G – гравитационная постоянная.
На высоте h маятник длиной L будет иметь период колебаний
L
M
Т = 2π
, где g = G
g
Согласно условию задачи Т = Т0, поэтому
L
g
L
0
=
или
g
0
.
( )
0
2
RL
00
=
2
hRM+
2
hRL
+
0
,
откуда
Относительное уменьшение длины маятника
L
L
=
0
2
0
( )
hRR+
0
184
.
2
∆
−
R
∆
2
2
h
0
ε =
L
L
=
0
L
=1 −
0
LL
0
L
L
0
=1 −
( )
2
0
=1 −
2
hRR+
0
1
=1 −
2
R
h
0
1
+
1
+ .
Далее воспользуемся с известным из математики условием (1+х)n ≈ 1 + nx, при
х << 1. Для случая, когда h << R0:
2
R
h
0
−+
h
)2(1 = 2
R
0
R
h
.
0
ε =
L
L
= 1 −
0
1
+ ≈ 1 −
4. Шарик совершает гармонические колебания. Найдите отношение скоростей v1/v2 шарика в точках, удалённых от положения равновесия, соответственно, на половину и на одну треть амплитуды.
Дано: x = A⋅sinωt; x1 = A/2; x2 = A/3.
v1/v2 − ?
Решение. Предположим, что шарик совершает гармонические колебания
по закону синуса:
x = A⋅sinωt.
Тогда уравнение колебаний скорости будет иметь вид:
v = x′ = Aω⋅cosωt.
Согласно условию задачи в момент времени t1:
А
x1 =
= A⋅sinωt1 и v1 = Aω⋅cosωt1,
185
а в момент времени t2:
3
4
9
4
4
9
9
А
x2 =
= A⋅sinωt2 и v2 = Aω⋅cosωt2.
Из первой пары уравнений выражаем sinωt1 и cosωt1, возводим в квадрат
и складываем:
sin2ωt1 + сos2ωt1 = 1 =
А из второй пары уравнений выражаем sinωt2 и cosωt2, возводим в квадрат
и складываем:
sin2ωt2 + сos2ωt2 = 1 =
2
+
+
v
1
.
A
ω
2
v
2
.
A
ω
1
1
Из последних двух уравнений выражаем
2
v
1
= 1 −
A
ω
1
3
=
, и
v
A
2
ω
2
= 1 −
1
8
=
затем эти уравнения почленно делим и извлекаем квадратный корень:
v
1
v
2
9
3
⋅=
; и
8
4
v
1
v
2
9
3
8
4
63
=⋅=
.
8
2
5. В колебательном контуре к конденсатору параллельно присоединили
,
другой конденсатор вдвое большей ёмкости, после чего частота колебаний в
контуре уменьшилась на ∆ν = 300 Гц. Определите первоначальную частоту колебаний в контуре.
186
Дано: ∆ν = 300 Гц; С = 2С1.
. Лампочку для карманного фонаря, рассчитанную на напряжение
ν1 −?
Решение. Напишем выражения для частот ν колебаний в контуре в двух
случаях:
ν1 =
, ν2 =
LC21π
1
,
LC21π
2
где ёмкость С2 контура во втором случае равна
С
= С + С1 = 2С1 + С1 = 3С1,
2
так как во втором случае к конденсатору ёмкости С1 присоединяют параллельно конденсатор вдвое большей ёмкости, т.е. ёмкости 2С1.
Согласно условию задачи
∆ν = ν1 − ν2 =
−
LC21π
1
=
LC21π
2
−
LC21π
1
=
C3L21π
1
=
1
−
1 = ν
LC21π
1
3
1
1
−
1 ,
3
откуда находим
1
ν1 = ∆ν
−
1
1
− = 300
3
1
− = 710 Гц.
1
−
1
3
6
U0 = 3,5 В и силу тока I0 = 0,28 А, соединили последовательно с конденсатором
и включили в сеть с эффективным напряжением UЭ = 220 В и частотой ν =
187
50 Гц. Какой должна быть ёмкость С конденсатора, чтобы лампочка горела
2
нормальным накалом?
Дано: U0 = 3,5 В; I0 = 0,28 А; UЭ = 220 В; ν = 50 Гц.
С −?
Решение. Электрическое сопротивление R лампочки находим из закона
Ома для участка цепи:
U
R =
0
.
I
0
Амплитудное значение напряжения UA в сети равно
UA = U
.
Нормальный накал лампочки будет в случае, когда сила тока через нее
будет равна I0. Тогда согласно закону Ома для цепи переменного тока
I0 =
R
U
A
1
2
+
πν
=
2
C2
U
0
I
0
2
2U
+
( )
πν
,
1
2
C2
откуда находим
С =
1
−
2
1
2
πν
U2
2
I
0
2
2
U
0
−
2
I
0
=
1
502
⋅π
2
2202
⋅
2
28,0
5,3
−
28,0
1
−
2
2
2
=2,86⋅10−6 Ф=2,86 мкФ.
7. Катушка длиной ℓ = 0,5 м и площадью поперечного сечения S = 10−3 м2
включена в цепь переменного тока частотой ν = 50 Гц. Число витков катушки
188
N = 3 000. Найдите сопротивление R катушки, если сдвиг фаз между напряже-
RL2R
πν=ω
l
Rl
R
нием и током ϕ = 600. Магнитная постоянная µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
Дано: ℓ = 0,5 м; S = 10−3 м2; ν = 50 Гц; N = 3 000; ϕ = 600; µ0 = 4π⋅10−7 Гн/м.
R −?
Решение: Сдвиг фаз ϕ между напряжением и током в данной задаче определяется выражением:
tg
=ϕ ,
L
2
где S
L
N
µ= − индуктивность катушки индуктивности.
0
Подстановка соотношения для L в выражение для tgϕ дает:
2
L2
tg
πν
=ϕ ,
πνµ
=
SN2
0
откуда находим
R =
πνµ
ltg
2
SN2
0
ϕ
=
0
60tg5,0
⋅
327
−−
103000104502
⋅⋅⋅π⋅⋅π
= 4,1 Ом.
8. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колеба-
ния на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой 10 см. На сколько сместится шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?
Дано: A = 10 cм; Wк = 0,5⋅W
к макс
.
x = ?
189
Решение: Запишем уравнение колебаний шарика x(t) и, взяв первую про-
m
2
2
2
m
изводную по времени от этого уравнения, найдем зависимость скорости от времени v(t):
x = Asinωt; v = Aωcosωt, где ω2 =
или k = mω2;
Кинетическая энергия шарика в момент времени t равна:
k
2
Wк =
mv
=
mA22ω
cos2ωt; W
к макс
mA22ω
=
Так как по условию в этот момент времени Wк = 0,5⋅W
к макс
ний для кинетических энергий следует, что в момент времени t:
cos2ωt = 0,5 и sinωt =
5,01tcos1 −=ω− = 0,707.
.
, то из выраже-
22
Теперь найдем смещение шарика от положения равновесия в момент
времени t:
x = Asinωt = 10 cм ⋅ 0,707 = 7,07 см = 7 см.
9. Груз массой 2 кг, закреплённый на пружине жёсткостью 200 Н/м, со-
вершает гармонические колебания. Максимальное ускорение груза при этом
равно 10 м/с2. Какова максимальная скорость груза?
Дано: m = 2 кг; k = 200 Н/м; а0 = 10 м/с2.
v0 = ?
Решение: Подставим выражение для циклической частоты ω колебаний
пружинного маятника: ω =
в уравнение, связывающее амплитуду ускоре-
ния а0 и амплитуду скорости v0 при колебательном движении:
k
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]