Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
r
R
r
;
r
(
)
GM
2
r
2
r
2
2
R
dt
dt
F
=µ
тр.
P = mg
v1 =
F
, пропорциональной силе нормального давления N (реакции опо-
тр.
ры); µ − коэффициент трения.
F
− сила трения качения: N − сила нормального давления (реак-
тр.
N
.
ция опоры); µ − коэффициент трения качения; r – радиус катящегося тела.
P − сила тяжести: m − масса тела, g − ускорение свободного падения.
v1 − первая космическая скорость: M и R − масса и радиус
M
G =
gR
планеты, G − гравитационная постоянная, g − ускорение
v = v
1
T = 2π
Т
1
Т
2
mv
Е=
свободного падения на поверхности планеты.
R
местная первая космическая скорость движения по окружности радиусом r. Так как r > R, то v < v1.
R
g
2/1
период обращения спутника по орбите радиусом r
R − радиус планеты; r > R.
2/3
r
R
частная форма третьего закона Кеплера −
2
=
3
r
1
или
r
2
Т
2
3
22π
=
отношение квадратов периодов вращения
двух спутников равно кубу отношения радиусов круговых орбит.
полная энергия Е спутника на круговой
2
- G
mM
= -
mv
2
= -
mgR
2
орбите радиусом r равна сумме кинетиче-
.
v2 = v
1
dv
m
= F − u
=
dm
ской и потенциальной энергий.
=
M
gR2
G2 .
v2 – вторая космическая (или параболическая)
скорость, v1 − первая космическая скорость.
уравнение Мещерского (уравнение движения тела с переменной массой). F – геометрическая сумма всех внешних
271
сил, действующих на ракету, u – скорость истечения газов
dt
∆
∆Аt
2
m
2
относительно ракеты, dm/dt − масса сгоревшего топлива, которое выбрасывается из ракеты за единицу времени.
Fр = − u
v = v0 − u⋅ln
∆А = F⋅∆r =
= F⋅∆r⋅cosα
мощность равна работе, совершаемой в единицу времени: Pср -
dm
Р
ср.
=
средняя мощность за время ∆t.
Fр − реактивная сила
формула Циолковского. m0 − начальная масса ракеты, m −
m
масса в конце ускорения, скорость газовой струи u. Скорость
m
0
ракеты в начале и в конце ускорения − v0 и v, соответственно.
∆А − элементарная работа равна скалярному произведению си-
лы F на перемещение ∆r, α − угол между F и ∆r.
мгновенная мощность P равна скалярному произведению
P = F ⋅ v = F⋅v⋅cosα
EК =
mv
2
=
2
p
работа равнодействующей силы равна изменению кинетической
А=ЕК2 − ЕК1
энергии тела (при условии постоянства потенциальной энергии).
работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциаль-
А = −∆ЕП
ной энергии (при условии постоянства кинетической энергии).
потенциальная энергия тела в однородном поле тяготения: h - вы-
Е
=m g . h
П
сота над поверхностью Земли (высота от нулевого уровня), g - ус-
силы F на скорость v, с которой движется точка приложения силы, α − угол между F и v.
EК - кинетическая энергия тела массой m, движущегося со
скоростью v, р - импульс тела.
корение свободного падения, m - масса тела.
272
Е
2
2
2
R
m
m
⋅
1
iN1
i
∆
t
2
2
2
2
Е
−потенциальная энергия упруго деформированного тела
П
2
)(k
=
l∆⋅
П
(пружины): ∆ℓ − удлинениe тела (пружины); k − коэффициент
пропорциональности (жёсткость пружины).
Е
− потенциальная энергия упруго растянутого
П
ES
П
=
1
(∆ℓ)2 =
Е
l
G
Е
=
П
N
⋅−
∑ ∑
= =
21
iii
mv – mv0 = F⋅∆t;
E2ε
(сжатого) стержня: V – объём тела; Е − модуль Юнга
V
(упругости); ε − относительное удлинение.
потенциальная энергия взаимодействия двух тел массами
m1 и m2, находящихся на расстоянии R друг от друга; G –
гравитационная постоянная.
закон сохранения импульса: суммарный импульс
замкнутой системы остается постоянным (по величи-
=⋅=
constm vp
не и направлению) при любых взаимодействиях тел
этой системы между собой.
изменение импульса тела ∆р за время
равно импульсу
∆р = р − р0 = F⋅∆t
равнодействующей силы F⋅∆t.
полная механическая энергия материальной точки (тела) равна
Е=E
+ EП
K
сумме кинетической и потенциальной энергий.
закон сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел остается посто-
Е=EK + EП=сonst
янной при любых движениях тел системы, если в системе не
действуют диссипативные силы.
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2;
1
m1v
1
2
+
1
m2v
1
2
=
2
m1u
1
законы сохранения импульса и энергии
1
2
+
m2u
при центральном абсолютно упругом
2
2
ударе двух тел (шаров).
273
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
2
2
2
dx
dx
закон сохранения импульса при центральном абсолютно неупругом ударе двух тел.
изменение кинетической энергии при
∆ЕК=Q=(
А
А
А
А
пол
затр
пол
затр
η=
η=
dE
n
=
2
Ed
n
=
2
=
⋅
1
m1v
Р
пол
Р
затр
′
=
xn
)(E
xxn
%100
″
2
+
1
;
=
0)(E
> 0
1
m2v
1
2
) −
2
(m1+m2)u
абсолютно неупругом ударе (часть ее
2
переходит в «тепловую» форму энергии).
коэффициент полезного действия механизмов
Р
Р
пол
затр
равен отношению полезной работы A
ной мощности Р
%100
⋅
ченной − Р
затр
).
) к затраченной A
пол
(полез-
пол
(затра-
затр
условие равновесия - экстремальное значение потенциальной энергии (для случая одномерной задачи, когда Еп зависит только от координаты х, т.е. когда Еп = Еп(х) ).
условие устойчивого равновесия
момент силы М относительно неподвижной точки − физическая ве-
М = r×F
личина, равная векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из этой точки в точку приложения силы, на эту силу F.
M = r⋅F⋅sinα=F⋅d
= 0
i
= 0
i
∑F
∑M
М – модуль момента силы, α − угол между r и F,
d=R. sinα − плечо силы равно кратчайшему расстоянию от
оси вращения до линии действия силы.
(первое) условие равновесия тела при отсутствии вращения:
векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.
(второе) условие равновесия твердого тела с неподвижной
осью вращения: алгебраическая сумма моментов сил относи-
274
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
dt
∑[ri,mig]
= 0
gm
r
ii
тельно любой оси равна нулю, причем моменты сил, вращающих в одну сторону, считают положительными, а в другую отрицательными.
центр тяжести тела: сумма моментов сил тяжести всех частиц
тела по отношению к оси, проходящей через центр тяжести,
равна нулю.
центр тяжести тела: rс(хс, ус, zс) − радиус-вектор, проведенный
rc=
xc=
yc=
zc=
rцм=
i
gxm
i
gym
i
gzm
i
m r
m
gm
;
из начала координат в центр тяжести тела; xc, yc, zc − коорди-
ii
наты центра тяжести; xi, yi, zi − координаты частиц тела, при-
gm
;
чем ri(xi, yi, zi); суммирование производится по всем частицам
ii
;
тела.
gm
ii
gm
rцм(хцм, уцм, zцм) - радиус-вектор центра масс системы материальных точек; mi и ri - масса и радиус-вектор i-ой материаль-
ii
ной точки (если твердое тело, то суммирование производится
;
i
по всем частицам тела).
координаты центра масс и центра тяжести тела совпадают в
rc=r
цм
dцмv
m
М = F⋅d
= F
внеш
случае, если размерами тела можно пренебречь в сравнении с
размерами Земли (планеты).
теорема о движении центра масс: центр масс любой системы
частиц, в том числе твердого тела, движется так, как двигалась
бы материальная точка с массой равной массе системы, под
действием всех приложенных к системе внешних сил.
момент пары сил: d − плечо пары сил (F1=F2=F) – кратчайшее
расстояние между линиями действия сил.
275
правило рычага: во сколько раз плечо ℓ2 силы F больше плеча ℓ1
dt
∑
=
1
i
2
4
4
l
1
=
mgFl
груза весом mg, тем меньше усилие F требуется, чтобы сдвинуть
2
груз.
L= [r,p]=[r,mv]
L=r⋅p⋅sinα=p⋅d
производная по времени от момента импульса системы частиц
L−момент импульса материальной точки относительно не-
подвижной точки 0: r − радиус-вектор от точки 0 до материальной точки; p=mv − импульс материальной точки; α −
угол между r и p; d − плечо вектора p относительно непод-
вижной точки 0.
dL
=
М
внеш
LL =
i
= const, если
М
внеш
= 0
J =
n
∑
=
2
rm
ii
J = mR2;
1
J =
mR2
(материальных точек) относительно произвольной точки вы-
бранной системы отсчета равна векторной сумме моментов всех
внешних сил относительно той же точки (полюса).
закон сохранения момента импульса: если момент внешних сил
относительно неподвижной точки равен нулю, то момент импульса системы относительно той же точки остается постоянным
во времени.
момент инерции J системы (тела) относительно оси вращения равен сумме произведений масс материальных точек (частиц) системы (тела) на квадраты их расстояний до оси вращения.
моменты инерции полого тонкостенного цилиндра и
сплошного цилиндра (или диска) радиуса R относительно оси
симметрии.
1
J =
mR2
1
J =
m(a2+b2)
момент инерции бесконечно тонкого диска радиуса R относительно оси, проходящей через диаметр.
момент инерции однородного эллипса с полуосями a и b относительно оси, перпендикулярной к плоскости эллипса.
276
J =
5
12
3
12
3
2
2
sin
L
ω
J
угловая скорость вращения волчка,
dt
2
mR2
момент инерции шара относительно оси, проходящей через
центр шара.
1
J =
mL2
1
J =
mL2
1
J =
m(a2+b2)
2
J =
mR2
J = J0 + ma2
момент инерции прямого тонкого стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его середину.
момент инерции прямого тонкого стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.
момент инерции тонкой прямоугольной пластинки со
сторонами a и b относительно оси, перпендикулярной к
плоскости пластинки и проходящей через его середину.
момент инерции полого шара с тонкими стенками относительно оси, проходящей через центр шара.
теорема Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси равен моменту инерции J
относительно оси, параллель-
0
ной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произве-
Т = Т
ωпр=
d
( )
J
+ Твр =
пост
M
=
α⋅
Mω =
внеш
дение массы m тела на квадрат расстояния а между осями.
кинетическая энергия твердого тела равна
1
mv
цм
2
+
1
Jω2
сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движения.
ωпр − угловая скорость прецессии волчка вокруг верти-
mgl
кальной оси, ℓ – расстояние от центра масс волчка до
точки опоры, ω −
m и J – масса и момент инерции волчка.
основное уравнение динамики вращательного движения,
М
− результирующий момент внешних сил относительно
внеш
оси вращения.
Jε = М
внеш
при вращении симметричного твердого тела вокруг неподвижной
,
277
ε =
dtdω
S
Fцб = mω2R
оси симметрии момент инерции J = const, ε − угловое ускорение.
центробежная сила инерции, вектор R направлен от оси
вращения до места расположения тела.
сила Кориолиса или кориолисова сила инерции: v′ − скорость
FK = 2m[v′,ω]
F
P=
давление равно отношению силы, перпендикулярной к поверхности тела, к величине площади поверхности S, на которую действует эта сила.
P − гидростатическое давление: ρ − плотность жидкости, h − высота
P=ρ . g . h
столба жидкости, g − ускорение свободного падения.
S
F
1
S
F
2
l
1
2
2
==
l
1
частицы относительно вращающейся системы отсчета, ω −
угловая скорость вращающейся системы.
гидравлический пресс дает выигрыш в силе во столько раз, во
сколько раз площадь ее большого поршня превосходит площадь
маленького поршня, S1 и S2 − площади поперечного сечения
поршней, ℓ1 и ℓ2 − перемещения поршней, F1 и F2 − силы, при-
FA=ρgVп
ρvS= const
S . v=const
ложенные к поршням.
закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует
выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости или
газа: ρ − плотность жидкости (газа), Vп − объем погруженной в жид-
кость (газ) части тела, g − ускорение свободного падения.
закон постоянства потока массы: ρ − плотность жидкости.
уравнение неразрывности (непрерывности) для несжимаемой (ρ =
const) жидкости: произведение скорости течения v на поперечное
сечение S трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.
278
V=S⋅v⋅t
ρ
2
2
µ
9
h
1
=
h
ρ
2
объем жидкости (газа) V, проходящий через сечение S струи (трубы)
за время t.
в сообщающихся сосудах высота столбиков жидкостей над уровнем
2
раздела обратно пропорциональна плотностям жидкостей.
1
уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной
1
P +
ρv2 + ρgh =
= const
v= 2 ⋅ ⋅gh
m N
ν=
=
µ
N
A
m
m0=
=
N N
A
несжимаемой жидкости: Р − статическое давление,
ρv2 −
динамическое давление, ρgh − гидростатическое давление, v
− скорость течения жидкости в данном сечении.
формула Торричелли: v − скорость истечения жидкости из малого
отверстия в открытом широком сосуде, h − глубина, на которой
находится отверстие относительно уровня жидкости.
ν − количество вещества: µ − молярная масса, NA − число Авогадро, N − число молекул в веществе (газе) массой m.
m0 − масса одной молекулы.
1
T − температура по абсолютной шкале температур (шкале Кель-
T=t+273
вина), t − температура по шкале Цельсия.
5
t=
( )
−
F
32T
t − температура по шкале Цельсия, ТF − температура по шкале
Фаренгейта.
закон Бойля-Мариотта: для данной массы газа (m=const)
при неизменности состава газа (молярная масса µ=const)
P . V=const
при постоянной температуре (T=const) произведение давления газа P на его объем V есть величина постоянная.
279
V=V
моль
T
⋅
0
V= V
VTV
1
=
1
.
P=P
0
.
(1+αt)
. α.
T
0
2
T
2
(1+βt)
закон Гей-Люссака: объем данной массы газа (m=const) при
неизменности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянном давлении (Р=const) изменяется линейно с температурой, α=273-1 K-1 − термический коэффициент расширения,
V0 − объем при 0 0С.
закон Шарля: давление данной массы газа (m=const) при неиз-
P=P
0
P
1
=
TPT
1
.β .
Т
2
2
менности состава газа (молярная масса µ=const) при постоянном
объеме (V=const) изменяется линейно с температурой, β=273-1 K-1
− термический коэффициент давления, P0 − давление при 0 0С.
V
Vµ =
= 22,4
ν
P=760 мм рт. ст.
T = 0 0C
закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парци-
закон Авогадро: моли любых идеальных газов при
л
одинаковых условиях (одинаковых температуре и давлении) занимают одинаковые объемы, в частности, при
нормальных условиях, − 22,4 л.
значения давления и температуры при нормальных условиях.
P=ΣPi
PV
P . V=
альных давлений ее компонентов; Pi − парциальное давление i-ой компоненты равно давлению, которое создавала бы i-ая компонента смеси
газов, если бы она одна занимала объем, равный объему смеси при той
же температуре.
уравнение Клапейрона справедливо при неизменности состава и
=const
массы газа: Р − давление, V − объем, Т − абсолютная температура.
m
µ
RT
⋅ ⋅
уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния
идеального газа): m − масса газа, R − универсальная газовая
280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]