Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
Решение: Обозначим силы, действующие на воздушный шар: Мобg - сила
µ
µ
х
A
тяжести оболочки, Мg − сила тяжести груза, mНеg - сила
F
тяжести гелия, заполняющего воздушный шар, FA - сила
Архимеда (см. рисунок). В условиях равновесия воздушного шара векторная сумма перечисленных сил равна ну-
Mg
Mобg
лю:
mHeg
FA + Мg + Мобg + mНеg = 0.
Так как все силы направлены по вертикали, то запишем данное векторное
уравнение в проекции на вертикальную ось 0х с учетом того, что сила Архимеда равна весу вытесненного воздушным шаром воздуха (FA = mВg, где mВ −
масса вытесненного воздушным шаром воздуха):
mВg - Mg - Мобg - mНеg = 0. (*)
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для гелия, заполняющего
воздушный шар, и для воздуха, вытесненного воздушным шаром:
PV =
m
He
RT; PV =
µ
He
m
B
RT. (**)
µ
B
В уравнениях (**) учтено, что для воздуха и гелия в указанных в задаче
условиях давление Р, температура Т и объёмы V – одинаковы. Из уравнений
(**) выразим массу воздуха mВ = m
Не
В
и подставим в уравнение (*):
µ
He
Не
В
g - Mg - Мобg - mНеg = 0,
µ
He
m
откуда и выразим искомую величину mНе:
91
mНе =
+
4
+
P
10
28
⋅
10
⋅
µ
µ
В
Не
ММ
об
=
1
−
29
400225
1
−
= 100 кг.
7. В баллоне находятся 20 кг азота при температуре 300 К и давлении
105 Па. Каков объём баллона?
Дано: m=20 кг; μ=28⋅10−3 кг/моль; R=8,31 Дж/(моль⋅К); Т=300 К; Р=105 Па.
V = ?
Решение: Из уравнения состояния идеального газа
PV =
RT,
µ
где m – масса азота;
μ – его молярная масса;
R – газовая постоянная;
Т − абсолютная температура газа;
V – объём газа, находящегося при давлении Р,
выражаем искомый объём V и вычисляем его значение:
m
m
V =
µ
⋅
RT
=
20
⋅
3
−
= 17,81 м3 ≈ 18 м3.
5
3008,31
Задание 3-2-10. Термодинамика
Внутренняя энергия, способы ее изменения. Работа газа, количество теплоты. Первый закон термодинамики, его применение к процессам в газах. Теплоемкости газа.
Тепловые машины: двигатели и холодильные машины. КПД тепловых
двигателей. Цикл Карно.
92
01. Какое количество теплоты необходимо для нагревания на ∆Т = 16 К
бы растянуть его на столько же, на сколько он удлинится при нагревании на
кислорода массой m = 7⋅10-3 кг, находящегося под тяжёлым поршнем в вертикальном открытом сверху цилиндре. Молярная теплоёмкость кислорода при нагревании его при постоянном объёме равна (Сµ)V = 20,9 Дж/(моль⋅К), молярная
масса µ = 32 г/моль. Трение между поршнем и цилиндром не учитывать.
02. Какую силу надо приложить к стальному стержню сечением 1 см2, что-
1 0С?
03. Для получения 300 л воды при 40 0С необходимо смешать воду, темпе-
ратура которой 20 0С, с водой, имеющей температуру 100 0С. Сколько литров
той и другой воды нужно взять?
04. В идеальном тепловом двигателе газ, совершающий цикл Карно, отдаёт
холодильнику k = 0,73 часть количества теплоты, получаемого от нагревателя.
Определите температуру нагревателя Тн, если температура холодильника равна
Т
= 272 К.
х
05. На какую высоту можно было бы поднять тело массой М = 1 000 кг,
если бы удалось полностью использовать энергию, которую нужно затратить на
плавление льда массой m=200 г, нагревание образовавшейся воды до 100 0С и
ее испарение?
06. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от нагревателя
теплоту Q1 = 4,38 кДж и совершил работу А = 2,4 кДж. Определить температуру нагревателя Т1, если температура холодильника Т2 = 273 К.
07. В цикле Карно газ получил от нагревателя теплоту Q1 = 500 Дж и совершил работу А = 100 Дж. Температура нагревателя T1 = 400 К. Определить
температуру Т2 холодильника.
08. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию ε молекулы этого газа при температуре Т = 300 К, если количество вещества этого газа ν = 0,5 моль.
09. При адиабатном сжатии температура гелия возросла на 2 К. Определить массу газа, если при сжатии была совершена работа 996 Дж.
93
10. На сколько градусов нагреется железный кубик массой 0,1 кг, свободно
падающий по вертикали с высоты 230 м к моменту падения на землю, если
среднее значение силы сопротивления воздуха равно 0,2 H?
11. Количество вещества гелия ν = 1,5 моль, температура Т = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех
молекул этого газа.
12. Чему равно давление газа, если известно, что при изобарическом расширении на 0,002 м3 к газу подвели 125 Дж теплоты, а его внутренняя энергия
изменилась на 75 Дж?
13. Кислород при неизменном давлении Р = 80 кПа нагревается. Его объём
увеличивается от V1 = 1 м3 до V2 = 3 м3. Определить изменение ∆U внутренней
энергии кислорода, работу А, совершённую им при расширении, а также теплоту Q, сообщённую газу.
14. В сосуде вместимостью V = 6 л находится при нормальных условиях
двухатомный газ. Определить теплоёмкость Cv этого газа при постоянном объёме.
15. Объём одноатомного идеального газа при изобарическом расширении
возрос на 1 л. Какое количество теплоты получил газ в ходе расширения, если
его давление 100 кПа?
16. 0,5 кг таящего льда погрузили в 0,3 кг воды при температуре 80 0С. Определить установившуюся температуру. Потерями тепла пренебречь.
17. Определить среднюю квадратичную скорость vкв молекулы газа, заключённого в сосуд вместимостью V = 2 л под давлением Р = 200 кПа. Масса
газа m = 0,3 г.
18. Железная деталь массой 500 г, нагретая до 800 0С, опущена в 5 л воды
при 19 0С. При этом образовалось некоторое количество пара, и температура
воды повысилась на 1 К. Сколько воды обратилось в пар?
19. Идеальный тепловой насос (идеальная тепловая машина, работающая
по обратному циклу Карно) забирает тепло от воды, имеющей температуру t0 =
0 0С, и передает его кипятильнику с водой, имеющему температуру t
94
=
кип
100 0С. Сколько воды превращается в пар при образовании льда массой m =
1 кг?
20. В латунном калориметре массой 100 г находится 5 г льда при темпера-
туре -10 0С. В калориметр вливают 30 г расплавленного свинца при температуре плавления. Что будет находиться в калориметре после установления равновесной температуры, и какова эта температура?
А01. Какое количество тепла необходимо для нагревания 2,5 г воды от
273 К до точки кипения при нормальном атмосферном давлении?
А02. Идеальный тепловой двигатель за 20 минут получает от нагревателя
160 кДж теплоты. Найти полезную мощность двигателя, если он отдаёт холодильнику 100 кДж теплоты.
А03. 2 моля идеального одноатомного газа расширяется без теплообмена с
окружающей средой. Температура в ходе расширения уменьшилась на 10 К.
Определить работу, совершённую газом при расширении.
А04. Математический маятник отклонили до высоты 7,5 м, после чего его
колебания прекратились из-за действия сил трения. На сколько градусов увеличится его температура, если вся выделившаяся энергия пойдёт на нагрев?
Удельная теплоёмкость материала маятника 25 Дж/(кг·К).
А05. На диаграмме U-T (внутренняя энергия-температура) график процесса представляет собой прямую, проходящую через точку с координатами (5 Дж,
300 К). Определить изменение внутренней энергии в ходе процесса при нагревании газа на 30 К. Газ одноатомный. Масса газа постоянна.
А06. Идеальный газ совершает цикл Карно при температурах холодильника Т2 = 290 К и нагревателя Т1 = 400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент
полезного действия η цикла, если температура нагревателя возрастёт до Т1′ =
600 К?
А07. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в
четыре раза (n = 4) больше температуры холодильника. Какую долю η количества теплоты, полученного за один цикл от нагревателя, газ отдаст холодильнику?
95
А08. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику теплоту Q2 =
14 кДж. Определить температуру T1 нагревателя, если при температуре холо-
дильника Т2 = 280 К работа цикла А = 6 кДж.
А09. Газ, совершающий цикл Карно, отдал холодильнику 67 % теплоты,
полученной от нагревателя. Определить температуру Т2 холодильника, если
температура нагревателя T1 = 430 К.
А10. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия η цикла
Карно при повышении температуры нагревателя от Т1 = 380 К до Т1′ = 560 К?
Температура холодильника Т2 = 280 К.
А11. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту Q1 = 84 кДж. Определить работу А газа, если температура T1 нагревателя в три раза выше температуры T2 холодильника.
А12. Идеальный атомарный газ, масса которого m = 12 г, расширяется без
теплообмена с окружающей средой. В результате этого процесса температура
газа уменьшилась на ∆Т = 20 К. Определите работу, совершенную газом при
расширении. Молярная масса газа µ = 4 г/моль.
А13. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как
если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна
-10
5⋅10
г. Газ находится при температуре Т = 400 К. Определить средние квадра-
тичные скорости vкв, а также средние кинетические энергии εп поступательного
движения молекулы азота и пылинки.
А14. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного
движения всех молекул газа, находящегося в сосуде вместимостью V = 3 л под
давлением Р = 540 кПа.
А15. Определить среднюю кинетическую энергию ε одной молекулы водяного пара при температуре Т = 500 К.
А16. Электроплитка мощностью 700 Вт в течение 10 минут нагревает 5 кг
воды. На сколько градусов поднимется температура воды, если при нагреве все
тепло передается воде без потерь?
96
А17. В ходе изотермического расширения к 1 молю идеального газа под-
0
0
ведено 43 Дж теплоты. Определить работу, совершённую газом.
В01. В двух теплоизолированных цилиндрах с объёмами V1 = 3 л и V2 = 5 л
находятся одинаковые газы при давлениях Р1 = 4⋅105 Па и Р2 = 6⋅105 Па и температурах t1 = 27 0С и t2 = 127 0С. Цилиндры соединяются теплоизолированной
трубкой. Какая температура Т и какое давление Р установятся в цилиндрах после смешивания газов?
В02. Водород занимает объём V = 10 м3 при давлении Р1 = 0,1 МПа. Его
нагрели при постоянном объёме до давления Р2 = 0,3 МПа. Определить изменение ∆U внутренней энергии газа, работу А, совершенную им, и теплоту Q, сообщённую газу.
В03. В теплоизолированном закрытом поршнем горизонтальном цилиндре
содержится ν = 1 моль азота (N2) при
температуре Т0 = 100 К и давлении, в
два раза меньшем атмосферного Р0.
0,5Р0; Т
Р
Поршень может свободно двигаться,
увеличивая вместимость цилиндра, и
Рисунок 37
удерживается стопором от движения в противоположную сторону (рисунок 37).
Какое количество теплоты Q следует подвести к газу, чтобы нагреть его на
∆Т = 200 К? Трением, теплоёмкостью сосуда и поршня пренебречь.
В04. В колбе находится 1 кг воды при 0 0С. Из колбы выкачали воздух,
часть воды при этом испарилась в образовавшийся вакуум, отобрав тепло у основной массы воды, что привело к замерзанию всей неиспарившейся воды. Какая масса воды испарилась, если теплообмен с внешней средой отсутствует?
В05. Идеальный одноатомный газ находится в закрытом сосуде под давлением 10 кПа. Внутренняя энергия газа равна 150 Дж. Определить величину
объёма, занимаемого газом.
В06. Идеальный одноатомный газ нагрели на ∆Т = 20 К при постоянном
давлении, и газ совершил работу 266 Дж. Сколько молей газа нагрели?
97
С01. Какое количество теплоты одноатомный идеальный газ получает от
4
3
2
V
более нагретых тел за один цикл АВСА, состоящий из трех прямых на диаграмме в координатах P-V, соединяющих точки А (100 кПа, 16 л), В (200 кПа,
16 л) и С (100 кПа, 32 л)?
С02. В углублении льда, имеющего температуру 0 0С, влито 60 г воды при
температуре 75 0С. Какой объём будет иметь углубление после остывания воды?
Р
С03. Идеальный газ совершает работу, изменяя свое состояние по замкнутому циклу, состоя-
1
щему из двух изохор и двух изобар (рисунок 38). В
начальном состоянии (точка 1) температура газа
Рисунок 38
Т
= 200 К, в точке 2 − температура Т2 = 500 К.
1
Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Масса газа m = 100 г, молярная масса µ =
4 г/моль. Определите работу, которую совершает газ за один цикл.
С04. К чашкам весов подвешены на нитках куски меди и цинка массой по
500 г каждый. Нарушится ли равновесие, если медь погрузить в воду, а цинк в
керосин? Что нужно сделать, чтобы восстановить равновесие?
Примеры решения задач
1. Гелий из состояния с температурой Т1 = 200 К расширяется в процессе
PV2 = const (P – давление, V – объём газа) с постоянной теплоемкостью С. От
газа отвели количество теплоты Q = 400 Дж, и конечный объём газа стал вдвое
больше начального. Определите теплоёмкость С.
Дано: Т1 = 200 К; PV2 = const; Q = 400 Дж; V2/V1 = 2.
С −?
Решение. Запишем уравнение процесса и уравнение Клапейрона для гелия:
98
PV2 = const,
T
2
100
200
К
= const.
Поделив почленно первое уравнение на второе, имеем:
VT = const.
Последнее уравнение для перехода гелия из состояния 1 в состояние 2 записывается так:
V1T1 = V2T2,
из которого находим температуру гелия в конечном состоянии
PV
Т
2
=
V
V
1
⋅Т1 =
2
1
⋅200 = 100 К.
Теплоёмкость С по определению равна количеству теплоты, необходимому для
изменения температуры системы (газа) на 1 К:
С =
=
400
TTQ−
12
−
= 4
Дж
.
2. Для измерения температуры воды, имеющей массу mв = 7,3 г в неё по-
грузили термометр, который показал t0 = 32,4 0С. Какова действительная температура t2 воды, если теплоёмкость термометра С = 1,9 Дж/К и перед погружением в воду он показывал t1 = 17,8 0С? Удельная теплоёмкость воды св =
4,2⋅103 Дж/(кг⋅К). Потерями тепла во время измерения пренебрегайте.
Дано: mв=7,3⋅10−3 кг; t0=32,4 0С; t1=17,8 0С; С=1,9 Дж/К; св=4,2⋅103 Дж/(кг⋅К).
t2 −?
99
Решение. При составлении уравнения теплового баланса часто бывает по-
(
)
−
(
)
−
t, 0C
2
лезным рисунок, на котором изображена температурная ось t с обозначениями
точек (температур) согласно условию задачи. Для данной задачи на температурной оси всего три точки t1,
Q
t0, t2. Согласно уравнению теп-
Q
1
лового баланса (закону сохранению энергии при тепловых
t
1
t
0
t
2
процессах) количество теплоты Q1, теряемое водой при остывании от t2 до t0
равно количеству теплоты, необходимому для нагрева термометра от t1 до t0:
Q1 = Q2, т.е. С(t0 −t1) = cвmв(t2 − t0).
Из этого уравнения находим искомую исходную температуру воды до погружения в нее термометра:
t2 = t0 +
ttC
10
= 32,4 +
mc
вв
8,174,329,1
= 33,3 0С.
33
−
103,7102,4
⋅⋅⋅
Примечание. Если в процессе теплообмена участвуют более двух тел и
процесс идет с фазовыми превращениями – плавлением или парообразованием,
то число точек на температурной оси будет более трех, а число слагаемых в
уравнении теплового баланса будет более двух.
3. Какое количество бензина потребуется автомобилю, чтобы проехать со
скоростью v = 72 км/ч в течение t = 2 часов, если масса машины ma = 10 т, КПД
двигателя η = 28 %, а сопротивление движению составляет µ = 0,04 силы тяжести автомобиля? Найдите силу тяги, мощность двигателя и расход горючего на
1 кВт⋅ч работы. Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2. Удельная теплота сгорания бензина q = 4,6⋅107 Дж/кг, а его плотность ρ = 0,7 г/см3.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]