Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
F = G
r
r
r
r
,
2
которая согласно второму закону Ньютона F = ma сообщает спутнику ускорение, равное
mM
a = G
.
2
В данном случае ускорение направлено всё время перпендикулярно траектории
движения (вектору скорости), т.е. является нормальным или центростремительным ускорением (изменяет только направление вектора скорости). Центростремительное ускорение связано с величиной скорости v и радиусом r орбиты соотношением
M
2
v
a =
.
Сравнивая два последних выражения и проведя преобразования, получим
v =
G .
Подстановка полученного соотношения в выражение для периода обращения
приводит к результату
rr2π
M
Т =
. (*)
GM
Прежде чем переходить к вычислениям, удобно перейти от величин G и M к
величинам g и R, численные значения которых хорошо известны. Это можно
легко сделать, вспоминая, что вблизи поверхности Земли
51
R
mM
G
= mg.
2
Откуда GM = gR2. Тогда вместо (*) имеем
Т =
. (**)
gR
Подставляя численные значения в первом случае, получим
rr2π
33
10740010740014,32
⋅⋅⋅⋅
= 6 300 с = 1,75 ч.
Т
1
=
rr211π
=
gR
3
⋅
10106400
Во втором случае можно положить r = R, так как h << R. В результате получим
Т
= 2π
2
R
= 2⋅3,14
g
1064003⋅
= 5 000 с = 1,4 ч.
10
12. Часовая стрелка карманных часов имеет длину 10 мм, а минутная −
20 мм. Найдите их угловые скорости, периоды обращения стрелок, линейные
скорости их концов. Найдите угол поворота минутной стрелки и путь, пройденный концом минутной стрелки и перемещение конца минутной стрелки за
15 минут.
Дано: RЧ = 0,01 м; RМ = 0,02 м; t = 900 с.
ωЧ, ωМ, ТЧ, ТМ, vЧ, vМ, α, S, ∆r − ?
Решение: Период обращения часовой стрелки и минутной стрелки
Т
= 12 ч = 43 200 с = 4,32⋅104 с; ТМ = 1 ч = 3 600 с = 3,6⋅103 с.
Ч
52
Угловая скорость часовой стрелки и минутной стрелки
π
⋅
π
⋅
2
ωЧ =
Т
2
=
Ч
14,32
= 1,45⋅10-4 рад/с; ωМ =
4
1032,4
⋅
Т
2
=
М
14,32
= 1,74⋅10-3 рад/с.
3
106,3
⋅
Линейная скорость конца часовой стрелки и конца минутной стрелки
vЧ = ωЧ⋅RЧ = 1,45⋅10-4⋅0,01 = 1,45⋅10-6 м/с.
vМ = ωМ⋅RМ = 1,74⋅10-3⋅0,02 = 3,48⋅10-5 м/с.
Угол поворота минутной стрелки за 15 минут
α = ωМ⋅t = 1,74⋅10-3⋅900 = 1,57 рад.
Путь, пройденный концом минутной стрелки за 15 минут
S = R⋅α = 0,02⋅1,57 = 3,14⋅10-2 м.
Перемещение в пространстве конца минутной стрелки за 15 минут
∆r =
2
M
2
RR + = RM⋅
M
= 0,02⋅1.41 = 0,0282 м.
13. Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое
меньше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусст-
T
венных спутников Марса и Земли
М
, движущихся по круговым орбитам на
Т
З
небольшой высоте?
53
Дано: МЗ = ММ ⋅10; dМ = dЗ ⋅0,5.
R
R
ТМ/ТЗ = ?
Решение: Так как высота полёта спутника мала, то радиус орбиты совпадает с радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона сила тяготения равна произведению массы спутника на центростремительное ускорение:
2
G
mM
2
v
m
= ,
R
где G – гравитационная постоянная;
m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v =
G .
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота
вокруг планеты со скоростью v:
R2π=π
Т =
R2
v
M
R
GM
=
23π .
R
GM
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой
планеты, найдём искомое отношение периодов обращения спутников Марса и
Земли:
54
Т
R
3
R
М/ТЗ
=
2π :
GM
R
М
3
2π =
М
R
GM
R
М
3
М
З
М
З
М
=
3
З
З
R
3
М
М
М
М
З
=
З
d
d
= 105,0
3
⋅ = 1,1.
14. Космонавт массой m1 = 80 кг находится на поверхности астероида,
имеющего форму шара радиуса R = 1 км, и держит в руках камень массой
m2 = 4 кг. С какой скоростью v2 относительно астероида (в горизонтальном направлении) космонавт может бросить камень, не рискуя, что сам станет спутником астероида? Плотность астероида ρ = 5 г/см3. Гравитационная постоянная
равна G = 6,67⋅10
−11
Н⋅м2/кг2.
Дано: m1=80 кг; R=1 000 м; m2=4 кг; ρ=5 000 кг/м3; G=6,67⋅10
−11
Н⋅м2/кг2.
v2−?
Решение. Первая космическая скорость для астероида равна: v1=
G ,
4
M
где М=ρ⋅V=ρ⋅
πR3 – масса астероида.
Итак,
v1= M
⋅ =
G
G
R
4
3
=π⋅ρ⋅ .
3
G
ρπ
R2R
3
Допустим, что космонавт после броска камня приобретает скорость v1. В этом
случае, если космонавт массой m1 бросит камень массой m2 со скоростью v2 относительно астероида, то по закону сохранения импульса системы «космонавт
– камень» имеем: m1v1=m2v2, откуда находим
55
11
m
Mm+
−
50001067,6
⋅⋅⋅π
=23,6 м/с.
3
v2=
m
m
1
2
v1=
m
m
1
⋅
2
GR2ρπ
80
=
3
4
10002
⋅⋅
15. Лодка массой М стоит в неподвижной воде. Насколько сместится лодка, если рыбак массой m переместится с кормы на нос лодки. Длина лодки ℓ.
Сопротивлением воды пренебрегайте.
Дано: M; m; ℓ.
L−?
Решение. В системе отсчета, связанной с неподвижной водой или берегом
сохраняется проекция импульса системы рыбак – лодка на горизонтальное направление:
0=Mux+mvx,
где ux ,vx – проекции скоростей лодки и рыбака на горизонтально расположенную ось 0х.
Но vx=ux+vx′, где vx′ − проекция скорости рыбака относительно лодки, поэтому
0=Mux+m(ux+vx′) или 0=(M+m) ux+ mvx′.
Умножим обе части последнего уравнения на ∆t – время перемещения
рыбака с кормы на нос, тогда с учетом того, что ux∆t=L – перемещение лодки
относительно берега, vx′∆t=ℓ – перемещение рыбака относительно лодки равно
длине лодки, имеем:
откуда находим
0=(M+m)L+ mℓ,
L= −
⋅ℓ.
56
Знак “−” указывает на то, что лодка перемещается в направлении, проти-
2
m
MM+
воположном перемещению рыбака.
16. Тележка массой 0,8 кг движется по инерции со скоростью 2,5 м/с. На
тележку с высоты 50 см падает кусок пластилина массой 0,2 кг и прилипает к
ней. Рассчитайте энергию, которая перешла во внутреннюю при этом ударе.
Дано: M = 0,8 кг; v = 2,5 м/с; h = 0,5 м; m = 0,2 кг; g = 10 м/с2.
Q = ?
Решение: Так как кинетическая энергия куска пластилина в момент удара
о тележку равна его потенциальной энергии на высоте h, то полная энергия сис-
темы ″пластилин + тележка″ в момент удара куска пластилина равна
1
Е
= mgh +
1
Mv2.
Поскольку пластилин после удара о тележку прилипает к ней, то удар неупругий. В момент удара куска пластилина его скорость направлена вертикально, т.е. перпендикулярно направлению движения тележки, и поэтому «сила
удара» куска пластилина направлена также вертикально. Применяя закон со-
хранения импульса системы ″пластилин + тележка″ в горизонтальном направлении, имеем:
Mv = (M+m)u,
где u – скорость системы ″пластилин + тележка″ после прилипания пластилина.
Из последнего выражения находим
u =
v.
57
Теперь можем записать выражение для энергии системы ″пластилин + тележка″
2
21m
M
+
2
21m
M
+
2
m
Mm+
2
после прилипания пластилина:
Е2 =
(M+m)u2.
Подставляя в последнее уравнение выражение для u, имеем:
1
2
Е
2
=
M
v2.
Искомую величину Q найдем, применяя закон полной энергии для системы
″пластилин + тележка″:
Q = Е1 – Е2 = mgh +
1
Mv2 −
M
2
v2 =
= mgh +
1
Mv
2
= 0,2⋅10⋅0,5 +
1
0,8⋅2,52⋅
2,0
= 1,5 Дж.
2,08,0
+
17. Кусок пластилина сталкивается со скользящим навстречу по
горизонтальной поверхности стола бруском и прилипает к нему. Скорости
пластилина и бруска перед ударом направлены противоположно и равны
vпл =15 м/с и vбр = 5 м/с. Масса бруска в 4 раза больше массы пластилина. Ко-
эффициент трения скольжения между бруском и столом µ = 0,17. На какое расстояние переместятся слипшиеся брусок с пластилином к моменту, когда их
скорость уменьшится на 30 %?
Дано: vпл =15 м/с; vбр = 5 м/с; М/m = 4; µ = 0,17; u = 0,7 u0; g = 10 м/с2.
S = ?
58
Решение: Обозначим: m – масса куска пластилина, М – масса бруска, vпл и
m
M
+
−
m
1
4
+
−
⋅
х
бр
пл
M
m
х
0
б)
vбр – скорости куска пластилина и бруска перед ударом, u0 – начальная скорость бруска с прилипшим к нему пластилином, на рисунке а) – до столкновения бруска и куска пластилина, б) – после столкновения. Направления скоростей указаны стрелками.
v
v
а)
u
M+m
Согласно закону сохранения импульса:
Mvбр + mvпл = (M+m)u0.
При выбранных направлениях скоростей данное векторное уравнение в
проекции на ось 0х примет вид
− Mvбр + mvпл = − (M+m)u0,
Откуда выражаем u0 и находим его значение
M
vv
−
плбр
=
1554
= 1 м/с.
u0 =
mvMv
плбр
=
m
M
1
+
Знак «+» значения u0 указывает на то, что после столкновения система кусок
пластилина + брусок движутся в указанном на рисунке направлении, т.е. в направлении отрицательной полуоси 0х.
В момент, когда скорость системы кусок пластилина + брусок уменьшит-
ся на 30 %, ее скорость u будет составлять 0,7 от первоначального значения u0,
59
т.е. u = 0,7 u0. Согласно закону полной энергии изменение механической энер-
2
2
(
)
1
2
3
L L
α α
h
T v
y
α
гии системы равно работе сил трения:
+
0
−
u)mM(2+
= µ(M+m)gS,
2
u)mM(
откуда выражаем искомую величину S и вычисляем ее значение
2
u7,0u
0
=
g2
µ
2
u51,0
0
=
g2
2
151,0
⋅
1017,02
⋅⋅
= 0,15 м.
S =
22
uu
−
0
g2
µ
=
2
−
0
µ
18. Шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити, отводят в
сторону так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают. Какой угол с вертикалью образует нить в тот момент, когда проекция скорости
шарика на вертикальное направление наибольшая?
Дано: α0 = 900; vy = v
y max
.
α−?
y
Решение. В начальный момент
(положение 1 на рисунке) скорость
g
шарика равна нулю. Значит, равна
нулю и проекция скорости на вертикальную ось 0у. В положении 2 вертикальная составляющая скорости
снова равна нулю, так как вектор ско-
v
2
v
mg
рости v2 направлен горизонтально. Следовательно, по мере движения шарика из
положения 1 в положение 2 вертикальная проекция скорости vy сначала увеличивается, достигая максимального значения, а затем начинает уменьшаться.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]