Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
дает вертикально вниз, а вторая – на расстоянии S по горизонтали от этого мес-
2
та. Определите скорость снаряда перед взрывом, если он произошёл на высоте
H, и время падения первого осколка t. Ускорение свободного падения g.
В36. Заполненный водой цилиндрический сосуд радиуса R вращается во-
круг своей оси с угловой скоростью ω. На дне его лежит шар радиуса r <
и
плотностью ρ. С какой силой шар давит на боковую стенку цилиндра? Ось цилиндра вертикальна, плотность воды ρ0.
В37. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток
времени τ между двумя моментами, когда тело проходит точку В, находящуюся
на высоте h. Найдите начальную скорость бросания v0 и время всего движения
тела t.
В38. На нити длиной ℓ = 2h подвешен шарик массы m. Нить с шариком отклонена от положения равновесия на угол α = 900 и отпущена. Как будет двигаться шарик, когда нить встретит на пути движения гвоздь, вбитый на рас-
стоянии h от точки подвеса. Гвоздь и точка подвеса находятся на одной верти-
R
кали. На какую максимальную высоту поднимется шарик после прохождения
положения равновесия?
В39. По кругу какого наименьшего радиуса сможет проехать велосипедист, движущийся со скоростью v = 28,8 км/час, если коэффициент трения ме-
жду покрышками колес и землёй µ = 0,3? Каков наибольший угол наклона велосипеда, при котором велосипедист ещё не будет падать на закруглении?
В40. Допустим, что некоторое тело перемещается внутри Земли от поверхности к ее центру. Какова будет зависимость силы тяготения, действующей на
тело, от расстояния тела до центра Земли? Землю считать шаром и плотность ρ
ее всюду постоянной. Гравитационная постоянная G, масса тела равна m, радиус Земли R.
В41. Небольшое тело скользит вниз с высшей точки наружной поверхности обруча радиусом 30 см. На какой высоте от начала движения тело оторвётся от обруча и полетит вниз? Трением пренебречь.
31
В42. Две лодки движутся по инерции в спокойной воде озера навстречу
k
0
ω
m
друг другу параллельными курсами с одинаковыми скоростями v = 6 м/с. Когда
они поравнялись, то с первой лодки на вторую переложили груз. После этого
вторая лодка продолжала двигаться в прежнем направлении, но со скоростью
v2 = 4 м/с. Определить массу второй лодки, если первая лодка без груза весит
Р
= 5 000 Н, а вес груза Р = 600 Н. Подсчитать запас энергии лодок и груза до и
1
после перекладывания груза. Объяснить, почему изменился этот запас энергии.
Сопротивлением воды пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
В43. Две одинаковые лодки массами m = 200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m1 = 200 кг. Определить скорости u1 и u2 лодок после
перебрасывания грузов.
В44. На гладкий легкий стержень, вращающийся вокруг вертикальной оси,
надета пружина, одним концом скрепленная со стержнем у оси вращения. К
другому концу пружины прикреплена муфта массой m, скользящая по стержню
(см. рисунок 15). Какую работу нужно совершить, чтобы
раскрутить стержень до угловой скорости ω? Коэффициент жёсткости пружины k, длина нерастянутой пружины
ℓ
Рисунок 15
равна ℓ0.
В45. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью
v0 = 10 м/с и постоянным ускорением а = -5 м/с2. Определить, во сколько раз
путь ∆S, пройденный материальной точкой, будет превышать модуль ее перемещения ∆r спустя t = 4 с после начала отсчета времени.
В46. Стальной шарик массой 100 г опущен на нити в керосин. Как изменится сила натяжения нити, если всю систему нагреть от 20 0С до 50 0С?
В47. Из вертикальной трубки высыпается песок, причем его струя сохраняет диаметр трубки. Скорость песка в момент высыпания из трубки 2 м/с, а
32
его средняя плотность 1,8 г/см3. Какова средняя плотность струи на расстоянии
М
v
0
m
4,9 м от отверстия трубки?
В48. Максимальная мощность, развиваемая автомобилем, равна 64 кВт.
Определить максимальную скорость автомобиля на ровной дороге, если сила
сопротивления пропорциональна квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности 1 кг/м.
В49. Величина скорости тела за 1 секунду увеличилась в 2 раза. Во сколько раз увеличится скорость тела за следующую секунду, если ускорение тела
постоянно?
В50. Динамометр вместе с грузом сначала равноускоренно поднимают
вертикально вверх, а затем равноускоренно опускают с таким же по модулю
ускорением. Определить массу груза, если сумма показаний динамометра равна 30 Н.
В51. На левом конце доски длиной ℓ = 1,5 м и массой M = 2,4 кг, лежащей
на горизонтальном столе, находится шайба массой m = 1,2 кг (см. рисунок 16).
Какую минимальную скорость v0 необходимо сообщить шайбе, чтобы доска
опрокинулась? Длина выступающей части доски h = 0,5 м,
коэффициент трения между шайбой и доской µ = 0,4. Относительно стола доска не проскальзывает. Ускорение
Рисунок 16
свободного падения g = 10 м/с2.
В52. В горизонтально расположенной прямоугольной системе координат
некоторая сила сообщает телу массой 2 кг ускорение 0,5 м/с2. Найти величину
проекции силы на ось 0у, если вектор ускорения направлен под углом 300 к оси
0х.
В53. На поверхности воды покоится тело массы m1. С высоты h = 1,8 м на
него падает тело из такого же материала массой m2 = 1,5m1 и после абсолютно
неупругого взаимодействия они погружаются в воду на глубину Н = 8 м за 2 с.
Определите плотность материала тел. Плотность воды 1 000 кг/м3.
В54. Шайба лежит на внутренней поверхности полусферы с коэффициентом трения, равным 1. При каком минимальном угле между вертикалью и нор-
33
малью к поверхности полусферы в месте нахождения шайбы начнётся ее
ρ
2
ρ
•
скольжение?
В55.Шар висит на нити, опираясь на стенку, как указано на
рисунке 17. При каком минимальном коэффициенте трения между шаром и стеной точка подвеса будет находиться на одной вер-
Рисунок 17
тикали с центром тяжести?
В56. За первые 3 секунды равнозамедленного движения тело прошло путь
15 м и снизило скорость до 2 м/с. Определить величину ускорения тела.
В57. Однородная балка лежит на платформе так, что один ее конец на 1/4
длины свешивается с платформы. К свешивающемуся концу прилагают силу,
направленную вертикально вниз. Когда эта сила становится равной 2 кН, противоположный конец балки начинает подниматься. Найти массу балки.
В58. Стержень состоит из двух соосных цилиндров, имеющих одинаковые
площади поперечного сечения (рисунок 18). Плотности материалов, из которых изготовлены цилиндры, равны соответственно ρ1 и ρ2. Центр масс цилиндра нахо-
1
С
дится в сечении соприкосновения (точка С).
Рисунок 18
Определите отношение масс цилиндров.
В59. Спускаемый аппарат массой 100 кг приближается к Земле со скоростью v = 72 км/ч. Найти абсолютную величину импульса силы, сообщаемого
аппарату двигателями мягкой посадки, чтобы в момент приземления скорость
была v =3,6 км/ч.
В60. Какой минимальной мощностью должен обладать двигатель игрушечной ракеты, чтобы ракета зависла над поверхностью земли. Скорость истечения газов из сопла ракеты 10 м/с, а масса ракеты в момент зависания 10 кг.
В61. Железный бак вмещает 50 л керосина при 0 0С. Сколько керосина
выльется из бака, если его внести в комнату с температурой 20 0С?
С01. Две электрички одновременно выходят навстречу друг другу от станций А и В. Первая электричка на 1/3 пути от А к В разгоняется с постоянным
ускорением, 1/3 пути проходит равномерно и на последней 1/3 пути тормозится
34
с тем же по величине ускорением, что и в начале. Вторая электричка на 1/3
времени своего движения от В до А разгоняется равноускоренно, 1/3 времени
проходит равномерно и 1/3 времени тормозится равнозамедленно до остановки.
Скорости равномерного движения электричек одинаковы и равны 70 км/ч. Найти расстояние между станциями, если первая электричка двигалась на 2 минуты
дольше второй.
С02. На барабан намотана нить, к концу которой привязан груз. Предоставленный самому себе груз начинает опускаться с ускорением 5,6 м/с2. Определить ускорение точек, лежащих на ободе барабана в тот момент, когда барабан сделает поворот на угол в 1 рад?
С03. Клин высотой 15 см находится на абсолютно гладкой поверхности.
На клине лежит брусок, масса которого в два раза больше массы клина. Брусок
может скользить по клину без трения. В начальный момент времени система
покоится. Определить максимальную скорость клина. Угол при основании клина равен 300.
С04. Кольцо массы m и радиуса R вращается в горизонтальной плоскости
вокруг вертикальной оси, походящей через центр кольца. Кольцо сделано из
тонкой проволоки, выдерживающей натяжение F. С какой максимальной частотой можно вращать кольцо, чтобы оно имело трёхкратный запас прочности?
С05. Резиновый шнур, концы которого соединены, свободно насажен на
диск, вращающийся в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси с
частотой n = 20 об/с. Принимая форму шнура за окружность, определить силу
натяжения Т шнура. Масса шнура m = 15 г, длина шнура ℓ = 60 см.
С06. Шкив приводится во вращение приводным ремнем. Радиус шкива
25 см, частота вращения 120 об/мин. Сила натяжения ведущей ветви ремня
вдвое больше ведомой. Обе ветви ремня параллельны друг другу. Какова должна быть минимальная прочность ремня при передаче шкиву мощности 15 кВт?
С07. Минимальная скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту, равна 5 м/с, а максимальная − 10 м/с. Определить угол, под которым
брошено тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.
35
С08. Гладкий шар массой М и радиусом R лежит на гладком горизонталь-
g
α
А
В
С
α
ϕ
ном столе. С вершины шара начинает свободно соскальзывать небольшое тело
массой m. При каком отношении масс m/М тело оторвётся от шара на высоте
7R/4 над столом?
С09. Лестница прислонена к стене (рисунок 19). При каком минимальном угле α она не упадёт? Коэффициент трения
между лестницей и полом − µ, трение между лестницей и сте-
M
ной отсутствует. Центр тяжести лестницы находится посередине.
Рисунок 19
С10. Через невесомый блок перекинута невесомая нерастяжимая верёвка
так, что длины свешивающихся концов одинаковы. Две обезьяны, лёгкая и тяжелая (вдвое большей массы), одновременно хватаются за концы веревки и начинают выбирать ее со скоростями 2,4 м/с и 4,8 м/с соответственно. При какой
длине верёвки тяжёлая обезьяна достигнет наибольшей высоты над землей в
тот момент, когда лёгкая обезьяна доберётся до блока?
С11. Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной
стене посредством шарнира А и удерживается под углом ϕ = 600
к вертикали с помощью веревки ВС, образующей с ним угол α =
300 (см. рисунок 20). Определите силу нормальной реакции шар-
Рисунок 20
нира, если известно, что масса стержня 2 кг.
С12. Лёгкий цилиндрический сосуд с водой плотностью 1 г/см3 стоит на
двух параллельных опорах, силы реакции которых составляют 30 Н и 70 Н. В
сосуд опустили на нити шарик массой 600 г и плотностью 3 г/см3 так, что он
оказался на одной вертикали со второй (более нагруженной) опорой. При этом
шарик полностью погружен в воду и не касается сосуда. Определите новые силы реакции опор.
С13. Грибник ходит по лесу, придерживаясь следующего плана. Первую
четверть каждого часа он идет строго на север, вторую – на восток, третью – на
юг и, наконец, четвертую – на запад. В начальный момент времени скорость
грибника v0 = 4 км/ч. Через каждые полчаса скорость уменьшается на ∆v =
36
0,2 км/ч, но в остальное время величина скорости остается постоянной. Опре-
Рисунок 21
α
L
L
1
S
2
1
делите путь грибника и величину вектора перемещения через t = 3 ч после начала движения.
С14. На цилиндр намотана нить, конец которой закреплён (рисунок 21). Цилиндр находится на наклонной плоскости, при этом нить параллельна плоскости. Коэффициент тре-
ния цилиндра о плоскость равен µ. При каком максимальном значении угла α
цилиндр не будет скатываться с наклонной плоскости?
С15. Корабль плывёт на юг со скоростью 43,2 км/час. Заметив в море катер, наблюдатель, находящийся на палубе корабля, определил, что катер движется на северо-восток со скоростью 30 км/час. Какова в действительности
скорость катера, и в каком направлении он идёт?
С16. Около вертикальной стены стоят два мальчика на расстояниях L1 и L2
от нее и на расстоянии S друг от друга (рисунок 22).
Один из мальчиков громко произносит слово. Определите время, за которое он должен произнести это слово,
чтобы второй мальчик услышал его конец, совпадаю-
Рисунок 22
щий с началом эха. Скорость звука в воздухе равна v.
С17. С башни высотой Н = 20 м одновременно брошены два шарика: один
горизонтально, а другой - вверх под углом α = 600 к первому. Начальные скорости шариков равны. Определите расстояние между шариками через время τ =
1,5 с, если брошенный горизонтально шарик упал на Землю на расстоянии ℓ =
30 м от основания башни. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
С18. Камень, брошенный со скоростью 20 м/с под углом к горизонту, смещается за две секунды на 20 м. Определить угол бросания камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Как известно, такая ракета будет неограниченно удаляться от Земли, а ее скорость будет неограниченно уменьшаться (если не учитывать влияния других
небесных тел). Таким образом, ее предельная скорость, или, иначе говоря, ско-
С19. Пусть космической ракете сообщена вертикальная скорость 11,2 км/с.
37
рость в бесконечности, будет равна нулю. Пусть, теперь ракете вертикальная
F
k
m
h
H Рисунок 24
скорость 12,2 км/с. Какова будет ее скорость в бесконечности? Будет ли она
равна 12,2 – 11,2 = 1 км/с?
С20. На гладкой горизонтальной поверхности лежит тело массой m = 0,25 кг, прикрепленное невесомой
пружиной к вертикальной плоскости (рисунок 23). В
Рисунок 23
начальный момент времени пружина не деформирована. На тело начинает действовать горизонтально направленная постоянная сила, величина которой равна
F = 2,5 H. Определите: 1) максимальное смещение тела от начального положения; 2) максимальную скорость тела во время движения. Коэффициент жёсткости пружины k = 100 Н/м.
С21. На высоте h = 1 м над горизонтальной плитой находится большое количество маленьких шариков массой m = 1 г. В случайные моменты времени их
начинают отпускать без начальной скорости. Столкновения шариков с плитой
являются упругими. Определите установившееся давление, которое испытывает плита, если средняя плотность шариков над ней n = 10 м-3.
С22. Тело соскальзывает с вершины гладкой горки
высотой Н = 10 м, имеющей горизонтальный трамплин
(см. рисунок 24). При какой высоте трамплина h тело пролетит наибольшее расстояние по горизонтали?
С23. Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α. В нижней точке тело ударяется о стенку, поставленную, перпендикулярно направлению его движения. Удар абсолютно упругий.
Определите коэффициент трения при движении тела, если после удара оно
поднялось до половины первоначальной высоты.
С24. Цилиндрический сосуд заполнен водой до высоты h = 60 см. В боковой стенке сосуда находятся два отверстия на расстоянии d = 10 см друг от друга по вертикали. Струи жидкостей, вытекающие из отверстий, пересекаются в
одной точке на уровне дна сосуда. Как глубоко под поверхностью воды находится верхнее отверстие?
38
С25. На гладком горизонтальном столике лежит брусок массой 2 кг, на ко-
F
тором находится брусок массой 1 кг. Оба бруска соединены нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок 25). Какую силу F нужно приложить к
нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с ускорением 4,9 м/с2? Коэффициент трения между брусками
0,5. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2.
Рисунок 25
С26. Канат, длина которого ℓ = 1 м, наполовину свешивается со стола, высота которого больше ℓ. Коэффициент трения между канатом и столом µ = 0,4.
Канат начинает соскальзывать без начальной скорости. Определите скорость
каната в момент времени, когда его конец соскользнёт со стола.
С27. Определите силу давления бревен массы m на стенки
канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее
касается верхним участком поверхности воды (см. рисунок 26).
Рисунок 26
Бревна одинаковы.
Примеры решения задач
1. Свободно падающее тело спустя некоторый промежуток времени после
начала падения находилось на высоте 1 100 м, а еще через 10 с на высоте 120 м
над поверхностью Земли. С какой высоты падало тело? Сколько времени оно
было в движении? Ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
Дано: y(t1) = 1 100 м; y(t1 + 10) = 120 м; g = 10 м/с2; v0 = 0.
Н −? T −?
Решение. Так как движение тела происходит по вертикали, то для описания движения возьмём вертикальную ось 0у с началом на поверхности земли.
Раз тело падает свободно, то начальная скорость v0 = 0. Обозначим Н – искомая
высота, t – время падения (см. рисунок).
39
Направим ось 0у вертикально вверх, ось времени 0t направим вертикально
2
2
2
2
2
2
2
⋅
−=−
H
0
0
у
1
t1
120
1 10
0
t
вниз с началом отсчета времени t = 0 на высоте Н (т.к. тело начинает движение
с высоты Н). Каждой высоте будем сопоставлять моменты времени:
- в начальный момент времени t = 0 тело находится на высоте Н;
- спустя некоторый промежуток времени t1 – на высоте 1 100 м;
- еще через 10 с, т.е. через t1 + 10 после начала движения – на высоте 120 м;
- через время t после начала движения у =0 (тело достигает поверхности
Земли).
, м
В уравнение движения тела по оси 0у
v0=0
в общем виде y(t) = y0 + v0t +
at2 под-
ставляем значения y0 = Н (тело начинает
1
движение в момент t = 0 с этой координа-
g
ты), v0 = 0 (тело свободно падает), а = −g
(т.к. проекция gy = −g). Итак, уравнение
движения имеет вид:
1
y(t) = y = Н −
gt2.
Применяя последнее уравнение для моментов времени t1, t1 + 10 и t, получим 3 уравнения:
1 100 = Н −
1
2
gt
; 120 = Н −
1
1
g(t1+10)2; 0 = Н −
1
gt2 .
t
+10
t, с
Решая систему из трех уравнений, найдем искомые величины Н и t.
Вычтем почленно из первого уравнения второе, затем найдём t1:
1 100 − 120 = Н −
1
2
gt
- Н +
1
1
g(t1+10)2 ,
откуда
t1= .c8,4
g50980
g10
1050980
=
1010
⋅
Подставляя полученное значение t1 в первое уравнение, найдем Н:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]