Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика для 10-11 классов университетской физико-математической школы. Учебное пособие
.pdf
Возрастание вертикальной проекции скорости будет продолжаться до тех пор,
L
2
пока не станет равной нулю вертикальная проекция равнодействующей приложенных к шарику силы тяжести mg и силы натяжения нити Т. В этот момент
(положение 3 на рисунке) вертикальная проекция ускорения обратится в нуль, и
второй закон Ньютона в проекциях на ось 0у запишется в виде:
T⋅cosα − mg = 0,
где α − угол между нитью и вертикалью. Натяжение нити Т найдем, воспользовавшись тем, что шарик движется по дуге окружности радиуса L, где L – длина
нити. Уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось, совпадающей с нитью, выглядит так:
T − mg⋅cosα = m⋅
Квадрат линейной скорости v2 шарика найдём из закона сохранения энер-
гии:
2
v
m⋅
=mgh, где h=L⋅cosα (см. рис.), откуда v2=2gLcosα.
Учитывая все записанные соотношения, получаем
3mgcos2α − mg = 0, и 3cos2α − 1 = 0,
2
v
.
откуда находим
cosα =
1
, и α = arccos
3
61
1
= 550.
3
Эту задачу можно решить, используя математический приём. Как извест-
()(
)
2
dtddt
но, в точках экстремума функции ее производная равна нулю. В произвольном
положении шарика вертикальная проекция скорости равна:
vy = v⋅sinα = α⋅α⋅ sincosgL2 .
Приравняем нулю производную от этого выражения:
vy′=
Отсюда вытекает условие: 3cos2α − 1 = 0, совпадающее с найденным ранее.
19. Точка движется по окружности со скоростью, которая меняется по за-
кону v = bt, где b = 0,5 м/с2. Найдите модуль полного ускорения, когда точка
совершит первый оборот после начала движения.
Дано: v = bt ; b = 0,5 м/с2.
а − ?
gL
cos2
α
cos2sin
=α+α−
gL
cos2
α
222
1cos3
−α
= 0.
Решение. Из уравнения v = bt следует, что в начальный момент времени
t = 0 начальная скорость v0 = b⋅0 = 0, и в этот момент угловая скорость ω0 =
v0/R = 0/R = 0, где R – радиус окружности.
Один оборот соответствует повороту на угол 2π рад. Уравнение враща-
тельного движения точки ϕ = 2π =
вое ускорение.
Поскольку тангенциальное ускорение по определению:
dv
а
=
τ
( )
bbt
== , то из аτ = εR, находим ε = аτ/R = b/R.
1
εt2, откуда находим t2 = 4π/ε, где ε − угло-
62
Нормальное ускорение равно:
(
)
R/b4Rb4R
RbRbtR
ε
2
2
0
х
y
z
N
α
α
2
2
v
а
=
n
2
b
2
t
π
⋅=⋅==
22
π
⋅=
.b4
π=
Полное ускорение равно:
222
aaa =6,3 м/с2.
n
τ
( ) ( ) ( )
2
22
145,014bbb4
+π=+π=+π=+=
20. Квадратная рамка из однородной проволоки, у которой отрезана одна
сторона, подвешена на гвоздь. Найдите тангенс угла между средней стороной и
вертикалью.
Дано: L1 = L2 = L3 = L.
tgα−?
Решение. На рамку действуют сила реакции N и силы тяжести m1g, m2g, m3g, приложенные к серединам сторон рамки (см. рисунок). Так как проволока однородная, то
массы сторон рамки равны между собой m1 =
m2 = m3 = m. Сторону рамки обозначим через
а. Приравнивая нулю сумму моментов сил
(условие равновесия) относительно оси, про-
ходящей через точку подвеса (гвоздь) 0, получим уравнение:
m1g
m2g
m3g
m1g⋅ αcos
a
− m2g⋅ αsin
a
− m3g⋅x = 0.
63
С учётом того, что x = y – z = a⋅sinα − αcos
2
2
2
2
3
1
1
S2
0
0
F1
F2
a
уравнение моментов примет вид:
и массы сторон рамки равны,
a
mg⋅ αcos
−mg⋅ αsin
a
−mg⋅(a⋅sinα− αcos
a
)=0,
откуда получим искомый тангенс угла α:
2
tg =α .
21. Какая сила давления может быть получена на гидравлическом прессе,
если к длинному плечу рычага, передающего давление на малый поршень, приложена сила F0 = 100 Н, соотношение плеч рычага равно L0/L1 = 9, а площади
поршней пресса соответственно равны S1 = 5 см2 и S2 = 500 см2. КПД пресса η =
0,8.
Дано: F0 = 100 Н; L0/L1 = 9; S1=5⋅10−4 м2; S2=500⋅10−4 м2; η=0,8 (80 %).
L
S
ческого пресса:
L
F
F2 −?
Решение. Сделаем схематический
рисунок гидравлического пресса. Обозначения на рисунке: L0/L1 = 9 – отношение
плеч рычага; F1 и F2 – силы, действующие
на малый и большой поршни, соответственно; S1 и S2 – площади поршней.
Напишем уравнение для гидравли-
F
F
S
1
S
2
1
== ,
2
l
2
l
1
64
где ℓ1 и ℓ2 – перемещения поршней.
5
Из этого уравнения следует, что F
шаемая силой F1, действующей на малый поршень, и А2 = F
1ℓ1
= F
, т.е. А1 = F
2ℓ2
– работа, совер-
1ℓ1
− работа, совер-
2ℓ2
шаемая силой F2, действующей на большой поршень, равны. Так как гидравлический пресс используется для получения выигрыша в силе, то А2 = А
ставляет собой полезную работу, а А1 = А
работу. А
пол
= А
− полезная и затраченная работы равны только в том случае,
затр
представляет собой затраченную
затр
– пред-
пол
когда не учитываются силы сопротивления, действующие в механизмах пресса.
В общем случае, как в нашей задаче, КПД пресса равен:
η =
А
А
пол
затр
F
l
F
l
F
l
1
11
22
1
F
2
⋅== .
l
2
Так как из уравнения гидравлического пресса следует, что
l
l
S
1
2
2
=
, тогда η =
S
1
F
F
1
⋅ ,
2
S
2
S
1
откуда находим
S
2
FF η= .
12
S
1
Значение F1 находим из уравнения для рычага: F1L1 = F0L0, т.е. F1 = F
Подставляя выражение для F1 в уравнение для F2, получаем:
S
2
FF η= =
12
S
1
L
S
0
F ⋅⋅⋅η = 0,8⋅100⋅9⋅
0
L
2
S
1
1
500
= 72⋅103 Н = 72 кН.
L
0
.
0
L
1
65
22. По трубе радиусом R = 1,5 см течёт углекислый газ (с плотностью ρ =
t
t
7,5 кг/м3). Определите скорость его течения, если за время t = 20 мин через по-
перечное сечение трубы протекает m = 950 г газа.
Дано: R=1,5⋅10−2 м; ρ=7,5 кг/м3; t=20⋅60 с; m=0,95 кг.
v −?
Решение. Пишем формулу для массового расхода газа, т.е. для массы газа,
протекающего в единицу времени через поперечное сечение трубы:
где v – скорость течения газа;
S = πR2 – площадь поперечного сечения трубы, т.е.
откуда находим:
v =
ρπ
23. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью v = 2 м/с, быст-
m
m
Q ρ== ,
m
ρπ= ,
vS
2
vR
95,0
=
tR
222
−
= 0,15 м/с = 15 см/с.
6020)105,1(5,7
⋅⋅⋅⋅π⋅
ро перекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку при внезапной остановке воды, если скорость звука в воде с = 1 400 м/с.
Сечение трубы S = 5 см2. Плотность воды ρ = 1 г/см3. Найдите давление на заслонку.
Дано: v = 2 м/с; с = 1 400 м/с; ρ = 103 кг/м3; S = 5⋅10−4 м2.
F − ? Р − ?
66
Решение. Столкнувшись с заслонкой, часть воды, прилегающая к ней, ос-
S
танавливается, сжимается и возбуждает волну давления, распространяющуюся
навстречу потоку со скоростью звука в воде с. Если бы вода была несжимаема,
то скорость всего потока уменьшилась бы мгновенно до нуля. Однако, благодаря сжимаемости вода продолжает движение, и до нуля падает скорость только
той части столба, которая может быть достигнута волной давления. Выбирая
положительное направление оси в направлении скорости потока v, запишем за-
кон изменения импульса за время ∆t:
0 − mv = 0 − ρ⋅∆v⋅v = 0 − ρ⋅(c∆tS)⋅v = F⋅∆t.
Сила, действующая на заслонку:
Fc = − F = ρcvS.
Следовательно, давление на заслонку равно:
Р =
Подставляя числовые значения, найдем:
Fc = ρcvS = 103⋅1.4⋅103⋅2⋅5⋅10−4 = 1 400 Н = 1,4 кН.
Р = ρcv = 103⋅1.4⋅103⋅2 = 28⋅105 Па = 28 атм.
Рассмотренное явление внезапного контакта воды с преградой называют
F
c
= ρcv.
гидравлическим ударом. Разрушительное действие капель также объясняется
этим явлением.
24. Тонкостенный стакан плавает в воде, погрузившись наполовину. На-
сколько изменится глубина погружения, если стакан поставить в воду вверх
67
дном. Температура воздуха в стакане постоянна. Высота стакана Н. Атмосфер-
2
2
2
1
2
2
ное давление Р0. Плотность воды ρ. Ускорение силы тяжести g.
Дано: Н; Р0; ρ; g.
∆h −?
Решение. Сделаем рисунок, на котором изобразим положение стакана в
обоих случаях. В позиции (а) стакан плавает, погрузившись на
Н
, и на
Н
край
стакана выступает над уровнем воды. В позиции (в) для перевёрнутого стакана:
на h1 дно стакана выступает над уровнем воды, h2 − разница уровней воды в
стакане и вне стакана.
Н
h
Н
h
(а)
(в)
1) Для изотермического процесса для воздуха в стакане применяем закон
Бойля – Мариотта:
P1V1 = P2V2, или P0HS = (P0 +ρgh2)(h1 + h2)S,
где S – площадь поперечного сечения стакана.
2) Если записывать условия плавания стакана, то в обоих случаях сила
тяжести стакана mg (m – масса стакана) уравновешивается выталкивающими
силами (Архимеда). Поэтому в качестве второго уравнения записываем:
mg = F
Арх1
= F
, т.е. F
Арх2
68
Арх1
= F
Арх2
,
или
2
2
2
2
2
2
ρ
−
2
2
2
ρ
−
2
1
ρg
S = ρgh2S,
откуда находим
Н
Н
h2 =
.
Подставляем это значение h2 =
P0HS = (P0 +ρg
откуда находим
Н
в первое уравнение
Н
)⋅(h1 +
Н
)S,
h1 =
Н
⋅
gHP2
0
0
.
gHP2
ρ+
А приращение глубины погружения стакана равно (см. рисунок):
1
∆h =
Н
− h1 =
Н
−
Н
gHP2
0
⋅
gHP2
ρ+
0
= H
1
+ .
ρ
P2
0
gH
−
25. Если пережечь нить, связывающую грузы, висящие на резиновом
шнуре, то верхний груз 1 придет в движение с ускорением а1 = 5
м/с2 (см. рисунок). Если грузы поменять местами и пережечь нить,
то с каким ускорением а2 придет в движение груз 2? Ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.
g
Дано: а1 = 5 м/с2; g = 10 м/с2.
а2 − ?
69
Решение. Упругая резина под действием силы тяжести двух грузов растя-
1
упр
х
1
гивается на величину ∆х, определяемую законом Гука F= k⋅∆x = (m1+m2)g.
Когда нить, связывающую грузы 1 и 2 пережигают, то на
F
m1g
верхний груз 1 действуют F
а
рому закону Ньютона (см. рисунок):
m1а1 = F
+ m1g.
упр
и сила тяжести m1g, и по вто-
упр
Это уравнение в проекции на вертикальную ось 0х имеет вид:
-m1a1 = -k⋅∆x+m1g.
С учётом, что k⋅∆x = (m1+m2)g, имеем
-m1a1 = -(m1+m2)g + m1g = - m2g, т.е. m1a1 = m2g
и
Если поменять грузы 1 и 2 местами, то при тех же рассуждениях можно
получить выражение для а2:
Перемножая почленно полученные выражения для a1 и а2, имеем:
откуда находим
a1⋅а2 =
a1 =
а
=
2
m
2
m
1
m
g⋅
m
m
m
2
1
1
2
m
m
g.
g.
1
g = g2,
2
2
g
а
=
2
a
1
2
10
= = 20 м/с2.
5
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]